专题10 一元一次不等式的解法及应用的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题10 一元一次不等式的解法及应用的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、不等式的基本性质 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 类型五、求一元一次不等式的整数解 类型六、根据一元一次不等式的解集求参数 类型七、解|x|≥a型的不等式 类型八、用一元一次不等式解决实际问题 压轴专练 类型一、不等式的基本性质 方法总结 1. 三条性质：①加减同数不等号不变；②乘除正数不等号不变；③乘除负数不等号反向。 2. 传递对称：若a>b且b>c则a>c；若a>b则b<a（对称性）。 解题技巧 1. 特值验证：对不等式变形有疑虑时，代入±1、0等特殊数值快速验证方向。 2. 避免漏乘：乘除含字母代数式时，务必先判断其正负，否则须分类讨论。 例1．（25-26八年级下·重庆·开学考试）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项正误，即可得到答案． 【详解】解：、∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵题目没有给出的取值范围，当时，若，可得， ∴原判断不成立，该选项判断错误，符合题意； 、∵，可得，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中不成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：（1）把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， 选项A、B、C正确，D错误，     故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式两边同时加减乘除一个大于零的数，不等号的方向不变，据此进行逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、取，，则，但，即，故B错误； C、当时，，则不成立，故C错误； D、由于，则，即，两边除以得，故D正确； 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列几个变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查不等式性质，解题的关键在于正确掌握不等式性质． 根据“不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除除以同一个负数，不等号方向改变；”逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、如果，当，时，，故A选项不符合题意； B、如果，当，时，，故B选项不符合题意； C、如果，，那么，故C选项符合题意； D、如果，当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1. 系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2. 化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数为且系数不为，列方程求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次不等式， ∴未知数的次数，解得； 未知数的系数，解得． 综合以上两个条件，可得． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式需满足未知数的次数为1且系数不为0是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义，的指数必须为且系数不为零，因此且，求解的值并验证． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式，因此的指数，且系数． 解，得或，即或． 当时，系数，不符合条件； 当时，系数，符合条件． 故答案为：． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 方法总结 1. 求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意乘除负数要变号。 2. 数轴表示：画数轴，定界点（空心表不含等，实心表含等），定方向（大于向右，小于向左）。 解题技巧 1. 系数化1必判号：最后一步系数化为1时，先观察系数正负，确定不等号是否反向。 2. 界点标注清晰：在数轴上先用圆圈或圆点标清界点，再沿方向画线，避免符号混淆。 例3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得， 数轴表示如下： 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： 【变式3-3】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 方法总结 1. 对照错因：将错误解集与正确步骤对比，定位哪一步（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反向）出错。 2. 还原修正：根据错误发生的位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1. 代入检验：将错解中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2. 特值定位：取错解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号． 故答案为：三． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【答案】(1)不等式的基本性质； (2)四；不等号的方向没有改变； (3)． 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：四，不等号的方向没有改变； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成，得， 故答案为：． 