19.1 二次根式及其性质（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步课件（人教版）

19.1 二次根式及其性质 （第1课时） 人教版 数学 八年级 下册 19.1 二次根式及其性质/ 　　广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广.实际上，广播电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6400 km.如果两个广播电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 . 公式r=中的表示什么意义？ 式子表示什么？ 导入新知 19.1 二次根式及其性质/ 1. 理解二次根式的概念. 2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围. 学习目标 3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题. 19.1 二次根式及其性质/ （1）一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，那么t 为_____． 探究新知 知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点: （2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . 19.1 二次根式及其性质/ 4 七彩城就梦想 （1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示65，的算术平方根． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. （2）这些式子有什么共同特征？ 探究新知 在前面的问题中，得到的结果分别是：，，． 19.1 二次根式及其性质/ 一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. 二次根式是代数式. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 探究新知 归纳总结 19.1 二次根式及其性质/ 探究新知 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 由，得 当时，在实数范围内有意义. 【思考】当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 呢？ 因为，所以x可以为任意实数. 因为，所以 . 解： 19.1 二次根式及其性质/ 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究新知 利用二次根式的定义识别二次根式 （1） ； （2）81； （3）；（4）; （5） ;（6）；（7）. 考点1 19.1 二次根式及其性质/ 下列各式是二次根式吗? 是 是 是 是 是 巩固练习 （1） （2） （3） （4） （6） （5） （7） （8） （9） （10） 不是 不是 不是 不是 不是 19.1 二次根式及其性质/ 9 七彩城就梦想 1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解： ∴ 探究新知 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 （1）; 考点2 （2）. （2）由题意得 ∴. 归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. （1）由题意得， 19.1 二次根式及其性质/ 2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)∵无论x为任何实数， ， ∴当x=1时，在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义. 探究新知 归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. （1） （2） 19.1 二次根式及其性质/ (1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0； (3)多个二次根式相加如有意义的条件： (2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0； (4)二次根式与分式的和如有意义的条件： A≥0且B≠0. 探究新知 归纳总结 二次根式有意义的条件应用的不同类型： 19.1 二次根式及其性质/ x取何值时,下列二次根式有意义? 巩固练习 （1） （2） x≥1 x≤0 （3） （4） x为全体实数 x>0 （5） （6） x≥0 x≠0 x≥-1且x≠2 (7) （9） x>0 x为全体实数 (8) 19.1 二次根式及其性质/ 探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说， 19.1 二次根式及其性质/ 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知. 探究新知 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 归纳总结 19.1 二次根式及其性质/ 15 七彩城就梦想 解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5. 探究新知 利用二次根式的双重非负性求字母的值 若，求2a -b+3c的值. 提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 考点1 19.1 二次根式及其性质/ 已知和互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得 所以3x-y-1=0，2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9. ∴x+4y的平方根为±3. 巩固练习 19.1 二次根式及其性质/ 探究新知 二次根式的双重非负性和不等式求字母的值 已知实数x、y满足等式， 求的值. 解： 由题意得 解得x=2. 把x=2代入得y=-5. 所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(2+5)2=49. 总结：若，则根据被开方数0，可得a=0. 考点2 19.1 二次根式及其性质/ 已知,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=7.∴y=2. ∴3x+2y=3×7＋2×2=25. ∴3x+2y的算术平方根为5． 巩固练习 19.1 二次根式及其性质/ 链接中考 1.若在实数范围内有意义,则实数x的值可以是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 D 3.若代数式有意义,则实数x的取值范围是 . 2.已知x,y为实数,若满足,则的值 为( ) A.5 B.6 C.8 D.9 D 19.1 二次根式及其性质/ 3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值 为______． 课堂检测 基础巩固题 1.下面的式子是二次根式的是(　　 ) A. B. C. D. 2.二次根式 中的x的取值范围是（　 　） A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 D D -1 0 19.1 二次根式及其性质/ 4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 课堂检测 19.1 二次根式及其性质/ 七彩城就梦想 5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围． 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得 m≥2且m≠-1，m≠2， (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求 m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0. 课堂检测 ∴m＞2． ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9. 19.1 二次根式及其性质/ 七彩城就梦想 已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3.∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 能力提升题 课堂检测 19.1 二次根式及其性质/ 先阅读，后回答问题： 当x为何值时，有意义？ 解：由题意得x(x-1)≥0. 由乘法法则得或 解得x≥1 或x≤0. 即当x≥1 或x≤0时，有意义. 课堂检测 拓广探索题 19.1 二次根式及其性质/ 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？ 解：由题意得. 则或 解得或 即当或时，有意义． 课堂检测 19.1 二次根式及其性质/ 七彩城就梦想 二次根式有意义的条件和非负性 二次根式的定义 在有意义的条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集 二次根式的双重非负性 课堂小结 形如的式子叫作二次根式 19.1 二次根式及其性质/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 19.1 二次根式及其性质/ 伴你成长 感谢您的观看 $