21.2.3 三角形的中位线-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步课件（人教版）

21.2 平行四边形 21.2.3 三角形的中位线 人教版 数学 八年级 下册 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！ 【想一想】为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC,你知道为什么吗? 导入新知 21.2 平行四边形/ 1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质. 2. 掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法. 学习目标 3. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 21.2 平行四边形/ 1.什么叫三角形的中线？有几条？ 2.三角形的中线有哪些性质？ A B C D E F 　　连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线. ①三角形的每一条中线把三角形的面积平分. ②三角形的中线相交于同一点. 探究新知 知识点 1 三角形的中位线 三角形有3条中线. 21.2 平行四边形/ A B C D E DE是△ ABC的 中位线. 什么叫三角形的中位线呢？ 探究新知 21.2 平行四边形/ 定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. A B C D E 如图，在△ABC中，D ， E分别是AB ， AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线. 探究新知 21.2 平行四边形/ 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有三条，如图，△ABC的中位线是DE，DF，EF. 问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 探究新知 21.2 平行四边形/ 问题3 如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ 探究新知 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论． 21.2 平行四边形/ 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析1： D E 猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 问题4 如何证明你的猜想？ 探究新知 B C A 21.2 平行四边形/ 分析2： D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长DE 探究新知 B C A 21.2 平行四边形/ 延长DE到F，使EF=DE． F ∴四边形BCFD是平行四边形. ∴△ADE≌△CFE. ∴∠ADE=∠F， 连接FC． ∵∠AED=∠CEF，AE=CE， 证法1： AD=CF. ∴BD CF. 又∵ ， ∴DF BC . ∴ DE∥BC， . ∴CF AD , 探究新知 证明： B C A D E 如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证： 21.2 平行四边形/ 证明： D E 延长DE到F，使EF=DE． 连接AF , CF , DC ． ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． F ∴四边形BCFD是平行四边形. ∴CF AD . ∴CF BD . 又∵ ， ∴DF BC ． ∴ DE∥BC， . 探究新知 B C A 证法2： 21.2 平行四边形/ A B C D E 如图，D ， E ， F分别是△ABC的三边的中点，那么，DE ， DF ， EF都是△ABC的中位线. F DE∥BC且DE= BC; 同理:DF∥AC且DF= AC; EF∥AB且EF= AB. 探究新知 21.2 平行四边形/ 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 三角形的中位线定理： A B C D E ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC且DE= BC. 符号语言： 有何作用？ （ ∵AD=BD, AE=CE ) 这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据. 探究新知 21.2 平行四边形/ A B C D E F 提示： ①中位线DE,EF,DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和四边形BDEF，四边形BFED和四边形CFDE，四边形ADFE和四边形DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 探究新知 21.2 平行四边形/ 如图，在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 解：∵D,E分别为AC,BC的中点， ∴DE∥AB，∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2. ∴AD＝DF＝3. ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 探究新知 考点 1 利用中位线定理求线段 21.2 平行四边形/ 三角形各边的长分别为6 cm、10 cm 和12cm ，连接各边中点所成三角形的周长是________. A B C D E F 6 10 12 14 cm 6 5 3 巩固练习 21.2 平行四边形/ 如图， A ，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A，B两点的实际距离？根据是什么？ A B C 测出MN的长，就可知A，B两点的距离. M N 分别找出AC和BC的中点M，N. 若MN=36 m，则AB= 2MN=72 m. 如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ 巩固练习 21.2 平行四边形/ 已知: 如图,在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC, CD,DA的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连接AC. ∵ AD=HD,CG=GD, ∴HG∥AC,且HG＝AC. 同理EF ∥ AC,且EF ＝AC. ∴EF ∥ HG且EF ＝ HG. ∴四边形EFGH是平行四边形. E F G H A B C D 探究新知 考点 2 利用三角形的中位线判断平行四边形 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 21.2 平行四边形/ 如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB,OC的中点，顺次连接点D,G,F,E.求证：四边形DGFE是平行四边形. A B C G F E D O ∴四边形DGFE是平行四边形. 证明： 在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE, = ∴ . = ∴ . = ∴ . 在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF, 巩固练习 21.2 平行四边形/ 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M ，N ， P分别是AD ， BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 解：∵M,N,P分别是AD,BC,BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线. ∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC. ∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形. ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°. 考点 3 利用三角形的中位线求角度 探究新知 ∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°. ∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°． 21.2 平行四边形/ A C B D E 5cm 如图， △ABC中,D , E分别是AB , AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED= . 60° 巩固练习 60° 如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°,则∠AMN = . 61° A M B C N 21.2 平行四边形/ 1. 如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（　　） A．20° B．40° C．70° D．110° 链接中考 C 21.2 平行四边形/ 2. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE，下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　） 链接中考 C A．OE=AD B．OE=BC C．OE=AB D．OE=AC 21.2 平行四边形/ 七彩城就梦想 1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （　　） A.8 B.10 C.12 D.16 D 课堂检测 基础巩固题 21.2 平行四边形/ 2.如图，点 D ， E ， F 分别是 △ABC 的三边AB ， BC ， AC的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B= ； （2）已知三边AB ， BC ， AC分别为12 ， 10 ， 8， 则△DEF的周长为 . 50° 15 A B C D F E 课堂检测 21.2 平行四边形/ 3.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长． 解：∵▱ABCD的周长为36， ∴BC+CD=18． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE= CD， ∴OE= BC. ∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15. 课堂检测 21.2 平行四边形/ 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF. ∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB（SAS). ∴CE＝BF. ∴CD＝2CE. F 课堂检测 21.2 平行四边形/ 如图，E,F,G,H分别为四边形ABCD四边的中点． 求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵E,F,G,H分别为四边形ABCD四边的中点， ∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD. ∴EH∥FG且EH=FG ， ∴四边形EFGH为平行四边形. 能力提升题 课堂检测 21.2 平行四边形/ G 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长． 解：取BC边的中点G，连接EG ， FG． ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线. 又BD=12，AC=16，AC⊥BD， ∴EG=8，FG=6，EG⊥FG. ∴ ∴EG∥AC, FG∥BD, 拓广探索题 课堂检测 21.2 平行四边形/ 三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 三角形的中位线定理 三角形的中位线定理的应用 课堂小结 三角形的中位线的概念 连接三角形两边中点的线段 21.2 平行四边形/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 21.2 平行四边形/ 伴你成长 感谢您的观看 $