【变式4-3】（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②二 (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项；（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质以及去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤规范是解题的关键． （1）一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则” ； （2）本题依据一元一次不等式的完整解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为），每一步严格遵循不等式基本性质和运算规则； （3）根据解一元一次不等式的常见易错点，如：去分母漏乘、去括号符号错误、系数化为时不等号方向忘记改变等，给出适当的建议． 【详解】（1）解：由解题过程可以看出，第一步是去分母，去分母的依据是不等式基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二． （2）解：， 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 系数化为：． （3）解：解一元一次不等式时，要注意每一步的运算细节，尤其是去分母时各项都要乘最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，去括号时的符号变化，以及系数化为时不等号方向是否改变，以上均是解一元一次不等式易出错的地方，可以选择任意一条作为给同学的建议． 类型五、求一元一次不等式的整数解 方法总结 1. 先求范围：准确求解一元一次不等式，得到未知数的取值范围。 2. 再取整数：在解集范围内找出满足条件的整数（正整数、负整数或非负整数等）。 解题技巧 1. 界点确认：看清解集中是否包含端点值（≥或≤含等号，>或<不含等号），决定整数是否取到。 2. 数轴辅助：在数轴上标出解集，直观观察范围内的所有整数，避免遗漏。 例5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 【变式5-2】（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2/2和1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解： ， 所以该不等式的正整数解为：1和2． 故答案为：1和2． 【变式5-3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 类型六、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如 x > ）。 2. 对比定参：将所得解集与已知解集（如x > 3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2. 端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，整理得，根据不等式的解集得出，再解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有三个非负整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为： 【变式6-2】（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 类型七、解|x|≥a型的不等式 方法总结 1. 几何意义：|x| ≥a 表示数轴上x到原点的距离大于等于a。 2. 代数转化：当a > 0时，解集为x≤ -a 或 x ≥a；当a = 0时，解集为全体实数；当a < 0时，解集为全体实数。 解题技巧 1. 先判a正负：不要直接套用“x ≤ -a\) 或x ≥a”，必须先判断a的正负情况。 2. 数轴辅助：画出数轴，标出-a和a两点，直观确定“两边跑”的范围。 例7．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 【变式7-1】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 【变式7-2】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【变式7-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 类型八、用一元一次不等式解决实际问题 方法总结 1. 建模列式：设未知数，抓关键词（至少、最多、不超过等）确定不等号方向，列一元一次不等式。 2. 解验作答：求解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终答案并作答。 解题技巧 1. 关键词对应：“不小于”对应“≥”，“超过”对应“>”，“不足”对应“<”，准确翻译不等关系。 2. 双重检验：解集求出后，既要检验是否满足不等式，也要检验是否符合实际背景（如取整、范围）。 例8．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 【答案】70 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据不等关系列不等式并求解是解题的关键．设购进甲款玩偶的数量为未知数，根据总利润=甲款利润+乙款利润，结合利润不低于3700元的条件，列不等式求解． 【详解】解：设商家购进甲款玩偶件，则购进乙款玩偶件．由题意可得 ， ， ， ， ， ， 答：商家最少需购进甲款玩偶件． 【变式8-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元． (1)每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？ 【答案】(1)每个“岳小楼”玩偶的进价是20元，每个“江小豚”玩偶的进价是15元 (2)20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据题意列方程即可求解； （2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，根据单个利润售价进价，总利润单个利润销售量，将所有玩偶全部售出，且利润不得低于元，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． 根据题意可得 解得 答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． （2）解：设购进个“岳小楼”玩偶，则， 解得． 答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶． 【变式8-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为促进冰雪经济，二龙山滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 【答案】(1)每顶型帐篷元，每顶型帐篷元 (2)最少购买型帐篷顶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，根据题意列方程组即可求解； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元， 根据题意可得， 解得， 答：每顶型帐篷元，每顶型帐篷元； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶， 根据题意可得， 解得， 答：最少购买型帐篷顶． 【变式8-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． (1)求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品个，则购进甲种商品 个（用含的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 【答案】(1)商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元 (2)；商场最多购进乙种商品70个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元， 根据题意，得， 解得， 答：商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元． （2）解：设购进乙种商品个， 则购进甲种商品（个）； ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 是整数， 的最大值为70， 答：商场最多购进乙种商品70个． 一、单选题 1．（24-25七年级下·青海玉树·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中含有2个未知数，故该选项不符合题意， B、符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意， C、是方程，故该选项不符合题意， D、，不含有未知数，故该选项不符合题意， 故选：B 2．（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】等式性质1：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；不等式性质1：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； 【详解】解：A、若，两边同时减1，得，正确； B、若，两边同时乘6，得，正确； C、若，两边同时乘，不等号方向应改变，得，而非，错误； D、若，两边同时加1，得，正确. 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，下列说法不正确的是（   ） A．是它的解 B．是它的解 C．是它的解集 D．是它的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、不等式的解与解集的概念，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤以及准确区分解与解集的定义是解题的关键． 先求解不等式的解集，再逐一验证各选项的正误，找出不正确的说法． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 对于A选项，∵，∴是它的解，A说法正确． 对于B选项，∵，∴是它的解，B说法正确． 对于C选项，不等式的解集是，并非，C说法不正确． 对于D选项，是它的解集，D说法正确． 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏·期末）关于的不等式的解集如图所示，则的值为（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集、数轴上解集的表示，根据数轴得到解集是解题的关键． 首先根据数轴写出解集为，再将不等式化简即可得到解得的值即可． 【详解】解：如图可知，关于的不等式的解集为， ∴不等式的解集为， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 5．（25-26七年级·上海·假期作业）把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的关系． 先根据“每人分5本，则可多分8个人”求出书的总数，再结合“每人分11本，则不够”的数量关系列出不等式． 【详解】解：∵设有名同学，每人分5本可多分8个人， ∴书的总数为， ∵每人分11本不够，即书的总数小于， ∴可列不等式． 故选：A． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】依据不等式的基本性质，对每个小题逐一分析判断即可． 【详解】解：（1）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变， 因为，所以． （2）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数2，不等号的方向不变， 因为，所以，即． （3）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变， 因为，所以． 8．（21-22七年级下·吉林长春·月考）当______时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，未知数只含有一个，据此列出关系式求解即可． 【详解】解：∵不等式是一元一次不等式， ， 解，得，即， 由得， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·北京东城·期末）若关于的方程的解大于2且小于4，则的整数值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次方程，解不等式． 先求出x关于k的解，再根据“解大于2且小于4”求出k的取值范围，最后找出的整数值即可． 【详解】解：， ∴， ∵关于的方程的解大于2且小于4， ∴， ∴， ∴的整数值为5， 故答案为：5． 10．（24-25七年级下·山东德州·月考）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求解方程得出的表达式，再根据解是负数这一条件列不等式，进而求出的取值范围．本题主要考查一元一次方程的求解与一元一次不等式的应用，熟练掌握方程的解法和根据条件列不等式求解是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为方程的解是负数，即， 所以， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 12．（24-25七年级下·广西百色·期中）如图所示的是小娴同学设计的一种运算程序，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入实数后程序操作仅进行了一次就停止了，则的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键．根据运行程序，列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据输入m后程序操作仅进行了一次就停止可知： ， 解得， 则的取值范围是． 故答案为： 三、解答题 13．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）解不等式，并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）解不等式，并在数轴上表示它的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 去分母，得， 移项并合并同类项，得， 该解集在数轴上表示为： （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为： 15．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1) ，见解析 (2) ，见解析 【分析】（1）按照解不等式的步骤求解即可； （2）按照解不等式的步骤求解即可；系数化为时，注意不等号的方向是否变化. 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 在数轴上表示为： （2）解：， ， ， ， ， . 在数轴上表示为： 16．（24-25七年级下·河北承德·期末）数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程， 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)请你判断她的解答是否正确______；（填“是”或“否”） (2)如果有错误，第______步开始出现错误，请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议； (3)求出原不等式的正确解集． 【答案】(1)否 (2)一，当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号（答案合理即可） (3) 【分析】本题主要考查解不等式，掌握不等式的性质是关键． （1）根据材料提示方法即可求解； （2）根据去分母、去括号的计算判定即可； （3）根据不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据去分母的计算得到，， 去括号得，， ∴原式计算错误，故解答错误， 故答案为：否； （2）解：根据去分母，去括号的计算得到从第一步开始出错， ∴当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号（答案合理即可）； （3）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类型得，， 系数化为1得，． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等式的性质求出方程的解，即可得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可． （2）把a的最大整数代入不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得 ∵关于x的方程的解是非负数． ∴， 解得：， 所以a的取值范围是． （2）解：∵， ∴a的最大整数为2， 当时，则， 解得． 18．（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； (2)最多能购买A型机器人台． 【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； （2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买A型机器人台． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）为满足市场需求，某花店准备从花卉市场购进A，B两种牡丹花盆栽，已知购买2盆A盆栽和3盆B盆栽共需170元，购买4盆A盆栽和1盆B盆栽共需190元． (1)求A，B两种盆栽单价分别为多少元； (2)该花店计划购入200盆牡丹花盆栽，花卉市场推出两种折扣方式． 方案一：每买一盆A盆栽送一盆B盆栽； 方案二：A盆栽7折优惠，B盆栽6折优惠． 如果你是花店老板，应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【答案】(1)A盆栽单价为40元，B盆栽单价为30元． (2)当购进A种盆栽少于80盆或多于120盆时，选择方案二更省钱；当购进A种盆栽为80盆或120盆时，两种方案费用相同；当购进A种盆栽在80盆到120盆之间（不含80和120）时，选择方案一更省钱． 【分析】（1）设A、B两种盆栽单价分别为元、元，根据“2盆盆元”“4盆盆元”列二元一次方程组求解； （2）设购进A盆栽盆，则B盆栽盆，分别列出方案一、方案二的总费用函数，分情况讨论费用大小，选择更省钱的方案． 【详解】（1）解：设A种盆栽单价为元，B种盆栽单价为元． 根据题意得 由，得． 将代入，得， 解得． 将代入，． 答：A种盆栽单价为40元，B种盆栽单价为30元． （2）解：设购进A种盆栽盆（），则购进B种盆栽盆． 方案一：买一盆A送一盆B， 当时，B盆栽只需购买盆，， 当时，B盆栽全部赠送，． 方案二：A盆栽7折，B盆栽6折，． 当时，令，，，． 当时，，选方案二； 当时，，两种方案均可； 当时，，选方案一． 当时， 令，，，． 当时，，选方案一； 当时，，两种方案均可； 当时，，选方案二． 答：当购进A种盆栽少于80盆或多于120盆时，选择方案二更省钱；当购进A种盆栽为80盆或120盆时，两种方案费用相同；当购进A种盆栽在80盆到120盆之间（不含80和120）时，选择方案一更省钱． 20．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①直接判断 是“有缘组合”还是“无缘组合”A．有缘组合B．无缘组合 填“A”或“B”______ ②判断是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)①B；②“有缘组合”，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：①， ， ， ， 不在范围内， 是“无缘组合”； ②， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“有缘组合”； （2）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， 在范围内， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10一元一次不等式的解法及应用的八类综合题型 月录 典例详解 类型一、不等式的基本性质 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 类型五、求一元一次不等式的整数解 类型六、根据一元一次不等式的解集求参数 类型七、解x≥a型的不等式 类型八、用一元一次不等式解决实际问题 压轴专练 典例详解 类型一、不等式的基本性质 方法总结 1.三条性质：①加减同数不等号不变；②乘除正数不等号不变；③乘除负数不等号反向。 2.传递对称：若a>b且b>c则a>c;若a>b则b<a(对称性)。 解题技巧 1.特值验证：对不等式变形有疑虑时，代入±1、0等特殊数值快速验证方向。 2.避免漏乘：乘除含字母代数式时，务必先判断其正负，否则须分类讨论。 例1.(25-26八年级下·重庆·开学考试)下列判断不正确的是（) A.若a>b,则a+6>b+6 B.若a>b,则-2a<-2b C.若a≤b,则ac≤bc D.若ac2>bc2,则a>b 【变式1-1】(25-26八年级上浙江杭州期中)若a<b,则下列不等式中不成立的是() A.a-6<b-6 B.4a<4b D.-3a+4<-3b+4 【变式1-2】(25-26八年级上·浙江宁波期中)下列说法正确的是() A.若a>b,则a-3<b-3 B.若a>b,则a2>b2 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b 【变式1-3】(25-26八年级上全国课后作业)下列几个变形中，正确的是() A.如果x>y,那么x-1>y+1 B.如果x>y,那么>1 y CQ如果，那么m打 D.如果y,那么分 类型二、利用一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1.紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2.列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1.系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2.化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例2.(25-26七年级下.全国课后作业)若(m-1)x网-3>0是关于x的一元一次不等式，则= 【变式2-1】(25-26八年级下.全国期中)若(a-2025)x4024>1是关于x的一元一次不等式，则a= 【变式2-2】(25-26七年级下·全国·周测)若(m-1)xm-2+3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【变式2-3】(25-26八年级下.全国周测)若(3-ax-4+2<7是关于x的一元一次不等式，则a的值为 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 方法总结 1.求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意乘除负数要变号。 2.数轴表示：画数轴，定界点（空心表不含等，实心表含等），定方向（大于向右，小于向左）。 解题技巧 1.系数化1必判号：最后一步系数化为1时，先观察系数正负，确定不等号是否反向。 2.界点标注清晰：在数轴上先用圆圈或圆点标清界点，再沿方向画线，避免符号混淆。 例3.(25-26八年级上·浙江衢州期中)解下列一元一次不等式. (1)4x+1>2(x-1): 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22牛<+2x+1,并把解集表示在数轴上. 2 3 【变式3-1】(25-26八年级上陕西西安·月考)解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上. (1)3(2x-1≤2(x+1+1 22r-1<3r+2-1 3 4 【变式3-2】(25-26八年级上·浙江杭州期中)解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上. -5-43-21012345 54321012345 (1)5x-2>3; 3 【变式33】25-26八年级上山东潍坊月考)(1)解不等式3x<2“,4,并把解集在数轴上表示出米. 2)解不等式32-2<号，并把解集在数铺上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解 类型四、一元一次不等式求解中错解复原问题 方法总结 1.对照错因：将错误解集与正确步骤对比，定位哪一步（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反向） 出错。 2.还原修正：根据错误发生的位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1.代入检验：将错解中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2.特值定位：取错解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例4.(24-25七年级下·全国·课后作业)下面是小明同学解不等式的过程 解不等式：)+1>2一x 解：去分母，得x-1+2>2(2-x,第一步 去括号，得x-1+2>4-2x,第二步 移项，得x-2x>4+1-2,第三步 合并同类项，得-x>3,第四步 系数化为1，得x<-3.第五步 ()以上解题过程从第 步开始出现错误 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)请写出该不等式的正确的解答过程. 【变式41】(25-26八年级上浙江期中)下面是小明同学解不等式21<3江2-1的过程，请认真阅读并 3 2 解答. 解：2(2x-1<33x-2)-6,第①步 4x-2<9x-6-6.第②步 4x-9x<-6-6+2.第③步 -5x<-10.第④步 x<2.第⑤步 (1)第 步开始出现错误. (2)请给出正确解答， 【变式4-2】(25-26八年级上浙江舟山期中)下面是某同学解不等式1-5x+4>,2的过程，请认真阅 6 2 读并完成相应的任务 解：去分母，得6-5x-4>3x-6.第一步 移项，得-5x-3x>-6+4-6.第二步 合并同类项，得-8x>-8,第三步 x系数化成1，得x>1,第四步 根据以上材料，解答下列问题： (①)第一步去分母的依据是： (2)在解答过程中，从第步开始出错，错误原因是 (3)原不等式的正确解集为 【变式43】2025九年级下全国专题练习)下面是小颗同学解一元一次不等式+32红，5≤-1的解答过 53 程，请认真阅读并完成相应任务 解：3(x+3)-5(2x-5)≤-15，第一步 3x+9-10x-25≤-15，第二步 -7x≤1，第三步 x之号第四步 ()任务一：①以上运算步骤中，第步是去分母，去分母的依据是 4/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②第 步开始出现错误. (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议. 类型五、求一元一次不等式的整数解 方法总结 1. 先求范围：准确求解一元一次不等式，得到未知数的取值范围。 2.再取整数：在解集范围内找出满足条件的整数（正整数、负整数或非负整数等）。 解题技巧 1.界点确认：看清解集中是否包含端点值（≥或≤含等号，>或<不含等号），决定整数是否取到。 2.数轴辅助：在数轴上标出解集，直观观察范围内的所有整数，避免遗漏 例5.(25-26八年级上浙江绍兴期中)写出一个满足不等式2x-1≤4的正整数解是 【变式5-1】(25-26八年级上浙江杭州期中)关于x的不等式10-5x≥0的最大正整数解是 【变式52】(2425八年级下上海期末)不等式<2的正整数解是 【变式5-3】(25-26八年级上黑龙江大庆·月考)若关于x的不等式x-a≤0只有3个正整数解，则a的取 值范围 类型六、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x>乡）。 2.对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3)进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1.系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2.端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例6.（25-26八年级上·浙江杭州期中)关于x的不等式2m-x<6的解集为x>3,则m的值 为 【变式6-1】(24-25七年级下·安微合肥期中)若不等式2x+3<m有三个非负整数解，则m的取值范围 是 【变式6-2】(24-25六年级下·上海期末)关于x的不等式-k-x+6>0的解集中恰有四个非负整数，则k的 范围为」 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式63】(25-26八年级上四川成都月考)已知关于x的方程2(x-3到=)x+的解适合不等式 -3x+1>2a,则a的取值范围为 类型七、解a型的不等式 方法总结 1.几何意义：x2a表示数轴上x到原点的距离大于等于a。 2.代数转化：当a>0时，解集为≤-a或x≥a;当a=0时，解集为全体实数；当a<0时，解集为全 体实数。 解题技巧 1.先判a正负：不要直接套用“x≤-a)或x2a”,必须先判断a的正负情况。 2. 数轴辅助：画出数轴，标出-a和a两点，直观确定“两边跑”的范围。 例7.(24-25七年级下·江苏扬州月考)请阅读下面求含绝对值的不等式x<3和x>3的解集过程， 对于含绝对值的不等式x<3,从图1的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3，所以x<3的解 集为-3<x<3;对于含绝对值的不等式x>3,从图2的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3， 所以x>3的解集为x<-3或x>3. -3<x<3 x<-3 x>3 -5-4-3-2-10123451 -5-4-3-2-10123451 图1 图2 ()求含绝对值的不等式x>2的解集： (2)已知含绝对值的不等式x-1<a的解集为b<x<3,求a,b的值. 【变式7-1】(24-25七年级下·江苏盐城月考)先阅读，再完成练习. -3<x<3 x<-3 x>3 -5-4-3-2-1012 345 5-4-3-2-10123A 图1 图2 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值， x<3,x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数，它们到原点的 距离小于3，所以x<3的解集是-3<x<3; x>3,x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于-3的数和大于3的数，它们到原 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点的距离大于3，所以x>3的解集是x<-3或x>3. 解答下面的问题： (1)解不等式1x-5k3. (2)解不等式1x-3>5. (3)直接写出不等式x-1+x+2K5的解集：- 【变式7-2】(24-25八年级下·江西南昌·期末)如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知 数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题. 例如求x<3和x>3的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， -4-3-2-10123 x<3的解集为-3<x<3, x>3解集为x>3或x<-3. 根据以上探究，解答下列问题： (I)填空：不等式x>1的解集为； (2)解不等式x+2≤6； (3)求不等式x-2+x+3>7的解集 【变式7-3】(24-25七年级下·福建漳州期中)【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如x=x-0表示数轴上表示x这 个数的点到原点的距离，那么式子x-可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离， 于是解不等式x-1≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴 上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在-1和3之间（包含-1和3两个点），这样我们就可以得到不 等式x-1≤2的解集为-1≤x≤3. -4-3-2-1012 3 【解决问题】 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： -6-5-4-3-2-1012345 6 (1)不等式x≤6的解集为 (2)求不等式x-2≥23的解集. (3)求不等式4x+1-5<3的解集. 类型八、用一元一次不等式解决实际问题 方法总结 1.建模列式：设未知数，抓关键词（至少、最多、不超过等）确定不等号方向，列一元一次不等式。 2.解验作答：求解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终答案并作答。 解题技巧 1.关键词对应：“不小于”对应“≥”，“超过”对应“>”，“不足”对应“<”，准确翻译不等关系。 2.双重检验：解集求出后，既要检验是否满足不等式，也要检验是否符合实际背景（如取整、范围）。 例8.(25-26八年级上·山东菏泽月考)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某商家购进甲、乙 两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款 玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所 获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 【变式8-1】(25-26七年级下·全国·课后作业)2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳 市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”.某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和江小豚”的 玩偶.已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚” 玩偶共需50元. (1)每个“岳小楼”和“江小豚玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为 30元.若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼玩偶？ 【变式8-2】(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期末)为促进冰雪经济，二龙山滑雪景区需要购买A型和B型 两种型号的保暖帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3 顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元. (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； (②)若该景区需要购买A型和B型两种型号的帐篷共20顶，为使购买帐篷的总费用不超过18000元，则最少 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 购买A种型号帐篷多少顶？ 【变式8-3】(25-26八年级上浙江绍兴月考)商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商 品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元， ()求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品a个，则购进甲种商品_个（用含a的代 数式表示)；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总 利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下·青海玉树期末)下列不等式中，属于一元一次不等式的是() A.3x+y<0 B.x+1<3 C.2x+1=4 D.4>3 2.(25-26七年级上安徽六安·期末)下列说法，不正确的是() A.如果m=n,那么m-1=n-1 B.如果m=n,那么6m=6n C.如果m<n,那么-2m<-2n D.如果m<n,那么m+1<n+1 3.(24-25七年级下·全国·课后作业)对于不等式x-2≤1，下列说法不正确的是() A.x=1是它的解 B.x=3是它的解 C.x<3是它的解集 D.x≤3是它的解集 4.(25-26七年级上·江苏期末)关于x的不等式x-m≥-2的解集如图所示，则m的值为() 0 A.-2 B.0 C.2 D.4 5.(25-26七年级上海假期作业)把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11 本，则不够.依题意，设有x名同学，可列不等式() A.5x+8<11x B.5x+8<11x C.8x+5<11x D.8(x-1+5<11x 9/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a(axb 6.(2026七年级下.全国专题练习)定义一种法则“⑧”如下：a⑧b= (b(asb), 例如：1⑧2=2.若 (-2m+5)83=3,则m的取值范围是() A.m>1 B.m≤1 C.m<1 D.m≥1 二、填空题 7.(25-26八年级下·全国·课后作业)己知a>b,用<”或“>”填空： (1)0.4a 0.4b; (2)2b 2a; 6 8.(21-22七年级下·吉林长春月考)当k=时，不等式(k+2)x-1+2>0是一元一次不等式 9.(24-25七年级下北京东城期末)若关于x的方程5x+2=k+4x的解大于2且小于4，则k的整数值为 10.(24-25七年级下山东德州月考)若关于x的一元一次方程4x+m+1=3x-1的解是负数，则m的取值 范围是 11.（25-26九年级上陕西西安·开学考试)在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为： a※b=-2a+b.如：1※5=-2×1+5=3，则不等式x※2<0的最小整数解为 12.(24-25七年级下·广西百色·期中)如图所示的是小娴同学设计的一种运算程序，从“输入实数m”到“结 果是否>12”为一次程序操作.若输入实数m后程序操作仅进行了一次就停止了，则m的取值范围是 输入 m >1 停止 三、解答题 13.(25.26九年级下陕西西安开学考试)解不等式2,1_9x+2<2,并写出最小整数解. 36 14.(25-26八年级下·全国课后作业)解不等式，并在数轴上表示它的解集： 0)4x+1-2<x: 3 10/12