专题18 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题18平行四边形、矩形、 菱形、正方形中最值 的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的最值问题 类型二、矩形中的最值问题 类型三、菱形中的最值问题 类型四、正方形中的最值问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行四边形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例1.(24-25八年级下江苏南京期中)如图，ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8,P为AB边上的 动点，以PA,PC为边作平行四边形PAQC,则线段AQ长度的最小值为() A.6 B.8 C.2W2 D.4N2 【变式1-1】(24-25八年级下·安徽淮南期中)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=2√5，BC=2, 点D是AC延长线上一点，以BA,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接CE,BE,有下列结论：① △ACE的面积不变；②EA+EB的最小值为3√5；③BE的最小值为4.其中正确的是() 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【变式1-2】(2026安徽阜阳一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1.点D在AB边上， 点E在AB的延长线上，连接CD,CE,且AD=BE.则下列结论错误的是() B A.CD+DE的最小值为 +2 B.CE-DE的最大值为√万-2 2 C.CD+AD的最小值为5+1 D.△CDE周长的最小值为√7+2 2 【变式1-3】(25-26八年级上陕西西安月考)(1)如图①，己知ABC,点M、N分别在边AC、BC上， 沿MN将ABC折叠，点C恰好落在边BC上的C处，若BN=8,CW=6,那么BC的长为 (2)如图②，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC⊥BD,若AC=7,BD=5,求 AB+CD的最小值； (3)如图③，在Rt ABC中，∠ACB=90°，点M、N分别在边AC、BC上运动，若满足 AC+CM=8,BC+CN=5,连接BM,AN,求BM+AN的最小值. D 图① 图② 图③ 类型二、矩形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及矩形四个直角的性质求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.勾股定理列式：在矩形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例2.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在RtABC中，∠BAC=90°，BA=5,BC=13,D是斜边 BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN长的最小值 为 【变式2-1】(24-25八年级下广西防城港期中)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点P在AD上， 点Q在BC上，且DP=BQ,连接CP,QD,则PC+QD的最小值为一· B 【变式2-2】(25-26九年级上陕西西安期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,P,Q分别是 BC,AB上的两个动点，AE=2,△AEQ沿EO折叠形成△FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值 是 B P 【变式2-3】(24-25八年级下山东青岛期末)如图①，在等边ABC中，AB=5,点M、N分别在边 AC、BC上，且AM=CN,你能求出线段MN长度的最小值吗？ 思路分析：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线AP,这样就把求线段MN的最小 值转化成求线段CP的最小值. B 钢丝绳 图① 图② 图③ 图④ 问题解决： 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求∠CAP的度数： (②)侧线段MN的最小值为 应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，图④是它的示意图，己知ABC是 等腰三角形，四边形BCDE是长方形，AB=AC=CD=4米，∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度 均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上. 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN·钢丝绳MN长度的最小值为 米. 类型三、菱形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。 例3.(24-25八年级下·吉林期末)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,E是CD上一动点，连接 BE,则BE的最小值为 B 【变式3-1】(25-26八年级上·重庆期末)四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O,点E为BC上 一动点，连接AE、OE,若AB=AC=4,则AE+OE的最小值是· 【变式3-2】(25-26八年级上·四川成都期末)等腰△ABD中，AB=AD=3,∠BAD=120°，将△ABD沿 BD所在直线翻折得到△BCD,再将△ABD水平向右平移，得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则 A'C+B'C的最小值为一· 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 【变式3-3】(24-25九年级下·河南南阳·期中)如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，对角线AC, BD相交于点O,P为线段BD上的一个动点，连接CP,将线段CP绕点C逆时针旋转60°至CO,连接OQ, 则线段0Q的长的最小值为，最大值为· 类型四、正方形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例4.(25-26九年级上·甘肃兰州期中)如图，正方形ABCD的边长为12cm,E是AB上一点，BE=4cm, P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是 cm. B 【变式4-1】(25-26九年级上陕西西安·月考)如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以 DE为边作正方形DEFG,M是CD的中点，连接GM,若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G M B 【变式4-2】(2025·山东烟台·模拟预测)如图，在正方形ABCD中，边长AB=2,点E为边BC的中点，连 接对角线BD,在BD上截取线段P心，使PQ=BD,连接P,E巴，则AP+PQ+EQ的最小值为一 D O B E 【变式4-3】(25-26九年级上·北京石景山·期末)如图，边长为2的正方形ABCD内有一动点E,满足 ∠AEB=90°，F为边BC上的动点，连接EF,DF. (1)当点F为边BC的中点时，EF长的最小值为 (2)EF+DF的最小值为 压轴专练 一、单选题 1.