第2章 相交线与平行线高频易错题考点讲练-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习五 高频易错题考点讲练 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 易错题型讲练一 求一个角的余角 1 易错题型讲练二 求一个角的补角 2 易错题型讲练三 与余角、补角有关的计算 3 易错题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 4 易错题型讲练五 垂线段最短 5 易错题型讲练六 点到直线的距离 6 易错题型讲练七 同位角相等两直线平行 8 易错题型讲练八 用直尺、三角板画平行线 8 易错题型讲练九 内错角相等两直线平行 9 易错题型讲练十 同旁内角互补两直线平行 10 易错题型讲练十一 根据平行线的性质探究角的关系 11 易错题型讲练十二 根据平行线的性质求角的度数 13 易错题型讲练十三 平行线的性质在生活中的应用 14 易错题型讲练十四 根据平行线判定与性质求角度 16 易错题型讲练十五 根据平行线判定与性质证明 18 能力提升训练 19 易错题型讲练一 求一个角的余角 【典例精讲】已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）小明同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有___________． 易错题型讲练二 求一个角的补角 【典例精讲】（25-26七年级上·北京海淀·期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）如果和互余，则下列式子：①；②；③；④；⑤．其中表示的补角的式子有 _____ ．（填序号） 易错题型讲练三 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·月考）O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 【变式训练】．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 易错题型讲练五 垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【变式训练】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 易错题型讲练六 点到直线的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 易错题型讲练七 同位角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：∵平分（已知），∴（________）． 同理， 又∵（已知），∴________________， 又∵（已知），∴________（等量代换）， ∴（________）． 易错题型讲练八 用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【变式训练】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 易错题型讲练九 内错角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【变式训练】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 易错题型讲练十 同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 易错题型讲练十一 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】如图，，直线截、于点、，点是直线上的一个动点（点不与、重合），点在射线上． (1)当点在线段上时，如图（1），求证：． (2)当点在射线上时，如图（2），试猜想、、之间的数量关系：________（不要求说明理由）． (3)当点在射线上时，如图（3），试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 易错题型讲练十二 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】分析题图，解决下列问题： (1)【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； (2)【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为___________；（用含字母α的代数式表示） (3)【应用】如图③，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分、，分别交射线于点C，D．求与的差． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 易错题型讲练十三 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【变式训练】（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 易错题型讲练十四 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 易错题型讲练十五 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 1．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·上海虹口·期末）一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．如图所示的是由4条线段a，b，c，d组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为__________． 8．如图，已知B、C、E在同一直线上，且，若，，则为_________． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 11.已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 12．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 14．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习五 高频易错题考点讲练 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 易错题型讲练一 求一个角的余角 1 易错题型讲练二 求一个角的补角 4 易错题型讲练三 与余角、补角有关的计算 6 易错题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 8 易错题型讲练五 垂线段最短 10 易错题型讲练六 点到直线的距离 13 易错题型讲练七 同位角相等两直线平行 15 易错题型讲练八 用直尺、三角板画平行线 17 易错题型讲练九 内错角相等两直线平行 20 易错题型讲练十 同旁内角互补两直线平行 21 易错题型讲练十一 根据平行线的性质探究角的关系 23 易错题型讲练十二 根据平行线的性质求角的度数 28 易错题型讲练十三 平行线的性质在生活中的应用 31 易错题型讲练十四 根据平行线判定与性质求角度 34 易错题型讲练十五 根据平行线判定与性质证明 38 能力提升训练 41 易错题型讲练一 求一个角的余角 【典例精讲】已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)，理由见详解 【思路引导】本题考查了角的和差、角平分线的定义及余角的概念． （1）通过与的关系求出，进而求出； （2）利用角平分线性质和角的和差关系进行推导； （3）根据余角的性质得到与、与的关系，再结合角的和差关系探究三者数量关系． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）小明同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有___________． 【答案】①②④ 【思路引导】根据角平分线得到，结合，通过角的和差分别表示出、，进而推导出，验证结论①正确；将转化为，而，结合两个直角推导出，验证结论②正确；根据余角的定义，寻找与和为的角，确定只有和两个角满足，由此判断结论③错误；利用已证的，由求出的度数，再代入结论②的角度关系算出，验证结论④正确． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，结论①正确． ∵，，， ∴，结论②正确． ∵， ∴，即是的余角； ∵， ∴，即是的余角； 图中没有其他角与的和为，故的余角只有2个，结论③错误． ∵，， ∴， ∴，结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 易错题型讲练二 求一个角的补角 【典例精讲】（25-26七年级上·北京海淀·期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 【答案】 （1）； （2）证明见解析； （3）或． 【思路引导】本题考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键； （1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据角的位置关系分情况讨论，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵锐角的补角为钝角，的余角为锐角， ∴锐角的补角与的余角之差为， 故答案为：90． （2）证明：∵锐角的补角为， ∴， ∴， ∴是的余角． （3）解：设，则， 当在与之间时，， ∴，解得； 当在与之间时，， ∴，解得， ∴的度数为或． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）如果和互余，则下列式子：①；②；③；④；⑤．其中表示的补角的式子有 _____ ．（填序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题主要考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 由和互余，则，的补角为．分别验证每个式子是否等于或与之和为即可解答． 【规范解答】解：∵和互余， ∴，即． ①直接表示的补角，正确． ②，是的补角，正确． ③，是的补角，正确． ④（除非），不是补角，错误． ⑤，不是的补角，错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为①②③． 易错题型讲练三 与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·月考）O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用及即可求得与的数量关系； （2）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； （3）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了角的和差，互余和互补，解题的关键是掌握以上定义． 根据角的和差以及互余，互补的定义逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①∵，，且， ∴， 故①正确； ②由量角器可得，， 当射线经过刻度线165时，经过刻度线145， ∴，， 此时，， 与不互补， 故②错误； ③如图所示， 由②得，， ∴， ∵射线经过刻度线90， ∴，， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角， 故③正确； 综上，正确的选项有①③， 故选：C． 易错题型讲练四 同(等）角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 【答案】；；；；；同角的补角相等； 【思路引导】先利用平角的定义求出的度数，再根据互补的定义求出的度数，最后通过平角减去已知的、、，得到的度数． 【规范解答】解：∵点在直线上， (平角的定义)， ， ， ∴， ∵与互补， ， (同角的补角相等)， ， ． 【变式训练】．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 【规范解答】解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）； 理由如下： 因为，， 所以． （3）如图，过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 易错题型讲练五 垂线段最短 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【思路引导】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 【变式训练】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【思路引导】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 易错题型讲练六 点到直线的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，最短 (3) 【思路引导】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图所示，测量得 （3）解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【思路引导】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，点到直线的距离，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 易错题型讲练七 同位角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定、补角与余角的定义以及一元一次方程的应用，掌握同位角相等，两直线平行的判定方法和余角、补角的代数表示是解题的关键． （1）利用同角的补角相等推出同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行判定与的位置关系； （2）设这个角的度数为，分别表示出它的余角和补角，根据题目中的数量关系列方程求解． 【规范解答】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴， ． （2）解：设这个角的度数为． 由题意，得， 解得． 故这个角的度数为． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：∵平分（已知），∴（________）． 同理， 又∵（已知），∴________________， 又∵（已知），∴________（等量代换）， ∴（________）． 【答案】角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行 【思路引导】】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解． 【规范解答】解：平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 同理， 又，（已知） ， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）； 故答案为：角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行． 易错题型讲练八 用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【思路引导】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 【变式训练】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路引导】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【规范解答】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 易错题型讲练九 内错角相等两直线平行 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【规范解答】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 【变式训练】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【规范解答】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 易错题型讲练十 同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【规范解答】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【思路引导】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【规范解答】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 易错题型讲练十一 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】如图，，直线截、于点、，点是直线上的一个动点（点不与、重合），点在射线上． (1)当点在线段上时，如图（1），求证：． (2)当点在射线上时，如图（2），试猜想、、之间的数量关系：________（不要求说明理由）． (3)当点在射线上时，如图（3），试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】（1）过点作利用两直线平行，同旁内角互补，分别表示出即可得证； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）同（1）的方法得出，，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解： 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点作 ，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式训练】如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【思路引导】（1）作，根据平行线的性质，结合角平分线的定义以及角的和差关系推出，再逐一进行作答即可； （2）分三种情况分别画图，作答即可． 【规范解答】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 易错题型讲练十二 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】分析题图，解决下列问题： (1)【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； (2)【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为___________；（用含字母α的代数式表示） (3)【应用】如图③，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分、，分别交射线于点C，D．求与的差． 【答案】(1)，的余角：； (2)； (3) 【思路引导】（1）根据角平分线的定义可得，再根据余角的定义写出的余角即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）由平行线的性质可得，，，再结合角平分线的定义求得，即可得解． 【规范解答】（1）解：、分别是和的平分线， ，， 为平角， ， ， ， 的余角；； （2）解：、分别平分、， ，， ， ； （3）解：，， ，，， 、分别平分、， ，， ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 【答案】或或 【思路引导】本题主要考查了根据平行线的性质、角的动态定义，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，根据题意画出所有可能情况是解题关键． 【规范解答】解：如下图所示， 当时，延长交于点， ， 在中，， ， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， 在中，， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， ， ， ， ， 绕点旋转的度数为， 秒； 综上所述，当秒或秒或秒时，与三角板的直角边平行． 易错题型讲练十三 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1) ， (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 【变式训练】（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【规范解答】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 易错题型讲练十四 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【规范解答】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【规范解答】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 易错题型讲练十五 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【规范解答】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【思路引导】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 1．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【规范解答】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，互余的两个角之和为，因此． 【规范解答】解：∵与 互为余角， ∴， 又∵， ∴． 故选A． 3．（25-26六年级上·上海虹口·期末）一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了余角的定义，同角的余角相等，三角板中角度的特点，度数之和为90度的两个角互余，据此根据同角的余角相等，平角的定义和三角板中角度的特点逐一判断即可． 【规范解答】解：A、根据同角的余角相等可得，但不一定有，故不能确定与两角互余，不符合题意； B、根据三角板中角度的特点可得，则，故与两角不互余，不符合题意； C、根据平角的定义和三角板中角度的特点可得，故可以确定与两角互余，符合题意； D、根据平角的定义可得，故与两角不互余，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【规范解答】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 5．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【规范解答】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 7．如图所示的是由4条线段a，b，c，d组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为__________． 【答案】 【思路引导】根据平行线的判定与性质，以及对顶角相等，进行计算即可． 【规范解答】解：如图， ，， ， ， ， ． 8．如图，已知B、C、E在同一直线上，且，若，，则为_________． 【答案】 【思路引导】根据平行线的性质，角的和求解即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 【答案】 【思路引导】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【规范解答】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 【答案】或或或 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【规范解答】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 11.已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 【答案】/48度 【思路引导】根据直角三角板得到，再利用平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：∵是直角三角板， ， ， ． 12．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据直接解答即可； （2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差关系可求的度数． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ． 14．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【规范解答】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【思路引导】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【规范解答】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $