专题16 正方形的性质与判定六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题16 正方形的性质与判定六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用正方形的性质求角度或线段长 类型二、正方形中的折叠问题 类型三、根据正方形的性质证明与求解 类型四、根据正方形的性质与判定求解 类型五、正方形的性质与判定的综合问题 类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 压轴专练 类型一、利用正方形的性质求角度或线段长 方法总结 1. 正方形=矩形+菱形：综合运用矩形的“四个角为直角”和菱形的“对角线平分对角”性质。 2. 内角和转化：将所求角置于三角形或特殊图形中，利用内角和、外角、平角等关系求解。 解题技巧 1. 对角线模型：连接对角线，利用其“垂直、平分、相等且平分对角”的性质，寻找45°、90°角。 2. 等腰三角形：正方形边或对角线构成的等腰直角三角形，是计算角度的常用模型。 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形中，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，点为的中点，的延长线与交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 连接，先证明，设，则，再证明，则，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的外角性质． 根据正方形的性质求得，根据三角形的外角性质求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，点在对角线上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】1或2或 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：根据题意，可知：在正方形中，，点E是边的中点， ∴，，． 当时，设， ∴． ，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或2或 ． 故答案为：1或2或 类型二、正方形中的折叠问题 方法总结 1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，且折叠前后对应线段相等、对应角相等。 2. 结合正方形：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找全等或特殊直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，尤其是与正方形边长相等的边。 2. 设元勾股：通常在折叠形成的直角三角形中，设未知边长为x，利用正方形边长关系和勾股定理列方程。 例2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．连接交于点O，过点F作交于点M，交于点N，根据勾股定理求出，根据折叠得出，根据勾股定理得出，求出，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则，过点F作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵，点E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 【变式2-2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为 ；点E的坐标为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得，即， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：5，． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形纸片的边长为，点P是线段上一动点，连接，将这张正方形纸片沿所在直线折叠，点B的对应点为，延长交边于点E，当点P为线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】3或 【分析】根据折叠的性质可得，，，再根据证明，则可得．设，则，．然后分两种情况：①当时，②当时，在中根据勾股定理列方程求出x的值即可． 本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿所在直线折叠后得到， ∴，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则，． ①当时，， 则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． ②当时，， 则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，当点P为线段的三等分点时，的长为3或． 故答案为：为3或． 类型三、根据正方形的性质证明与求解 方法总结 1. 性质整合：综合运用正方形“四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等并平分对角”的全部性质。 2. 目标导向：根据待证或所求（边等、角等、垂直等），选择直接相关的性质进行推理或建方程。 解题技巧 1. 构造全等：通过连接对角线或作辅助线，构造全等直角三角形，是证明线段或角相等的常用手法。 2. 巧用45°：对角线平分直角产生的45°角，是进行角度计算和证明的重要切入点。 例3．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．    (1)若，求的长度； (2)当点E是边的中点时，求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理． （1）利用正方形的性质以及余角的性质证明，然后利用证明，即可求解； （2）由（1）中的全等三角形我们可得出，因此，和中，有一条公共边，，因此两三角形全等，那么，由（1）知，因此，即可证明． 【详解】（1）解：如图，      ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴； （2）证明：∵点E位于线段中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求线段的长． (3)在（2）的条件下，直接写出此时的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）通过正方形的边相等和翻折的性质，得到再利用等腰三角形等边对等角证角相等． （2）先判断直角顶点为，作辅助线，通过全等三角形转化线段关系，结合勾股定理计算的长； （3）作、，用面积法求，结合矩形性质与勾股定理求． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 沿翻折得， ， ， ； （2）解：过点D作于点G， ∵点在上，点在正方形内， ∴、为锐角，，， ∴当为直角三角形时，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴（） ∴， 设，则， 在中，由勾股定理即， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：过点作，于、，连接， ∵，，，， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得即， 解得， ∴． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)求证：； (2)若，，的长度为 ； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)2； (3)的度数是或 【分析】（1）过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，则可得四边形，四边形和四边形都是矩形，则可得，，．根据同角的余角相等可得，再证是等腰直角三角形，则可得，进而可得，根据证明，则可得． （2）四边形是正方形，且，可得，．由可得，进而可得，，，则可得，则F点与C点重合，因此． （3）分两种情况讨论：①当时，，在四边形中，根据四边形内角和等于，可求得．②当时，先根据三角形内角和定理求得，进而可得．由是的外角，且可得． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，如图1所示： ∵四边形是正方形， ，，，， ， ∴四边形，四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点与C点重合， ∴． 故答案为：2； （3）解：∵点E为对角线上一点， ∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图3①所示： ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数是或． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西抚州·期中）综合与实践： 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； (1)【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________； (2)【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________． 【答案】(1) ， ， (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形、都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为：，； （2）解：． 理由：∵四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又，， ∴． （3）解：在正方形ABCD中，， ∴． 由（2）知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 类型四、根据正方形的性质与判定求解 方法总结 1. 先判后性：先依据一组邻边相等且有一个直角等条件，判定四边形为正方形。 2. 再性求解：再利用正方形的性质（四边等、四直角、对角线特性）求值或证明。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择“一个角为直角的菱形”或“一组邻边相等的矩形”等简捷判定。 2. 对角线模型：连接对角线，利用其垂直、平分、相等的特性构造全等直角三角形解题。 例4．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，能够正确作出辅助线是解题关键． 直接根据点，点即可求出；过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴ 如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，点D为边上的点，将沿折叠，使点A落在点E处，连接，已知，，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，分三种情况讨论：；；，根据折叠的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∵为直角三角形， ∴或或， ①当时， ∵， ∴， ∴C、E、B共线， 如图， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， 而，，， 故此种情况不合题意； ③当时， 由折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 类型五、正方形的性质与判定的综合问题 方法总结 1. 判性结合：先根据条件判定正方形，再综合运用其所有性质（边、角、对角线）推导新结论或求值。 2. 数形转化：将几何关系（如线段和、角度和）转化为代数方程，或利用全等、勾股定理求解。 解题技巧 1. 对角线分直角：连接对角线，将问题转化为等腰直角三角形问题，是核心解题模型。 2. 构造全等：通过作辅助线（如垂线）构造全等三角形，是证明线段相等或垂直的常用技巧。 例5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角形全等，得出四边形的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正方形； （2）根据和的长度，算出的长度，用勾股定理求出四边形的边长，再计算其周长． 【详解】（1）（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ，， 四边形是菱形． ， ， ， 四边形是正方形． （2）解：，， ， ． 四边形是正方形， 四边形的周长． 【变式5-1】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． (1)当为多少度时，四边形为正方形？ (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，正方形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据等边对等角，结合正方形的判定方法，进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出和的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为正方形； （2）在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】（25-26九年级上·江西吉安·月考）在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及正方形的面积计算，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得和，即可得出结论； （2）根据正方形的性质可得，再利用正方形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）解：证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，，D是的中点， ∴在中，，， ∴平行四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知，， 在中，， ． 【变式5-3】（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）【问题解决】如图1，在矩形中，点，分别在，C边上，，于点．      （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 【类比迁移】 如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】证明见解析； 是等腰三角形，理由见解析； 类比迁移：． 【分析】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，解决本题的关键是做辅助线构造三角形全等． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可证结论成立； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质可知，又因为，所以，根据正方形的性质可知，所以是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，所以是等腰三角形； 【类比迁移】延长到点，使得，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形． （2）是等腰三角形， 理由如下： 四边形是正方形 ， 即， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【类比迁移】解：如下图所示，延长到点，使得，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ． 类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 方法总结 1. 依据性质作图：利用正方形“四边相等且四角为直角”、“对角线垂直平分且相等”的性质，作垂线、截等长或作中垂线。 2. 依据判定构图：以满足正方形判定条件（如作一个角为直角的菱形）为目标，逆向设计作图步骤。 解题技巧 1. 先定直角：通常先利用格点或已有线段构造一个直角，再截取等长邻边。 2. 巧用对角线：通过作已知线段的中垂线并截取等长，确定对角线的交点，从而定位四个顶点。 例6．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在上作出点E，使； (2)在图2中，在的延长线上作出点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）连接交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，可得四边形是平行四边形，则； （2）在（1）的基础上连接交于点，连接并延长交于点，由互相垂直平分得，得，根据证明得，再证明，可证明四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所作． 【变式6-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGB，E为AB的中点，点G在线段BC的反向延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，作出AD的中点P． (2)在图②中，作出GD关于直线CD对称的线段HD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了运用正方形的性质以及对称的性质来进行无刻度直尺的画图，熟练掌握通过连接相关线段构造出满足要求的点和线段是解题的关键； （1） 根据中点的性质即可得到点为中点； （2） 根据正方形的性质以及对称的性质，可知线段就是关于直线对称的线段. 【详解】（1）解：如图①，点即为所求（作法不唯一）； （2）解：如图②，线段即为所求． 【变式6-2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，与交于点，延长、交于点． (1)①依据题意补全图形； ②求的度数； (2)连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若，，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①根据要求画出图形； ②连接，过点A作于点，证明可得结论； （2）结论：利用等腰直角三角形，等腰三角形的性质证明即可； （3）如图2中，由题意，当点是的中点时，是的中位线，求出可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：①图形如图1所示： ②连接，过点A作于点 四边形是正方形， ，， ，P关于对称， 垂直平分线段， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）结论： 理由：如图1中，，P关于对称， ， ， ， ， ，， ， ； （3）如图2中，由题意，当点是的中点时，是的中位线， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； (4)如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据正方形的中心对称性作图即可； （2）根据菱形的性质和三角形中位线定理构造中点四边形，根据矩形的判定即可得到答案； （3）根据平行四边形的中心对称性构造平行四边形，即可得到答案； （4）根据菱形判定和性质、平行四边形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求， （2）四边形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，点G即为所求， 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆开州·期末）如图，在正方形中，点、分别在，上，连接，，．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长至点K，使得，连接，先证明，再证明，则，由，，设，则，，在中，由勾股定理得，解得，再求出的长即可． 【详解】解：如图：延长至点K，使得，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴ ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与是正方形，点在上．连接，是的中点，，，那么的长是（   ） A．12 B．13 C．14 D．16 【答案】B 【分析】连接，，根据正方形性质求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：如图，连接，． 四边形和是正方形，，， ，，， ， 由勾股定理，得． 是的中点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 4．（2025九年级下·北京·专题练习）如图1，已知四边形是正方形，将分别沿向内折叠得到图2，此时与重合（A，C都落在G点），若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，设正方形的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出及的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为的长． 【详解】解：设正方形的边长为x， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵将分别沿向内折叠得到图2： ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 6．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（   ） A．四边形可能为矩形 B．四边形的面积不变 C．的度数不变 D．线段有最大值 【答案】B 【分析】连接，先证得四边形为矩形，为等腰直角三角形，故可得到的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误；再假设四边形可能为矩形，则有，，证得，进而可得到，与矛盾，故说法错误；过点作于点，过点作于点，表示出四边形的面积，进而可进行判断． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，对角线与交于点O， ∴，，，，， ∵点E，F分别为边，的中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴经过点，， ∴为等腰直角三角形， ∵点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合）， ∴的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误， 若四边形可能为矩形，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即为中点， ∴，即， ∴，故矛盾，故四边形不可能为矩形，故说法错误； 过点作于点，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故四边形的面积不变，说法正确． 二、填空题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，．当满足条件_______________时，四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定方法和正方形的判定方法，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件． 由已知条件，垂直平分，，判定四边形为矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时四边形是正方形． 【详解】解：添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵，垂直平分，， ，， 四边形为矩形， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又四边形为矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则_______． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 9．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是正方形内一点，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长是 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，掌握旋转前后图形的对应关系是解决问题的关键．根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变．即，绕点按顺时针方向旋转至，则，在中，利用勾股定理，可求出的长． 【详解】解：由旋转的性质得到旋转角，， 在中，， ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点为正方形内一点，连接、，，以为边向上作正方形，恰好经过点，连接、．若，，则的面积为______． 【答案】54 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作于点，根据正方形的性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得到，再证明，得到，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：54． 11．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点，给出下面五个结论：；；；平分；上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】结合正方形性质、等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质可判断；结合等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，，平分， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，故正确； ，故正确； ，， ，即， 是等腰直角三角形， 又平分， ，垂直平分， ， ，故错误； 是等腰直角三角形， ， 又， ，即不是的平分线，故错误； ， ，， 在中，， ，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，解题关键是熟练掌握相关知识点． 12．（25-26九年级上·河南许昌·期末）边长为4的正方形中，点在边上，且，点在边上．当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【答案】或2 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．分别计算当、或为直角时的长度． 【详解】解：正方形的边长为4， ， 点在边上，且， ， 令，则， 在中，，， 在中，，， 在中，，， 当时，， ， 解得，， ； 当时，， ， 解得，， ； 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去） 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 13．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，据此利用可证明结论； （2）由三角形的高线的定义和直角三角形的两锐角互余求出的度数，由全等三角形的性质得到的度数，再由直角三角形的性质得到，据此由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是的高线， ∴，即 ． ∵， ． 是斜边上的中线， ， ． 14．（25-26九年级上·福建·期末）如图，是正方形的边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在边上． (1)在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若点恰好落在线段上，证明平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的作图和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是关键． （1）分两种情况作图即可； （2）依次证明和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求作图形． （2）证明：四边形为正方形， ，． 将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在线段上， ，． ，． 在与中，，， ． ． 即平分． 15．（25-26八年级下·全国·期中）正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连． (1)如图①所示，求证：矩形是正方形． (2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】（1）过点分别作于点，于点，证明，得到，即可得证； （2）证明△DAE≌△DCG，即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：如图，过点分别作于点，于点， 则． ∵四边形是正方形， ，平分， ， ∴四边形为正方形， ． ∵四边形为矩形， ， ． 又，， ， ， ∴矩形是正方形． （2）．理由如下： 由（1）可知，矩形是正方形， ，． ∵四边形是正方形， ，， ，， ， ． ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 16．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【分析】本题考查正方形的性质． （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）（1）如图1，点是正方形内一点，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，请补充图形并求的度数． （2）如图2，若在正方形外一点，，，，求的度数． （3）若在正方形外一点，，，，___________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）图见解析；由旋转性质得，是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理逆定理可证明，最后再由即可求解； （2）将绕点逆时针旋转，得，连接，，，由旋转性质得，是等腰直角三角形，得到，，再由勾股定理逆定理证明，最后由即可求解； （3）将绕点逆时针旋转，得，连接，，，由旋转性质得，是等腰直角三角形，得到，，再证明是直角三角形，用勾股定理求出，即可得的值． 【详解】（1）解：如图， 由旋转性质得，，，，， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理得，． ，，， ， ， ， ； （2）解：如图， 将绕点逆时针旋转，得，连接，，， 由旋转性质得，，，， 是等腰直角三角形， ， ． ，，， ， ， ， ； （3）解：如图， 将绕点逆时针旋转，得，连接，，， 由旋转性质得，，，， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， 是直角三角形． ，， 由勾股定理得，， ． 故答案为． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 18．（25-26八年级下·全国·期末）【发现证明】 如图①，点，分别在正方形的边，上，．试判断，，之间的数量关系． 小聪把绕点逆时针旋转得到，通过证明，从而发现并证明了． 【类比延伸】 （1）如图②，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接．请根据小聪的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明． 【联想拓展】 （2）如图③，，，点，在边上，且．若，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】（1）通过旋转构造全等三角形，将线段、、转化到同一条直线或同一个三角形中，从而得出数量关系； （2）利用等腰直角三角形的性质，通过旋转构造全等三角形，将、、转化到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）如图①，， ∴把绕点逆时针旋转． 可得． 则，，． ， ． ， ， ． 在和中， ， ． ，． （2），， ∴把绕点逆时针旋转 可得，连接，如图②， 则，，，， ， ． 又，， ． 在和中， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质．解题关键是通过旋转将分散的线段集中到同一个三角形中，利用全等三角形和勾股定理解决问题． 19．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系？请说明理由． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G． （1）若，，求的长度； （2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由． 【答案】模型建立：．理由见解析； 迁移应用：见解析； 拓展提升：（1）；（2）的大小不变， 【分析】模型建立：根据正方形的性质，根据，可得，根据全等三角形的性质，可得答案； 迁移应用：根据题意画图即可； 拓展提升：（1）过点D作，交于H，可证得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，设，利用勾股定理可得，解方程即可求得答案； （2）作于H．利用全等三角形的性质证明，，即可解决问题． 【详解】模型建立： 解：结论：．理由如下： 如图1，四边形是正方形， ，， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， （）， ； 迁移应用： 解：所画图形如图所示： 拓展提升： 解：（1）过点D作，交于H， 四边形是正方形，   ，   四边形是平行四边形，   ，   将正方形沿折叠，点的对应点分别为，使得点始终落在边上，   ，，，，，   由（1）可知 ，   ，   设 ，   ，，   ，，   在 中，   ，   ，   解得：，   ；   （2） 的大小不变．   如图4中，作 于 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ()， ， 同法可证：， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 20．（25-26九年级上·全国·期末）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转可知：，再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明四边形是正方形； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合即可解答； （3）过点作于，由（1）可知四边形是正方形，得，结合条件，，得到和的长，由（2）可知：，最后可利用勾股定理求的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： 是由绕点B沿顺时针方向旋转得到的，， ，， 又， ， 四边形是矩形． 由旋转的性质可知，， 四边形是正方形． （2）证明：如图，过点D作于点， ，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 由旋转的性质可知，， ∵四边形是正方形， ， ， ． （3）解：四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍）， ， ， 如图，过点D作于点， 根据（2）可知， ，， ， 在中，由勾股定理，得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16正方形的性质与判定六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用正方形的性质求角度或线段长 类型二、正方形中的折叠问题 类型三、根据正方形的性质证明与求解 类型四、根据正方形的性质与判定求解 类型五、正方形的性质与判定的综合问题 类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 压轴专练 典例详解 类型一、利用正方形的性质求角度或线段长 方法总结 1.正方形=矩形+菱形：综合运用矩形的“四个角为直角”和菱形的“对角线平分对角”性质。 2.内角和转化：将所求角置于三角形或特殊图形中，利用内角和、外角、平角等关系求解。 解题技巧 1.对角线模型：连接对角线，利用其“垂直、平分、相等且平分对角”的性质，寻找45°、90°角。 2.等腰三角形：正方形边或对角线构成的等腰直角三角形，是计算角度的常用模型。 例1.(25-26八年级下·全国课后作业)已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD,CE平分∠ACD交 BD于点E,则∠ACE= 【变式1-1】(25-26八年级上山东青岛期末)如图，正方形ABCD中，点E为CD边上一点，过点A作 AE的垂线交CB的延长线于点F,连接EF,点H为EF的中点，AH的延长线与BC交于点G,若 BG=3,CG=2,则CE的长为 1/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B G 【变式1-2】(25-26九年级上·陕西汉中期末)如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，过点E作 EF⊥BC于点F,连接AE,若∠DAE=I5°，则∠AEF的度数为°. D 【变式1-3】(25-26八年级上山西临汾·期末)如图，在正方形ABCD中，AB=2,点F从点A出发，沿 A→D→C运动到点C,点E是边BC的中点，连接AE,AF,EF,当△AEF为等腰三角形时，CF的长 为 类型二、正方形中的折叠问题 方法总结 1.抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，且折叠前后对应线段相等、对应角相等。 2.结合正方形：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找全等或特殊直 角三角形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，尤其是与正方形边长相等的边。 2.设元勾股：通常在折叠形成的直角三角形中，设未知边长为x,利用正方形边长关系和勾股定理列方 程。 例2.（25-26九年级上江苏无锡月考)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接BE, 将aABE沿BE折叠，点A的对应点为F.连接CF,则CF的长为」 2/17 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A 【变式2-1】(25-26八年级上·辽宁铁岭·月考)如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm,点E是边AD的中 点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F,则△DEF的面积 为 【变式2-2】（25-26八年级上，重庆期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上， 点A的坐标为-1，O),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为O,3),则 AB的长为」 ；点E的坐标为 Y A O 【变式2-3】(25-26八年级上河南平顶山期末)如图，正方形纸片ABCD的边长为6cm,点P是线段BC 上一动点，连接AP,将这张正方形纸片沿AP所在直线折叠，点B的对应点为B,延长PB交边DC于点E, 当点P为线段BC的三等分点时，DE的长为_ E B D B 3/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、根据正方形的性质证明与求解 方法总结 1.性质整合：综合运用正方形“四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等并平分对角”的全部性 质。 2.目标导向：根据待证或所求（边等、角等、垂直等），选择直接相关的性质进行推理或建方程。 解题技巧 1.构造全等：通过连接对角线或作辅助线，构造全等直角三角形，是证明线段或角相等的常用手法。 2.巧用45°：对角线平分直角产生的45°角，是进行角度计算和证明的重要切入点。 例3.(25-26九年级上·重庆奉节期末)如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上任意一点，BG⊥CE, 垂足为点O,交AC于点F,交AD于点G,连接EF. D (I)若BE=2,求AG的长度； (②)当点E是AB边的中点时，求证：∠AEF=∠BEC. 【变式3-1】(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)如图，正方形ABCD中，AB=5,点E为BC边上一点，连 接DE,将△CDE沿DE翻折，得到FDE,连接AF,BF. (I)求证：∠DAF=∠DFA; (2)当△ABF为直角三角形时，求线段AF的长. (3)在(2)的条件下，直接写出此时CE的长. 【变式3-2】(24-25八年级下·广东湛江·期末)如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE ,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F. 4/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D B B 备用图 (I)求证：EF=ED; (2)若AB=2,CE=√2，BF的长度为-； (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数 【变式3-3】(25-26九年级上·江西抚州期中)综合与实践： 正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE,连接CE; 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，当点P在线段AC上时，AP与CE的数量关系是 ;AP与CE的位置关 系为 ;CD,PC,CE三者的数量关系为 ； (2)【探索发现】当点P在线段AC延长线上运动时，如图2，探究线段CD,PC和CE三者之间数量关系， 并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，连接AE,若AB=√2，AE=V29,则CP的长为 类型四、根据正方形的性质与判定求解 方法总结 1.先判后性：先依据一组邻边相等且有一个直角等条件，判定四边形为正方形。 2.再性求解：再利用正方形的性质（四边等、四直角、对角线特性）求值或证明。 解题技巧 1,判定优选：优先选择“一个角为直角的菱形”或“一组邻边相等的矩形”等简捷判定。 2.对角线模型：连接对角线，利用其垂直、平分、相等的特性构造全等直角三角形解题。 例4.(25-26八年级上湖北黄冈期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,3),点B(9,0),且 ∠ACB=90°，CA=CB,则0A+0B= 一，点C的坐标为 5/17 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 【变式4-1】(25-26九年级上福建三明期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,BE平分∠ABC CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE,则四边形BFCE的面积为· 【变式4-2】(2025江西九江·模拟预测)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,P是射线BC上一 点，将△ACP沿AP折叠，得到△ADP,连接DB,当△DPB为直角三角形时，∠DAP的度数为 【变式4-3】(24-25八年级上·河南郑州月考)如图，在Rt△ABC中，点D为AB边上的点，将△ACD沿 CD折叠，使点A落在点E处，连接BE,已知AB=6V5,AC=6,则当BDE为直角三角形时，BD的长 为 D》 B 类型五、正方形的性质与判定的综合问题 方法总结 1.判性结合：先根据条件判定正方形，再综合运用其所有性质（边、角、对角线）推导新结论或求值。 2. 数形转化：将几何关系（如线段和、角度和）转化为代数方程，或利用全等、勾股定理求解。 6/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题技巧 1.对角线分直角：连接对角线，将问题转化为等腰直角三角形问题，是核心解题模型。 2.构造全等：通过作辅助线（如垂线）构造全等三角形，是证明线段相等或垂直的常用技巧。 例5.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点，且 BE=CF =DM AN. (I)求证：四边形EFMN是正方形 (②)若AB=7,AE=3,求四边形EFMN的周长 【变式5-1】(25-26九年级上江西景德镇期中)如图，矩形ABCD的对角线交于点0，在B0上取一点E ,使DE=AB (I)当∠BCE为多少度时，四边形ABCD为正方形？ (2)若LBDC=30°，BD=2V3+2,求OE的长， 【变式5-2】(25-26九年级上江西吉安月考)在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点， E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F. E B D (1)证明：四边形ADCF是正方形； (2)若AB=4V2,求正方形ADCF的面积。 【变式5-3】(25-26九年级上·辽宁锦州月考)【问题解决】如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在 AB,BC边上，DE=AF,DE⊥AF于点G. 7/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状，并说明理由. 【类比迁移】 如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G,DE=AF,LAED=60° ,AE=6,BF=2,求AF的长. 类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图) 方法总结 1.依据性质作图：利用正方形“四边相等且四角为直角”、“对角线垂直平分且相等”的性质，作垂线 截等长或作中垂线。 2.依据判定构图：以满足正方形判定条件（如作一个角为直角的菱形）为目标，逆向设计作图步骤。 解题技巧 1.先定直角：通常先利用格点或已有线段构造一个直角，再截取等长邻边。 2.巧用对角线：通过作已知线段的中垂线并截取等长，确定对角线的交点，从而定位四个顶点。 例6.(25-26九年级上江西抚州期末)如图，在正方形ABCD中，点M为BC的中点，连接AM,请仅 用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）· M B M 图1 图2 (1I)在图1中，在AD上作出点E,使CE∥AM; (②)在图2中，在BC的延长线上作出点F,使DF∥AM. 【变式6-1】(2025九年级江西·专题练习)如图，已知正方形ABCD与正方形EFGB,E为AB的中点， 点G在线段BC的反向延长线上.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）· 8/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E B G B 图① 图② (I)在图①中，作出AD的中点P. (2)在图②中，作出GD关于直线CD对称的线段HD. 【变式6-2】(24-25八年级下·北京海淀期中)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点，点 B关于直线AE的对称点为点P,BP与AE交于点M,延长DP、AE交于点F, D B (1)①依据题意补全图形； ②求∠AFD的度数： (②)连接BF,用等式表示线段AF,BF,PD的数量关系，并证明； (3)若CPI‖AE,AB=2,直接写出ME的长， 【变式6-3】(24-25八年级下江苏镇江·期中)“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接 任意两点、作任意直线、延长任意线段等.结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图 问题， 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，四边形ABCD为正方形，点E为AD边的中点，请仅用无刻度的直尺画出BC边的中点F(保留 作图痕迹，不要求写作法)； (②)如图2，四边形ABCD为菱形，点E,F分别是AB,AD的中点，请仅用无刻度的直尺作以EF为边的矩 形EFGH(保留作图痕迹，不写作法)； (3)如图3，口ABCD中，AM⊥BD,垂足为M,交边BC于点N.仅用无刻度的直尺在图中作CH⊥BD, 垂足为H(保留作图痕迹，不要求写作法)； 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)如图4，点E、F分别在平行四边形ABCD的边上，DE=CD=CF,连接DF,请过点A作DF的垂线， 垂足为G(仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法)· 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上·陕西汉中·期末)如图，四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，连接BD,BE ,则∠DBE的度数为() A E A.15° B.20° C.25° D.30° 2.(25-26九年级上重庆开州期末)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC,CD上，连接AE, P,EF.若∠BF=45,B=8,BE=8C,则EF的长为(） A D B E B. c号 D.34 3.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，四边形ABCD与CEFG是正方形，点D在CG上.连接AF, H是AF的中点，BC=5√2，CE=12√2，那么CH的长是() G H B E A.12 B.13 C.14 D.16 4.(2025九年级下·北京·专题练习)如图1，己知四边形ABCD是正方形，将△DAE,aDCF分别沿 10/17