20.1 勾股定理及其应用（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步课件（人教版）

20.1 勾股定理及其应用 （第1课时） 人教版 数学 八年级 下册 导入新知 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五. 勾 股 弦 20.1 勾股定理及其应用/ 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 2. 能用勾股定理解决一些简单问题. 学习目标 3. 通过用多种方法证明勾股定理，培养学生发散思维能力. 20.1 勾股定理及其应用/ 探究新知 知识点 1 勾股定理的认识与证明 如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形,所得正方形的面积分别为9，16, 25, 且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足:两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 3 4 5 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系? 20.1 勾股定理及其应用/ （图中每个小方格是1个单位面积） A中含有____个小方格，即 A的面积是 个单位面积． B的面积是 个单位面积． C的面积是 个单位面积． 9 9 18 9 A B C 图1 结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: SA+SB=SC 　 　【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？　　 探究新知 20.1 勾股定理及其应用/ 【讨论】2. SA+SB=SC在图2中还成立吗？ A B C 图2 结论：仍然成立. A的面积是 个单位面积． B的面积是 个单位面积． C的面积是 个单位面积． 34 25 9 （图中每个小方格是1个单位面积） 探究新知 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流． 20.1 勾股定理及其应用/ A B C 问题2 式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗? 问题4 那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是: a b c 至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC . a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 问题1 去掉网格结论会改变吗？ 问题3 去掉正方形结论会改变吗？ 探究新知 20.1 勾股定理及其应用/ 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2. a b c 猜想： 拼图证明 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚. 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的． 探究新知 20.1 勾股定理及其应用/ 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看. 赵爽拼图证明法： c 图1 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 图2 c 小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方 形，拼成一个新的正方形. 探究新知 20.1 勾股定理及其应用/ 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 b  a 〓 M N P 剪、拼过程展示： 探究新知 20.1 勾股定理及其应用/ 10 www.1230.org 初中数学资源网 七彩城就梦想 “赵爽弦图” 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 c a b 探究新知 ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形， 证明： ∴. 20.1 勾股定理及其应用/ 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 探究新知 20.1 勾股定理及其应用/ a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab. ∴a2 +b2=c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4ab+c2 =c2+2ab， 探究新知 20.1 勾股定理及其应用/ a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 证明： 探究新知 ∵S梯形， S梯形， 20.1 勾股定理及其应用/ 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 勾 股 弦 a b c 表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则. 探究新知 A B C 20.1 勾股定理及其应用/ A B C 　　勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方. c b a a2 + b2 =c2 a2=c2－b2 b2 =c2-a2 探究新知 公式变形 20.1 勾股定理及其应用/ 求下列图中字母所表示的正方形的面积. =625 225 400 A 225 81 B =144 巩固练习 20.1 勾股定理及其应用/ 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b. 解： (1)据勾股定理得 (2)据勾股定理得 C A B 利用勾股定理求直角三角形的边长 c b a 探究新知 考点1 ； 20.1 勾股定理及其应用/ 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c；   （3）已知b=15，c=25，求a. 解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13; 解：由勾股定理得62+b2=102, b=8; 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20. a c b 巩固练习 a b c 20.1 勾股定理及其应用/ （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 在Rt△ABC中， ∠C=90°. 解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得， (2) 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得， (舍去). 提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 探究新知 勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长 （舍去）. 考点2 ∴. ∵∠A=30°，b=15， ∴c=2a. ∴. 20.1 勾股定理及其应用/ 求出下列直角三角形中未知边的长度： 6 8 x 5 x 13 解：（1）由勾股定理得 =36+64 =100 x2=62+82 x=10; ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12. （2）由勾股定理得 巩固练习 20.1 勾股定理及其应用/ 1.已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和，则其斜边的长为 . 链接中考 2.如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为 . 3 100 20.1 勾股定理及其应用/ 1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的长为（ ） A.13 B.17 C. 15 D.18 2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则 另一直角边长为（ ） A.8 B.40 C.50 D.36 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则a= _____，b = ______. C A 60 80 课堂检测 基础巩固题 20.1 勾股定理及其应用/ 课堂检测 4.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离. 解：在Rt△AOB中，∵OA=5，OB=4, ∴A、B两点间的距离为. ∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41, ∴AB=. 20.1 勾股定理及其应用/ A B C D 7cm 5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为___________cm2 ． 49 课堂检测 20.1 勾股定理及其应用/ 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图，; 当BC为斜边时，如图，. 4 3 A C B 4 3 C A B 图 图 提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解. 课堂检测 能力提升题 20.1 勾股定理及其应用/ 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴AC×BC= AB×CD. ∴ CD=. A D B C 3 4 提示：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用． 课堂检测 拓广探索题 20.1 勾股定理及其应用/ 七彩城就梦想 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 课堂小结 证明 20.1 勾股定理及其应用/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 20.1 勾股定理及其应用/ 伴你成长 感谢您的观看 $