(2026河北张家口一模)如图，已知ABC的面积是12，AC=6,点D是AC上的动点，点E是AB的 中点，点F和点D关于点E成中心对称，则AF的最小值为() 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2025福建漳州模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E是AC上的一个 动点，点F是边BC的中点，连接BE,EF,若AC=I0,∠BCD=60°，则BE+EF最小值为() D A.5 B.53 C.10 D.10W5 3.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，以AE为边向 左作正方形AEFG,连接BG,则AE+BG的最小值是() D B A.4W2 B.25 C.5+√2 D.2+V2 4.(25-26九年级上安徽宿州月考)如图，墙面M0与地面N0垂直，一块矩形木板ABCD的顶点A,B分 别在OM和ON上滑动，连接0C(图中各点均在同一平面内)，己知AB=8,BC=3,在木板滑动的过程中， 下面说法正确的是() M D A.0C的最大值为9，最小值为3 B.0C的最大值为√73，最小值为3 C.0C的最大值为9，最小值为2 D.0C的最大值为√73，最小值为1 7/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(2025江苏宿迁·二模)如图，矩形ABCD中，己知AB=8,BC=BE=12,F为BE的中点，连接DE、 CE、CF,则DE+CF的最小值为 D E 6.(24-25八年级下·河南洛阳·月考)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,P是边AC上的一个动点， 以BC为对角线作平行四边形BPCD,则DP的最大值为 ,最小值为 7.(25-26九年级上河南驻马店·月考)如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交 于点O,点E为线段BD上一动点（不与点B重合）.连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转60得到AF; 则线段OF的最小值为 ,最大值为 D B 8.(2026四川成都一模)阅读材料：如图1，已知正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，则将△ABM 绕点B逆时针旋转60得到△FBG，则AM+BM+MC的最小值是线段FC的长度.根据阅读材料所提供的 方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形ABCD中有任意两个点P、Q,则 AP+BP+PQ+DQ+CQ的最小值是. 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M 图1 图2 三、解答题 9.(24-25八年级下.吉林长春期末)【问题原型】如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=2.点E是 边BC上一点，点F是对角线BD上一点，CE=DF,试探究AE+AF的最小值. D B D M-= M-- 图① 图② 图③ 【问题探究】如图②，小明首先过点C作，使CM∥BD,CM=AD=2,利用平行线的性质可得到 ∠MCB=LCBD=LADF,进而可利用△ADF≌△MCE,将AE+AF转化为AE+ME,这样就将问题转化为 寻找点E位置的问题. 以下是小明证明AF=ME的部分过程： 证明：过点C作CM,使CM∥BD,CM=AD=2,连结ME. :四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC,∠ADF=∠CBD. 证明过程缺失：AF=ME. 请你补全缺失的证明过程. 【解决问题】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点E的位置，使 AE+AF的值最小，此时AE+AF的最小值是 (保留作图痕迹) 10.(24-25八年级上广东广州期末)如图，在口ABCD中AD=1,AB=2,∠DAB=60 图1 图2 图3 备用图 (I)求∠ADB度数. 9/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)点E是AB上的动点，将ADE沿直线DE翻折等到△A'DE,则线段A'B是否存在最小值？存在则求出最 小值，不存在请说明理由， (3)在(2)的条件之下，点P是线段AB上的动点，连接CP,A'P,CP+A'P是否存在最小值？存在则求出 最小值，不存在请说明理由。 11.(22-23八年级下陕西西安期末)【问题提出】 (1)如图1，在Rt△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD,若BC=8,则AD= 【问题探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为边BC上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于 点F,连接BF,求线段BF的最小值， 【问题解决】 (3)在口ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,BC=6,E为BC边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于 点F取AF的中点为G,点H为边BC上一点，且BC=3BH,连接GH,求线段GH长度的最小值. 图1 图2 图3 12.(2026吉林长春.一模)【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，AB=4, 点G、H分别为边AB、CD的中点，以AG为边向下作正方形AEFG.点P、Q分别在边AD、AB上运动， 且AP=AQ,连结HP、F2.求HP+FQ的最小值 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段HP与Q成功接轨”，再依据“两点 之间，线段最短”解决问题.具体做法如下： 证明：如图②，取边BC的中点M,连结QM, 证明过程缺失 △DHP≌△BMQ(SAS). ∴.HP=MQ 请你帮助小明补全上述证明过程， 【问题解决】HP+FQ的最小值为 【拓展提升】如图③，在正方形ABCD中，AB=4,点P、Q分别在边AD、AB上运动，且AP=AQ,点 10/11 专题18 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的最值问题 类型二、矩形中的最值问题 类型三、菱形中的最值问题 类型四、正方形中的最值问题 压轴专练 类型一、平行四边形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 故选：B． 