专题17 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题17 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的折叠问题 类型二、矩形中的折叠问题 类型三、菱形中的折叠问题 类型四、正方形中的折叠问题 压轴专练 类型一、平行四边形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。 2. 设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理或全等列方程求解。 例1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质得，，根据对称的性质得，，，，继而得到，然后在中，根据三角形内角和定理列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将平行四边形沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∵将边沿进行折叠，点又恰好落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴平行四边形的较小内角为． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，将进行折叠，折叠后恰好经过点，得到，，，，则线段的长度为______．    【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点得到， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 类型二、矩形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，寻找折叠产生的直角三角形或全等形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由矩形本身决定的等量关系。 2. 设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段长为x，利用勾股定理列方程求解。 例2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，有一矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将沿向右折叠，与交于点F，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由折叠的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质得，再根据平角的定义得，根据三角形的内角和得，最后根据平角的定义表示出的度数． 【详解】解：根据折叠，得， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A ． 【变式2-1】（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 由折叠得， 在中，， ， 在Rt中，， ， 解得， ∴点的坐标为． 【变式2-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ）， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)，，2， (2)或7 (3)2或 【分析】（1）根据推理过程利用勾股定理填空即可； （2）当为直角三角形时，分当点落在矩形内部，时，当点落在边上，时，两种情况讨论即可； （3）过点作于N，交于点M，设，则，分点在线段上；点在延长线上；两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即， 解得； （2）解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部，时，如图， ∵在矩形中，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得，即； 当点落在边上，时，如图， 此时，， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为或； （3）解：过点作于N，交于点M， 设，则， 当点在线段上时，如图， ∵是边的中垂线， ∴，， 由勾股定理可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上知：的长为或． 类型三、菱形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系（如四边相等）。 2. 设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。 例3．（2025·浙江丽水·二模）将边长为的菱形分别沿着和折叠（,,,分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，证明，再根据折叠的性质，和勾股定理解得，后根据三角形的周长解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在菱形中，，是的中点，连接 （1）的长为___________； （2）若分别是上的点，将沿着折叠，使得点恰好落在点处，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定以及折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质得 ，进而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，然后根据勾股定理求出； （2）设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点是的中点， ∴，， 根据勾股定理，得． 故答案为：． （2）设，则， ∵将沿着折叠，使得点恰好落在点处， ∴， 由（1）可知，，， ∴，即． 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：7． 类型四、正方形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 正方形性质：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由正方形本身决定的等量关系（如边长相等）。 2. 设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。 例4．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【答案】B 【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半． 【详解】解：如图，连接、，作于M． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 的周长， 又∵正方形的周长， 的值为2， 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-2】（2024九年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）答案看详解； （2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：； （2）证明：由折叠可知， 过点作于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理、最短路径问题，先根据两点之间线段最短得到线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，根据矩形和折叠性质得到，，在中，由勾股定理求得即可． 【详解】解：连接， ∵，当D、F、B共线时取等号， ∴线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，如图： 在矩形中，，，则， 由折叠性质得，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即线段的值最小时，的长度为， 故选：D． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 4．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 点G是的中点， ， 沿折叠至， ，， ，， ， ， ， 设，则， 根据图形翻折的性质可知，， 在中，， ， 解得， 的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸片先沿折叠，点A，B分别落在点、处，将得到的图形再沿折叠，点、分别落在点、处．若，则的度数为__________． 【答案】/155度 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题、折叠的性质、平行线的性质等知识点，根据题意、弄清角之间的关系是解题的关键． 根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得：，再根据平行线的性质，可得，即可求得的值，最后根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由沿折叠可知：， ∴， 由沿折叠可知：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 【答案】55度/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质， 先根据菱形等腰三角形的性质得，再根据折叠的性质求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由折叠的性质得， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．_____；若四边形是平行四边形，则的值为_______． 【答案】 30 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，根据折叠的性质证得，根据平行线的性质即可求；根据折叠的性质和平行四边形的性质即可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30；． 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形纸片中，点是上一点，，，连接，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接、．以下结论：①；②；③若连接，则为直角三角形；④若纸片为矩形，，，点是上一点，将矩形沿折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，则．其中正确结论的序号是____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，勾股定理，解一元一次方程，直角三角形判定． 根据题意利用全等判定及性质即可判断①②，再根据勾股定理即可判断③，再分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵正方形纸片，将正方形沿折叠，点落在点处， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即①正确； ∴，即②正确； 设，， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形，③正确； 当时， ∵为矩形，，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴设，， ∴，解得：， ∴， 当时，翻折将到如下图所示位置： ∵将矩形沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为或，即④不正确， 故答案为：①②③． 三、解答题 9．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． 【问题探索】 （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形； 【拓展延伸】 （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长； （3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，，，由得到，因此，从而，即可得到，得证结论； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分点E不与点C重合，点E与点C重合两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ． （3）解：当点E不与点C重合时，延长交于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由折叠有， ∴在中，， ∴； ②当与点C重合时，记，的交点为， 由①可知，当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得： 综上所述，或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 11．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 【答案】(1)C， (2)见解析 (3)见解析，的长为或 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形；问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，可得，然后设，则，在中利用勾股定理列方程，求出，再由即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【详解】（1）解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：C； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 点到的距离为， 故答案为：； （2）解：点的位置如下图所示； （3）解：①如图所示， 当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则， 由题意，得，，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ； ②如图所示， 当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图——角平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． 12．（23-24八年级下·广东珠海·期中）【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、．    【观察计算】 （1）在图1中，的值是_____． 【操作探究】 （2）如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由； （3）如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明； 【操作拓展】 （4）如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由） 【答案】（1）；（2）点在折痕上，见解析；（3），见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，得到，，，根据勾股定理，得到 ，结合，代入计算即可． （2）作于点M，则M是的中点，故直线是线段的垂直平分线． 由图2中的折叠可知：H是的中点，而线段只有一个中点，H与M重合，是线段的垂直平分线．而是线段垂直平分，∴，是同一条直线，证明即可． （3）根据折叠的性质，正方形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，等量代换思想证明即可． （4）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕，画图即可． 【详解】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，    得 ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）点在折痕上，理由如下：    证明如下：四边形是正方形，， 由图1中的折叠可知，，， ∴， ∴， 作于点M， 则M是的中点， 故直线是线段的垂直平分线． 由图2中的折叠可知：H是的中点， 而线段只有一个中点， ∴H与M重合， ∴是线段的垂直平分线． 而是线段垂直平分， ∴，是同一条直线， ∴在折痕上． （3），理由如下： 连接，    根据折叠的性质，得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与直线是重合的， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点Q，延长交于点K， 根据前面证明，得到，， ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕，    则与的交点即为所求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17平行四边形、矩形、 菱形、正方形中折叠 四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的折叠问题 类型二、矩形中的折叠问题 类型三、菱形中的折叠问题 类型四、正方形中的折叠问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行四边形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。 2.设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理或全等 列方程求解。 例1.(25-26八年级上·山东烟台期末)如图，将▣ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若 ∠1=∠2=38°，则∠D=() A.123° B.124 C.125° D.126° 【变式1-1】(24-25八年级下·河北石家庄·期末)如图，将平行四边形ABCD沿BF折叠，使点C恰好落在 边AD上的点E处，若此时将边AB沿BE进行折叠，点A又恰好落在点F处，则平行四边形ABCD的较小 内角为() 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.36 B.30° C.72 D.60° 【变式1-2】(24-25八年级下海南海口期中)如图，在口ABCD中，BA⊥AC,将口ABCD进行折叠，折 叠后AD恰好经过点C,得到AD',DE=10,CE=8,∠BAC=90°，则线段AC的长度为 D 【变式1-3】(24-25八年级下·浙江杭州月考)综合与探究 图1 图2 图3 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形， 【操作判断】如图I,将口ABCD沿着对角线BD折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：BC=CD。 【类比探究】如图2，在口ABCD的一边AD上取一点E,沿着BE折叠△ABE,点A的对称点A恰好落在对 角线BD上，若点A与点C,E共线，DE=1,求A'C的长. 【问题解决】如图3，在口ABCD的一边AD上取一点E,沿着BE折叠△ABE,点A的对称点恰好落在 CD的中点处，若DE=1,求AE的长. 类型二、矩形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，寻找折叠产生的直角三角形或全等形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由矩形本身决定的等量关系。 2. 设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段长为x,利用勾股定理列方程求解。 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例2.(2025黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，有一矩形纸片ABCD,AB=6cm,AD=4cm,将矩形纸片折 叠，使边AD落在边AB上，折痕为AE,再将△AED沿DE向右折叠，AE与BC交于点F,△CEF的面积 为()cm A B A B B A C E E A.1 B.2 C.4 D.6 【变式2-1】(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，已知矩形ABCD,E为线段CD上一点（如图甲），现将 其沿BE折叠，F为C点关于BE的对称点，线段BF,EF分别交AD于G,H(如图乙)，再沿GH折叠，F点 关于GH的对称点Q恰好落在线段BE上，若∠EBC=a度，则用含α的代数式表示∠HQE的度数为() 度 图甲 图乙 图丙 A.90-3a B.180-2a C.3a D.90-2a 【变式2-1】(2025陕西榆林.三模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的边0C,OA分别在x、y轴 上，点D的坐标为5,4)，点E在边CD上.将ADE沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点 F处，则点E的坐标为 D C 【变式2-3】(24-25八年级上·广东深圳期末)在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通 过构造直角三角形，利用勾股定理来解决. 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图 (备用图1) (备用图2) (I)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10,点E是CD边上一点，将ADE沿AE折叠，使点D落在 BC边上的D处，求CE的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：△D'AE≌△DAE, .AD'=AD=10,ED'=ED, :∠B=90°，AB=6, .BD'=-, .CD'=- 在Rt△CED'中，设CE=x,则D'E=DE=6-x. 由勾股定理可得：DC2+CE2=DE2,即(_)2+x2=(6-x)2, 解得CE=- (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=12,AD=5,点E是CD边上一动点，将ADE沿AE折叠，点D落在D 点处，当aCED'为直角三角形时，求CE的长； (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=8,AD=5,点E是直线CD上一动点，将ADE沿AE折叠，当点D的 对应点D恰好落到AB边的中垂线上时，请直接写出CE的长. 类型三、菱形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直 角三角形。 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系（如四边相等）。 2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理列方程求解。 例3.(2025浙江丽水·二模)将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD, BC,AD,AB上)，使点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处.若∠C=45°，DE=CE, EF⊥BC于点F,则△BHM的周长为(). B. 5 A.2a 2 【变式3-1】(25-26九年级上山东菏泽期末)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=8,点E在边BC 上，连接AE,将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() D E A.3 B.8-32 C.22 D.8√2-8 【变式3-2】(25-26九年级上安微宣城开学考试)如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠BAD=60°，E是 CD的中点，连接AE,BE (1)BE的长为 (2)若G,H分别是AD,AB上的点，将△AGH沿着GH折叠，使得点A恰好落在点E处，则AH的长为 类型四、正方形中的折叠问题 方法总结 1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.正方形性质：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找折叠产生的全 等三角形或直角三角形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由正方形本身决定的等量关系（如边长相等）。 2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理列方程求解。 例4.(2024八年级下·湖南长沙竞赛)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H 不与端点C,D重合)，折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD 的周长为m,△CHG的周长为n,则”的值为() A.√2 B.2 C.5+1 D.随H点位置的变化而变化 【变式4-1】(24-25七年级下·湖北武汉·月考)己知正方形ABCD,点E、F、M、、G、H是正方形边上 的点，点P是正方形内一点.如图(1)，将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上点E,如图 (2),展开后沿过P点的线段MN折叠，使点G落在GH上点G',若∠NMA'=26°，则∠FHG的度数为() G G (1) (2) A.64° B.52° C.36 D.26° 【变式4-2】(2024九年级下·广东·专题练习)综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠. G 图 图2 图3 图4 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 素材：一张正方形纸片ABCD 步骤1：将如图1所示的正方形纸片ABCD沿AE折叠（折痕经过顶点A)得到图2； 步骤2：将点A折叠到点E,得到图3，展开得到AE,FG两条折痕，如图4所示. 猜想与证明： (I)请直接写出AE,FG的数量与位置关系； (2)证明(1)中你发现的结论. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于 点E.若。ABCD的周长为I2,则△ABE的周长是() D A.3 B.6 C.8 D.12 2.(24-25八年级下山东威海·期中)数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.如图， 矩形ABCD中，AD=3,AB=4,点E是AB边上与点A和点B不重合的任意一点，小明把矩形ABCD沿 DE折叠，使点A落在点F处，连接BF,当线段DF+BF的值最小时，AE的长度为() D F B.2 3 c D. 3.(2025河北邯郸一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6,点E在边CD上，且DE=4, F是边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边界） 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 时，DF的长度的最小值是() B A.2 B.2W13 C.4 D.4W2 4.(25-26九年级上·贵州六盘水期末)如图，在正方形ABCD中，AB=8,将ADE沿AE折叠至△AFE, 延长EF交BC于点G.若点G刚好是BC的中点，则DE的长是() D G A.1 B. 3 D.3 二、填空题 5.(25-26八年级上·全国·期末)如图，将一张长方形纸片ABCD先沿EF折叠，点A,B分别落在点、B 处，将得到的图形再沿ED折叠，点A、B分别落在点”、B处.若LFEA”=IO5°，则∠CFE的度数为 B E D B B" 6.(2025河北一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=70°，连接BD,将菱形ABCD沿过点B的直线折叠， 使得点C的对应点F恰好落在BD上，折痕BE交CD于点E,延长EF交AD于点G,则LDGE的度数为 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 GD F E B C 7.(24-25七年级下·浙江杭州月考)如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上 的点Q处.折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PO,AQ折叠，此时点C,D落在AP上的同一点R 处.∠P10=—;若四边形4PCD是平行四边形，则 的值为。 OR D 8.(24-25九年级上·四川宜宾期末)如图，在正方形纸片ABCD中，点E是BC上一点，BE=5,EC=10 ,连接AE,将正方形沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G,连接AG、FC,以下结论：① LEAG=45°；②EG=BE+CG;③若连接DF,则△DFC为直角三角形；④若纸片ABCD为矩形， AB=I2,BC=16,点E是BC上一点，将矩形沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC,当△CEF为直角三 角形时，则BE=6.其中正确结论的序号是· A D B 三、解答题 9.(2026江苏无锡一模)问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在口ABCD中， BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点，连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； 9/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B G 图① 图② 图③ (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (②)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将▣ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②， 点C的对应点为C,连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明： (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将▣ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A',使 4'B1CD于点H,连接AM,交CD于点N,若此ABCD的面积为20，边长AB=5,BC8V5 求图中 阴影部分（四边形BHM)的面积. 10.(24-25八年级下·陕西渭南期末)【问题背景】 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中，己知AB=10, AD=4√10，口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B. B D B B B E E 图1 图2 图3 【问题探索】 (1)如图1，若点B恰好落在AD上时，求证：四边形ABEB为菱形； 【拓展延伸】 (2)如图2，若LBAE=45°时，连接BB',并延长交CD于点G.求线段B'G的长； (3)如图3，改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB是以∠BCB'为直角的三角形时， 求BC的长度. 11.(24-25八年级下，贵州黔西南·期末)综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活 动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数 学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题， 10/12