20.1.1勾股定理 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1.1勾股定理 A 组·基础达标 知识点1 勾股定理的证明 1.下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c. 求证： 方法一： 如图，大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为c. 证明:…… 方法二： 如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为(b-a). 证明:…… 知识点2 利用勾股定理进行计算 2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对应边分别是a,b,c.若∠A+∠C=90°,则下列等式成立的是 ( ) 3.如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为 . 4.(1)在Rt△ABC 中,∠B=90°,a=3,b=4,则c= ; (2)如图，在等腰直角三角形ABC中，若∠C=90°,则AC:BC:AB= . 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b. (1)已知b=a=5,求c; (2)已知c=10,b=1,求a; (3)已知 求c. 易错点 边的类型不确定时漏解 6.若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为 . B 组 能力提升 7.【数学文化，赵爽弦图】[2024 南通]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的直角边长分别为 m，n(m>n).若小正方形的面积为 5,(m+ 则大正方形的面积为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 8.【数学文化，赵爽弦图】如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT 的面积分别为S₁,S₂,S₃,若 则 9.[2025长沙模拟]Rt△ACB 的直角顶点C 在直线l上，分别过点 A，B作直线l 的垂线，垂足分别为点 D 和点E. (1)如图①,求证:∠DAC=∠BCE. (2)如图②,已知AC=BC. ①求证:CD=BE; ②若设△ADC 的三边分别为a,b,c,试用此图证明勾股定理. C组核心素养拓展 10.【创新意识】[2025甘肃]勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形. 11.【创新意识】[2025 东营]如图,正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为 S₁，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，……按照此规律继续下去,则S₂₀₂₅ 的值为 . 【A组·基础达标】 1.证明略 2. C 3.100 4.(1) (2)1:1: (3)c=1 6.13或 【B组·能力提升】 7. B 8.40/3 9.证明略 【C组·核心素养拓展】 10.31 学科网（北京）股份有限公司 $