21.3.1 矩形（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步课件（人教版）

21.3 特殊的平行四边形 21.3.2 矩形（第1课时） 人教版 数学 八年级 下册 在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？ 我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？ 导入新知 21.3 特殊的平行四边形/ 1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系. 2. 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 学习目标 3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理. 21.3 特殊的平行四边形/ 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形—— 矩形. 探究新知 知识点 1 矩形的定义 21.3 特殊的平行四边形/ 【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗?若是它们之间有何关系呢? 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 具备平行四边形所有的性质. A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 矩形的一般性质： 知识点 2 矩形的性质 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ A B C D 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 做一做 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果. 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 探究新知 你能证明吗？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 21.3 特殊的平行四边形/ 求证：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠A=90°. 又 ∵矩形ABCD是平行四边形, ∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D, ∠A +∠B = 180°. ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 即矩形的四个角都是直角. 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 已知：如图,四边形ABCD是矩形. 求证：AC = BD. A B C D 证明：在矩形ABCD中, ∵∠ABC = ∠DCB = 90°, 又∵AB = DC ， BC = CB, ∴△ABC≌△DCB (SAS). ∴AC = BD, 即矩形的对角线相等. 求证:矩形的对角线相等 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 矩形特殊的性质: 矩形的四个角都是直角． 矩形的两条对角线相等． 从角上看： 从对角线上看： 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等 边 对角线 角 数学语言： ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB. ∴AD =BC ，CD =AB. ∴AC= BD. A B C D O ∴AO= CO ，OD = OB. 探究新知 矩形的性质 ∴ ∠BAD=∠ABC= ∠BCD=∠ADC=90°. 21.3 特殊的平行四边形/ 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O, ∠AOB=60°，AB=4 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC 与 BD相等且相互平分. ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8. A B C D O 探究新知 考点 1 利用矩形的性质求线段的长 矩形的对角线相等且互相平分 ∴△OAB是等边三角形. 21.3 特殊的平行四边形/ 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB,CD于E,F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________. 　　　　　　　　　　　　　 巩固练习 21.3 特殊的平行四边形/ 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长. G D C B A A′ 解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC, AB=CD， . 又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG, ∴△ADG≌ △ A′DG. 方法点拨：在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的基本方法. ∴x2+42=(8-x)2 解得x=3. ∴ AG=3. 设AG=x，则BG=AB-AG=8-x， 在Rt△GA′B中，由勾股定理得,A′B2+A′G2=BG2 ∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4， 探究新知 考点 2 利用矩形的性质解答折叠问题 21.3 特殊的平行四边形/ 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， 又由折叠知,∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3.∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 巩固练习 ∴∠2＝∠3. 21.3 特殊的平行四边形/ 【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？ 它的对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？ A B C D E F G H . O 知识点 3 探究新知 矩形的对称性及相关性质 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2条 矩形的性质： 中心对称： . 对称中心： . 中心对称图形 对角线的交点 21.3 特殊的平行四边形/ 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 矩形 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互 相平分 中心对称图形 对边平行 且相等 四个角 为直角 对角线互相 平分且相等 中心对称图形 轴对称图形 O 这是矩形所特有的性质 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 20 七彩城就梦想 A B C D O 两对全等的等腰三角形. 你在矩形中还发现了哪些基本图形？ 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ A B C D O 四个全等的直角三角形. 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 　　如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能 得到什么结论？ B C O A 　　Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？ 知识点 4 直角三角形的性质 探究新知 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 21.3 特殊的平行四边形/ O C B A D 证明:延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD,DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC . ∴BO= BD= AC. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究新知 21.3 特殊的平行四边形/ 如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4. ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18. 探究新知 考点1 1 利用直角三角形的性质解答题目 21.3 特殊的平行四边形/ (2)求证：EF垂直平分AD. 证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E,F在线段AD的垂直平分线上. ∴EF垂直平分AD. 探究新知 提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 21.3 特殊的平行四边形/ 三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由． A B C O 巩固练习 答：公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 21.3 特殊的平行四边形/ 1. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（ ） 链接中考 A.1 B.5 C.2 D. D 21.3 特殊的平行四边形/ 2. 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P，若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=（ ） 链接中考 C A.95° B.100° C.110° D.145° 21.3 特殊的平行四边形/ 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 课堂检测 基础巩固题 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 C 21.3 特殊的平行四边形/ 3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 课堂检测 21.3 特殊的平行四边形/ 4.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, . ∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC. 课堂检测 21.3 特殊的平行四边形/ 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°. ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 课堂检测 能力提升题 ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°. 21.3 特殊的平行四边形/ 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， 课堂检测 拓广探索题 ∴GF⊥DE. 21.3 特殊的平行四边形/ 矩形的相关概念及性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 对角线相等 既是轴对称图形也是中心对称图形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 课堂小结 定义 性质 直角三角形的性质 21.3 特殊的平行四边形/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 21.3 特殊的平行四边形/ 伴你成长 感谢您的观看 $