【变式1-2】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 【答案】C 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值， 此时， ，解得， 的最小值为， 的最小值为，故A结论正确，不符合题意； 当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值． 如图，作于， ， ，解得， ， ， 在中，， 的最大值为， 的最大值为，故B结论正确，不符合题意； 如图，以为一边作，过作交于， ，， ， 当，，三点共线，且时，取最小值， ， ， ， 的最小值为，故C结论错误，符合题意； 如图，过作，过作，与相交于， 作关于的对称点，分别连接，，，与交于， 则，，，四边形是平行四边形， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小值，最小值为， 的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________； （2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值； （3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值． 【答案】（1）14；（2）的最小值为；（3）的最小值为． 【分析】本题考查了平移的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，利用平移的性质构造平行四边形是解题的关键． （1）利用折叠的性质求得，据此求解即可； （2）平移至，连接、，利用平移的性质证出四边形是平行四边形，推出，，结合得到，再利用勾股定理求出的长，最后利用两点之间线段最短即可求出的最小值； （3）延长至，使，延长至，使，连接，，，平移至，连接、，同（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵沿将折叠，点恰好落在边上的处， ∴，∴， 故答案为：14； （2）如图，平移至，连接、， 由平移的性质可得，，， 四边形是平行四边形， ，， 又 ， ， ， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为； （3）延长至，使，延长至，使，连接，，， ∵， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， 平移至，连接、， 则四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为． 类型二、矩形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及矩形四个直角的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2. 勾股定理列式：在矩形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 【变式2-1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 【答案】5 【分析】本题考查的是最短路径问题，矩形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴． ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，你能求出线段长度的最小值吗？ 思路分析：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．这样就把求线段的最小值转化成求线段的最小值． 问题解决： (1)求的度数； (2)则线段的最小值为_______． 应用：如图，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，图是它的示意图，已知是等腰三角形，四边形是长方形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上． 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为__________米． 【答案】(1)； (2)；应用：． 【分析】（）过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过点作于点，先求出，证明四边形是平行四边形得，，进而得，则，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数； （）先在中，根据，，得，由 （）可知，则当最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当时，为最小，则当点与点重合时，为最小，最小值是线段的长，由此即可得出线段的最小值； 应用: 连接，过点作于点，交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过点作于点，先求出，证明四边形是平行四边形得，，进而得，由三角形内角和定理得，根据得当最小时，为最小, 再根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，根据等腰三角形和矩形的性质分别求出米，米，米，米，再由勾股定理得米，再求出，得，继而得是等腰直角三角形，由勾股定理得米，由此即可得出最小值. 【详解】（1）解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过点作于点，如图所示: ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵于点， ∴是直角三角形， 在 中，，， ∴， 由（）可知， ∴当最小时，为最小， ∵点在射线上运动，根据“垂线段最短”得：当时，为最小， ∴当点与点重合时，为最小，最小值是线段的长， ∴的最小值是， ∴线段的最小值为， 故答案为：； 应用：连接，过点作于点，交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，作射线，过于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，为最小， ∵点在射线上，根据“垂线段最短”得：当时，为最小， ∴当点与点重合时，为最小，最小值是线段的长， ∴的最小值是线段的长， 在矩形中，米，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，，， 在中，米，， ∴米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 在中，（米）， 由勾股定理得：（米）， ∵，， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴（米）， ∴的最小值是米， 故答案为：． 类型三、菱形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。 例3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形和三角形．熟练掌握菱形性质，含30°的直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，是解题的关键． 过点B作于点F，根据菱形性质可得，得，根据，得，由，得的最小值为． 【详解】解：过点B作于点F，则， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·重庆·期末）四边形是菱形，对角线、交于点，点为上一动点，连接、，若，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由菱形的性质可得，易得是等边三角形，可得；如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则根据轴对称的性质以及三角形的三边关系可得为的最小值；再根据等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得的长即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则 ∵点关于的对称点， ∴， ∴，即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，； 同理可得：，即， ∴ ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）等腰中，，将沿所在直线翻折得到，再将水平向右平移，得到，分别连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质，掌握相关知识的应用是解题的关键． 设与交于点，由平移性质可得，，再由菱形的判定得出四边形是菱形，则有，，确定，，得到四边形是平行四边形，故有，则的最小值的最小值，作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值，由，，则，，然后通过等腰三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵，将沿所在直线翻折得到， ∴，， ∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，， ∵折叠，等腰， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接， 当三点共线时，则的长度即为的最小值， 根据题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为_____，最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，点到直线的距离，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．在上取一点，使，连接．证明，则．由点为定点，为线段上的一个动点，∴当时，有最小值，利用菱形性质知，则，即可得的最小值为；当点P运动到点B时，最大，即有最大值，先证明Q，C，D三点共线，过点B作．分别求出，，利用勾股定理求出，即可得的最大值． 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值， 此时， ∵， ∴， ∴最小值为， ∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵， ∴， ∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：；． 类型四、正方形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，正方形的边长为，E是上一点，，P是对角线上一动点，则的最小值是___________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及正方形的性质，正确得出点位置是解题关键． 直接利用正方形的性质，得出点关于直线对称，连接，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示：连接， 由题意可得：点关于直线对称，则点是与的交点， ∵正方形的边长为， ， 则． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接．若正方形的边长为8，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；由可证明得到，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，最后由为等腰直角三角形可求出的最小值. 【详解】解：连接并延长与延长线交于点K，过点M作于T，如图所示： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长. ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为中点， ∴ 由勾股定理得 ∴ ∴ ∴的最小值为 故答案为：. 【变式4-2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在正方形中，边长，点为边的中点，连接对角线，在上截取线段，使，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点，进而证明四边形是平行四边形，得出的最小值为，再勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴的最小值为 ∵， ∴ ∴， ∵是的中点 ∴ ∴， 在中， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 一、单选题 1．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，点是边的中点，连接，．若，，则最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 连接交于，连接．利用菱形的性质证明，推出，此时的值最小，最小值为的长，求出即可解决问题． 【详解】解：连接交于，连接． ∵四边形是菱形， ， ∴垂直平分， ∴， ∴此时最小，最小值为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即最小值为5， 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，是边上的动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线的长， ∴的最小值为线的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 故选：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 二、填空题 5．（2025·江苏宿迁·二模）如图，矩形中，已知，，为的中点，连接、、，则的最小值为________． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，取的中点，连接，，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵，为的中点 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 6．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在中，，，是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质得出当时, 最小，然后连接，利用等腰三角形的性质得出，再由勾股定理及三角形等面积法即可求解；点P在A点时，最大为，根据解答即可． 【详解】解：设与交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∵ 是边上的一个动点， ∴当时, 最小， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点P在A点时，最大为， 这时， 故答案为：8；． 7．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到；则线段的最小值为____________，最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，可得出点在的角平分线上运动，故当时，的值最小，最后利用直角三角形的角所对直角边等于斜边的一半即可求值；当与点重合时，的值最大，过作于点，根据等边三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理即可求值． 【详解】解：如图，连接， 四边形为菱形， ，，． ，， 为等边三角形， ，， ， 同理可证，为等边三角形． 由旋转得，，， ， ， ， ， 点在的角平分线上运动， 如图，当时，的值最小， 在中，， ， 即线段的最小值为； 当与点重合时，的值最大，如图，过作于点，设与交于点，连接， 由上可知，， ． 为等边三角形，， ，， ， ， ． 由旋转得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 8．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，， ∴，，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，， ∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，， ∴是，的垂直平分线， ∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在菱形中，点E是边上一点，点F是对角线上一点，，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先过点C作，使，，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点E位置的问题． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点C作CM，使，，连结 四边形是菱形， 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点E的位置，使的值最小，此时的最小值是___________保留作图痕迹 【答案】【问题探究】见解析，【解决问题】图见解析，最小值 【分析】问题探究∶由题意补全证明过程即可； 解决问题∶连接交BD于点O，由作图知即为的最小值．由勾股定理可得出答案． 【详解】问题探究: 证明过程补全如下：， ， ， ， 解决问题: 连接交于点O，由作图知即为的最小值． ，四边形是菱形， 是等边三角形，， ， ， ， ， 故答案为： 作图如下： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11．（22-23八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，点为边的中点，连接，若，则________． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值． 【问题解决】 （3）在中，，，，为边上一点，连接，过点作于点取的中点为，点为边上一点，且，连接，求线段长度的最小值．    【答案】（1）4，（2）2，（3） 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解； （2）连接点F和中点M，连接，易得，根据勾股定理求出，当点B、F、M三点共线时，线段最短，即可求解； （3）作点A关于的对称点，连接，交于点Q，连接，先证明点Q和点H重合，则根据勾股定理可求出，根据中位线定理得出，则当线段长度最小时，线段长度取最小值，连接点F和中点N，当点N、F、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，点为边的中点，， ∴， 故答案为：4； （2）连接点F和中点M，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵，点M为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴当点B、F、M三点共线时，线段最短， 此时的最小值；    （3）作点A关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∵，， ∴， ∵点A和点关于对称， ∴，   ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点Q和点H重合， 根据勾股定理可得：， ∵点A和点关于对称， ∴，则， ∵点G为的中点， ∴，则当线段长度最小时，线段长度取最小值， 连接点F和中点N， ∵，， ∴， 当点N、F、在同一条直线上时，取最小值， 此时， ∴长度最小值， ∴．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，四边形综合，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理；含角直角三角形的特征；以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 12．（2026·吉林长春·一模）【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决；拓展提升： 【分析】问题探究：利用正方形的性质和中点性质得，，再由，得，即可由得出，从而由全等三角形的性质得出结论； 问题解决：连接，根据两点之间，线段最短得，当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于N，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解； 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，则，，根据两点之间，线段最短得，，所以当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：问题探究： 证明：如图②，取边的中点，连结． ∵正方形， ∴，， ∵M，分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ， ． 问题解决：如图②，连接， ∵， ∴当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于， 延长、相交于N， ∵正方形，正方形，为边的中点，， ∴正方形， ∴，， ∴ 由勾股定理，得， ∴的最小值为． 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，如图③， 由问题探究可知：，， ∵ ∴当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于， ∵正方形，正方形，，， ∴，，， ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $