20.1勾股定理及其应用同步练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版·八（下）数学 第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 （提高卷） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 2．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（   ） （第2题） （第3题） （第4题） A． B． C． D． 3．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 5．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） （第5题） （第6题） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 6．如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，共15分） 7．在中，已知，，，的对边分别是a，b，c，且，，则c的长为 _________________ ． 8．如图，数轴上点A表示的实数是______． 9．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． （第9题） （第10题） （第11题） 10．利用图中的网格比较大小：_____（填“>”、“<”或“=”）． 11．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为__________尺． 评卷人 得分 三、解答题（每小题6分，共18分） 12.在中，，，．求的长． 13．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，求梯子顶端距地面的高度的长． 14．在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 评卷人 得分 四、解答题（每小题7分，共21分） 15．如图，方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图． (1)在图1中在上找一点G，连接，使得． (2)在图2中，画高线，直接写出的长． 16．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 17．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 评卷人 得分 五、解答题（每小题8分，共16分） 18．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形、正方形和正方形，过点C作的垂线，垂足为J，延长交于点K． (1)连接，，证明； (2)连，先直接写出与数量关系_____，再证明：． 19．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 评卷人 得分 六、解答题（每小题10分，共20分） 20．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 21．如图，四边形的对角线，相交于点，，． (1)如图2，过点A作交直线于点E，求证：； (2)如图3，将沿翻折得到，求证：； (3)若，，为直线上的动点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 评卷人 得分 七、解答题（每小题12分，共12分） 22.已知：在中，，． 【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是 ； 【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… )八年级（下）· 数学（2026） 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C D D C 1．B 解：A、，，，不是勾股数， B、，，，是勾股数， C、，，，不是勾股数， D、，，，不是勾股数， 2．A 解：由作图方法得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 3．C 解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 4．D 解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 5．D 解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 6．C 解：∵点P是的中点， ∴， 如图， ∴， ∴； 如图， ∴； 如图， ∴， ∵， ∴所走的最短路程是； 7． 解：∵在中，， ∴的对边是斜边， 根据勾股定理得， 将，代入得：． 8． 解：如图： 观察数轴以及作图痕迹，得出， 则数轴上点A表示的实数是， 9． 解： ． 10．＞ 解：设该网格最小单元的边长为１，如图所示：    在中， 在中， 在中，有 故 11． 解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 12． 解：，，， ． 13． 解：在中，，， 由勾股定理得． 14． 解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 15．(1)见解析 (2)见解析， （1）解：如图，点G即为所求； 由网格特点得，， ∴是等腰直角三角形 ∴； （2）解：如图，高线即为所求； 由网格特点得， ∴为的高线； ∵， ∵ ∴ ∴． 16．(1)见解析 (2) （1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 17．(1)750海里 (2)12小时 （1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 18．(1)见解析 (2)，见解析 （1）证明：∵四边形， 四边形都是正方形， ， ， ； （2）解：结论：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 同法可证：， ∴ ，， ∴， 故答案为：相等. 19．(1) (2)见解析 (3) （1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 20．(1) (2)新路比原路少千米 (3) （1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或 （1）证明：∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，作交于， ∴，， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，又，∴， ∴，又，∴； （3）解：∵，，， ∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 如图，当时， 此时 或； 当时，由可得，， ∴； 如图，当时，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或或． 22．（1）；（2）（1）中的结论仍然成立；理由见解析；（3）或 （1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ∴ ， ∴， 当点在线段上时，连接，如图所示：，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 则； 当点在线段的延长线上时，连接，如图所示： 由（2）的结论知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则 则， 综上：或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $