精品解析：辽宁省丹东市第十三中学2021-2022学年九年级下学期第九周周考数学试题

第九周周考试题 一．选择题（每题3分，共8小题24分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 2021 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是求一个数的相反数．根据相反数的代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答． 【详解】的相反数是． 故选：A． 2. 上九天嫦娥揽月，穿星河逐梦无垠！嫦娥五号首次实现了我国地外天体采样返回，将为深化人类对月球成因和太阳系演化历史的科学认知作出贡献！用科学记数法表示克为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的形式为（其中，为整数），据此对进行转换即可． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴将表示为科学记数法时，，小数点向左移动了3位，即， ∴克克． 3. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看到的图是左视图可得答案． 【详解】解：从左边看，分为3列， 第一列2层，第二列2层，第三列1层， 所以左视图为： 故选：． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图；知道从左边看到的图是左视图是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，选项A错误； B．； 选项B错误； C．，选项C正确； D．，选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式运算的法则，涉及了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方、同底数幂除法，解题关键是熟记运算法则． 5. 如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BMD＝∠B＝50°， 又∵∠BMD是△MDE的外角， ∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.14 9.15 9.14 9.15 方差 6.6 6.8 6.7 6.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】∵， ∴从乙和丁中选择一人参加比赛， ∵， ∴选择丁参赛， 故选D． 【点睛】本题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键． 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 8. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＜0；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为＝3，＝－1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x＋1）（x－3）＋2＝0的两个根，则m＜－1且n＞3．其中正确的结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0， 抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确； 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故②正确； 抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（−1，0），所以a−b＋c＝0，又x＝−＝1，有2a＋b＝0，所以3a＋c＝0，而a＜0，因此2a＋c＞0，③不正确； 抛物线与x轴交点（3，0），（−1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3，x2＝−1；因此cx2＋bx＋a＝0的两根x1＝，x2＝−1，故④错误； 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（3，0），（−1，0），且a＜0，因此当y＝−2时，相应的x的值大于3，或者小于−1，即m＜−1，n＞3，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②⑤， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键． 二．填空题（每题3分，共8小题24分） 9. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 10. 式子有意义的条件是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则， 解得且． 11. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式：合并同类项，得， 系数化为，得， 解不等式：移项，得， 系数化为，得 ， ∴原不等式组的解集为． 12. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得． 【详解】由题意得：这个方程是一元二次方程 解得 又关于的方程有两个实数根 此方程的根的判别式 解得 综上，m的取值范围是且 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，理解题意，掌握一元二次方程的定义与根的判别式是解题关键． 13. 如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线的交点， ∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°， ∵∠MON=90°， ∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°， ∴∠MOB=∠NOC． 在△MOB和△NOC中， ， ∴△MOB≌△NOC（ASA）． 同理可得：△AOM≌△BON． ∴S阴影=S△BOC=S正方形ABCD． ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率P==． 14. 如图，在□ABCD中，BC=2AB．A、B两点的坐标分别是（-2，0），（0，4），C、D两点在反比例函数的图像上，则k等于______． 【答案】 【解析】 【分析】设C（a，），根据AC与BD的中点坐标相同可得点D坐标，代入解析式可得k关于a的不等式，由BC=2AB=可求出a的值，进而得出k值． 【详解】设C（a，）， AC与BD的中点坐标分别为（，），（，）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD的中点坐标相等， 即，，即D（，）， ∴=，即， ∵BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（-2，0），（0，4）， ∴AB=2，BC=， ∴BC2=（0-a）2+=， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∵, ∴， ∴． 故答案为：-48． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质、中点坐标公式及解方程，熟练掌握相关性质是解题关键． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，Q，R，与相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴， ，， ∵点G是EC的中点， 是的中位线， ， 同理可求：， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP=FC，HI=HR=PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 16. 如图，在中，，，，垂足为点O，过点A作射线，点P是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论， ①； ②当时，； ③当时，四边形是平行四边形； ④当或时，都有； ⑤当时，与一定相似． 正确的共有________． 【答案】4条 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案． 【详解】解：①∵，，， ∴，，， ∴； 故此选项正确； ②∵， ∴， ∵，， ∴当时，； 故此选项正确； ③当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 故此选项正确； ④当时，P与B重合， ∴， 又∵， ∴； 当时，P与C重合，此时Q与A重合， ∵，， ∴， 当时，与不相符；故此选项错误； ⑤若与一定相似， 则， ∴， 过点O作于H， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故当时，与一定相似． 故此选项正确． 故正确的有4条． 17. 先化简，再求值： 其中x=1－2tan45°． 【答案】，． 【解析】 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再计算出x的值，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： = = = ＝， 当x＝1－2tan45°=－1时，原式＝ ． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时还考查了特殊角的三角函数值． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF． （1）判断四边形ABFC的形状并证明； （2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长． 【答案】 （1）四边形ABFC是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE， ∵E为BC的中点， ∴EB＝EC， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB＝CF． ∵， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AD＝BC，AD＝AF， ∴BC＝AF， ∴四边形ABFC是矩形． （2）3 【解析】 【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形； （2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABFC是矩形， ∴BC＝AF，AE＝EF，BE＝CE， ∴AE＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝3， ∴EF＝3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 19. 如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70 m/min的速度步行6min后到达A处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B处，在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上．求小明步行的总路程（精确到1m）．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4，≈1.7． 【答案】小明步行的总路程为m． 【解析】 【分析】作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ=30°．可求得AQ、PQ的长，在Rt△BPQ中，解直角三角形求出BQ的长，即可求解． 【详解】作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ=30°． 由题意得：AP=70(m)， 则AQ=AP=210(m)， PQ=， 在Rt△BPQ中，， ∴BQ(m)， ∴小明步行的总路程为：AP+AQ+ BQ(m)． 答：小明步行的总路程为m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数． 【答案】 （1）证明：连接OD. ∵AB=AC， ∴. ∵OD=OC, ∴. ∴. ∴∥. ∴. ∵DE⊥AB, ∴. ∴. ∴. ∴DE是⊙O的切线. （2）∠F=30°． 【解析】 【详解】试题分析：如图，（1）求证DE是⊙O的切线，可连接OD证明OD⊥ED即可.可由AB=AC、OD=OC得到，进而可得平行线∥；此时易证；（2）连接AD.由AC为⊙O的直径得，可证Rt∽Rt，进而得到：；由⊙O的半径为4，可求出. 在Rt中，由，所以；进而得到等边三角形，所以. 试题解析： （1）略 （2）解：连接AD. ∵AC为⊙O的直径， ∴. 又∵DE⊥AB, ∴Rt∽Rt. ∴. ∴. ∵⊙O的半径为4， ∴AB=AC=8. ∴. ∴. 在Rt中， ∵， ∴. 又∵AB=AC, ∴是等边三角形. ∴ ∴. 考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数；4、等边三角形的判定. 21. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店要使销售该商品每天获得的利润为800元，则销售单价应定为多少？ （3）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=－2x+160；（2）4元或70元；（3）销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润为1200元 【解析】 【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得，解方程即可得到结论； （3）由题意得，即可求解． 【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：； （2）由题意得：， 解得， ， 答：销售价定为4 元或70元时，获利800元 ； （3）由题意得： ， ∵－2＜0， 故当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润为1200元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用“w=销量×每件的利润”得出函数关系式是解题关键． 22. 问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________； （2）AD的取值范围是________________________； 方法运用： （3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：． （4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长至点，使， ∵是的中线 ∴ 在和中 ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵ ∴ （4）证明：延长至点使，连接、、 ∵G为的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中，∵， ∴ 又矩形中， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又为的外角， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵G为的中点， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据； （2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案； （3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案； （4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图，AD是中线， 在与中， 故答案为： （2） 故答案为： （3）略 （4）略 【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九周周考试题 一．选择题（每题3分，共8小题24分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 2021 D. 2. 上九天嫦娥揽月，穿星河逐梦无垠！嫦娥五号首次实现了我国地外天体采样返回，将为深化人类对月球成因和太阳系演化历史的科学认知作出贡献！用科学记数法表示克为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 3. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.14 9.15 9.14 9.15 方差 6.6 6.8 6.7 6.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＜0；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为＝3，＝－1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x＋1）（x－3）＋2＝0的两个根，则m＜－1且n＞3．其中正确的结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（每题3分，共8小题24分） 9. 把多项式分解因式的结果是___________． 10. 式子有意义的条件是________． 11. 不等式组的解集是________． 12. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_________． 13. 如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____． 14. 如图，在□ABCD中，BC=2AB．A、B两点的坐标分别是（-2，0），（0，4），C、D两点在反比例函数的图像上，则k等于______． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 16. 如图，在中，，，，垂足为点O，过点A作射线，点P是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论， ①； ②当时，； ③当时，四边形是平行四边形； ④当或时，都有； ⑤当时，与一定相似． 正确的共有________． 17. 先化简，再求值： 其中x=1－2tan45°． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF． （1）判断四边形ABFC的形状并证明； （2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长． 19. 如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70 m/min的速度步行6min后到达A处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B处，在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上．求小明步行的总路程（精确到1m）．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4，≈1.7． 20. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数． 21. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店要使销售该商品每天获得的利润为800元，则销售单价应定为多少？ （3）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？ 22. 问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________； （2）AD的取值范围是________________________； 方法运用： （3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：． （4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $