专项复习四 平行线的四大解题模型-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义以平行线四大解题模型为核心，通过表格系统梳理“猪蹄”“铅笔头”“锯齿”“三角尺”模型的条件、图示及结论，结合拐点个数拓展构建从基础到n个拐点的知识脉络，清晰呈现模型间的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“模型分类讲练”设计，如M型含锯齿型典例通过三角板放置问题引入，变式训练涉及动态点运动与角平分线综合，培养推理意识与几何直观。能力提升题融合生活情境（如路政工程车示意图），帮助学生用数学语言表达现实问题，分层练习满足不同学生需求，为教师实施精准教学提供支持。

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习四平行线的四大解题模型 (第二章相交线与平行线) 【北师大版七下。新教材】 9 ②百进义且录索引 模型思路精讲 模型1：“猪蹄”模型 模型2：“铅笔头”模型 …2 模型3：“锯齿”模型... 2 模型4：“三角尺”模型.。 模型分类讲练 ...4 模型讲练一M型（含锯齿型) ......4 模型讲练二笔尖型 模型讲练三“鸡翅“型 …8 模型讲练四“骨折”型，.. .11 能力提升训练 9 @百模型思路精进 模型1：“猪蹄”模型 (一)模型特征 条件 AB∥CD,O是平行线间的一点，连接OB,OC,且两条线段凹进去 A 图示 D 结论 ∠B0C=∠B+∠C(已知角之间的数量关系，则平行也成立) (二)模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 第1页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 B 01 图示 0/0 0, 0,Q D D d ∠01+∠02=180°+（∠B+ ∠01+∠02+∠03+…+∠0n= 结论 2c) (n-1)180°+（∠B+∠C) 模型2：“铅笔头”模型 (一)模型特征 条件 AB∥CD,点0在平行线之间，连接OB,OC,且两条线段凸出来 A B 图示 >0 D C 结论 ∠B0C+∠B+∠C=360 (二)模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 A B 01 图示 02 3% D C D c0, ∠01+∠02+（∠B+∠C) ∠01+∠02+∠03+…+∠0n+(∠B+∠C) 结论 =3×180° =(n+1)·180 模型3：“锯齿”模型 (一)模型特征 条件 AB∥CD,点E,F在平行线的内部，连接BE,EF,FC,且图形中至少有两个拐点 A →B 图示 E C D 结论 ∠B十∠F=∠E+∠C (二)模型拓展 拓展方向 拐点较多时可进行拆分 第2页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 2 图示 6 5( 4 4 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 模型4：“三角尺”模型 (一)模型特征 类型1：单一三角尺 含45°角的 含30°，60°角的 直角三角尺 直角三角尺 类型2：常见角度的拼接 105° 135 180 150° -15° 1650 120 （二)模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 ④ ∠1+∠2=90° ∠1=∠2 ∠1+∠2=909 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=1059 第3页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 9 ②自模型分类进练 模型讲练一M型（含锯齿型） 【典例精讲】已知直线a‖b,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC=30°）， 并且顶点A,C分别落在直线a,b上，若∠1=22°，则∠2的度数是°· a B b C 【变式训练1】(23-24七年级下·江苏镇江·期中)如图，ab,∠3=65°，∠1=∠2+15°，则 ∠2= 3 2 【变式训练2】(24-25六年级下·山东泰安·期中)综合与实践：(1)如图1，AB引CD,E为图形内一 点，连接AE、CE得到∠AEC,求∠AEC、∠A、∠C之间的关系，并说明理由. 【探究应用】可以利用(1)中结论解决下面问题： (2)如图2，ABICD,直线MN分别交AB、CD于点E、F,EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条 线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2,求证：∠FG1E+∠G2=180° (3)如图3，已知ABIICD,F为线段CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF,∠C=2∠CEF, 求∠A的度数。 B B P G D 图1 图2 图3 第4页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 【变式训练3】(24-25七年级下·天津滨海新区·月考)己知AB引CD. 图1 图2 图3 (1)如图1，当PA1PC时，则∠A+∠C的度数为 (2)如图2，判断∠APC,∠A,∠C之间的数量关系为 (3)如图3，设∠ABM=《,∠DNM=B,∠CDN=Y.请直接写出∠BMN的大小 (用含a、 B、Y的式子表示). 【变式训练4】己知ABICD,∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F. A A B M (1)如图①，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED=100°，求∠M的度数； (2)如图②，若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∠BED=C,求∠M的度数； (3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=声∠CDF,请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系， 模型讲练二笔尖型 【典例精讲】已知如图，AD‖CE,则∠A+∠B+∠C=() 第5页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 D B A.1800 B.270° C.360o D.540° 【变式训练1】如图，若直线l1ll2,∠a=∠邛，∠1=30°，则∠2的度数为 19 a 3 B D 【变式训练2】(1)如图1，AB//CD,∠A=33°，∠C=40°，则∠APC=-°； (2)如图2，AB/DC,点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠《， ∠DCP=∠B,求∠CPA与∠a、∠邛之间的数量关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接写 出∠CPA与∠、B之间的数量关系 D M B D M 图1 图2 备用图 【变式训练3】如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片. 第6页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 B E E M D D C 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD)，则 ∠BAE+∠AEC+∠ECD= (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD),则 ∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD)，则 ∠BAE+∠AEF+∠EFG十∠FGC+∠GCD= (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是 0 【变式训练4】(23-24七年级上·吉林长春·期末)【感知探究】如图①，己知，ABCD,点M在AB上， 第7页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 点N在CD上.求证：∠MEN=∠BME+∠DNE 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为_：（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB引DE,∠BAC=120°，∠D=80°，则∠ACD=_° A :B N D B 图① 图② 图③ 模型讲练三“鸡翅“型 【典例精讲】(24-25七年级下·江苏苏州·期末)如图，AB‖CD,己知∠B=66°，∠D=21°，则 ∠E= A 【变式训练1】(24-25七年级下·陕西咸阳·期中)已知点M是直线AB,CD所确定的平面内的一点. 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=110°，∠C=120°，∠AMC=130°，AB与CD平行吗？为什么？ (2)如图2，己知AB I CD,求出∠BMD,∠B,∠D之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长AB至点E,延长CD至点G,过点E作EFI川DM,连接EM,EG,且 ∠FEM=∠MEG,过点E作EN平分∠AEG交DM于点N,如图3所示.若∠BMD=30°， ∠ABM=140o,求∠MEN的度数. 第8页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 【变式训练2】己知直线1川12，A是11上的一点，B是12上的一点，直线13和直线11,12交于C和D, 直线CD上有一点P. 3 A B D (1)如果P点在C,D之间运动时，问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由 (2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合)，试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系 又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 第9页共21页 2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 【变式训练3】(1)如图(1)AB‖CD,猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由， (2)观察图(2)，己知AB‖CD,猜想图中的∠BPD与∠B∠D的关系，并说明理由。 (3)观察图(3)和(4)，己知AB‖CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由 A B E C D (1) (4 【变式训练4】①如图1，AB II CD,则∠A十∠E+∠C=360°；②如图2，AB‖CD,则 ∠P=∠A-∠C:③如图3，AB Il CD,则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线ABI‖CD I EF,点0在直 线EF上，则∠-∠邛+∠y=180°.以上结论正确的个数是() B B A B C D 入 E 图1 图2 图3 图4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第10页共21页2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习四 平行线的四大解题模型 （第二章 相交线与平行线） 【北师大版七下●新教材】 模型思路精讲 1 模型1：“猪蹄”模型 1 模型2：“铅笔头”模型 2 模型3：“锯齿”模型 2 模型4：“三角尺”模型 3 模型分类讲练 4 模型讲练一 M型（含锯齿型） 4 模型讲练二 笔尖型 11 模型讲练三 “鸡翅“型 18 模型讲练四 “骨折”型 27 能力提升训练 35 模型1：“猪蹄”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，O是平行线间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 模型2：“铅笔头”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 模型3：“锯齿”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点E，F在平行线的内部，连接BE，EF，FC，且图形中至少有两个拐点 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 拐点较多时可进行拆分 图示 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 模型4：“三角尺”模型 （一）模型特征 类 型 1： 单一三角尺 类型2 ：常见角度的拼接 （二）模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 模型讲练一 M型（含锯齿型） 【典例精讲】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是_____°． 【答案】38 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，两直线平行，内错角相等．作，根据平行线的性质求得，，再结合三角板的角的度数即可求得答案． 【规范解答】解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：38． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，，，，则________°． 【答案】25 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，过的顶点作，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再结合已知条件即可求出答案． 【规范解答】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25六年级下·山东泰安·期中）综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3） 【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）由角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，由（1）中的结论得到，，再利用角的和差、角度间的等量代换即可证明； （3）由（1）中结论可得，，，则有，代入数据求出的度数，即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 过点E作，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，、为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：∵，E为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练3】（24-25七年级下·天津滨海新区·月考）已知． （1）如图1，当时，则的度数为________； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为________； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小________（用含α、β、γ的式子表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质和判定、垂直的定义即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质和判定即可求解； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质和判定得到，，，推出，，，再根据即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 【变式训练4】已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【规范解答】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 模型讲练二 笔尖型 【典例精讲】已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【规范解答】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 【变式训练1】如图，若直线，，，则的度数为____． 【答案】/150度 【思路引导】如图，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【规范解答】如图所示，点在直线上，点、在直线上，点在、之间，为， 直线， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质与判定定理是解本题的关键． 【变式训练2】（1）如图1，，，，则 ； （2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由详见解析；（3）当点在射线上时，；当点在上时，． 【思路引导】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可； （2）过点作交于点，然后根据平行线的性质求解即可； （3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可； 【规范解答】（1）如图1，过作 ， ， ， 又， ， 则 （2） 理由是： 如图2，过点作交于点 ， ， （3）当点在射线上时，设CD与AP交于点P，如图所示， ∵， ∴， 又∵在△CHP中，， ∴， 即：． 当点在上时，如图所示， 作PE∥AB， ∴∠APE=∠BAP=∠α， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠CPE=∠PCD=∠β， ∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α． 答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α． 即． 【考点剖析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线． 【变式训练3】如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【规范解答】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又 ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又 ， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又 ， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又 ，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 【变式训练4】（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 模型讲练三 “鸡翅“型 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，已知，，则_________． 【答案】45 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：过点作，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若 ，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）首先过点M作，易得，，进而可得，由同旁内角互补，两直线平行可得，进而可得，； （2）作， 可得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （3）由（2）知，，先求出，进而可得，再证明 ，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：结论 ：， 理由：如图1所示，过点M作， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论 ：， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 【变式训练2】已知直线 ， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【规范解答】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【变式训练3】（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【思路引导】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【规范解答】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【考点剖析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 【变式训练4】①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【规范解答】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【考点剖析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 模型讲练四 “骨折”型 【典例精讲】如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为_____________． 【答案】 【思路引导】过点B作交 于点D，可证，利用平行线的性质可得，，进而可得 ． 【规范解答】解：如图，过点B作交于点D． 中，， ． ， ． ，， ， ， ， 故按为：． 【考点剖析】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式训练1】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 【答案】57° 【思路引导】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【规范解答】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【考点剖析】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 【变式训练2】已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【规范解答】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ， 同理得， ∴，即 ， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴ ． 【变式训练3】综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【思路引导】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【规范解答】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系． 【变式训练4】（24-25七年级下·陕西延安·期中）已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【思路引导】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【思路引导】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 【规范解答】解：如图，作CF//ED，   ∵AB//ED， ∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF， ∴AB//CF， ∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 2．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 【答案】B 【思路引导】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 【规范解答】作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 【考点剖析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 3．（2025·陕西安康·二模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，结合图形构造平行线的辅助线是解题的关键．过点作，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【规范解答】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 5．如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论、垂线的性质，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键． 过N点作，则，如图，由平行线的性质得，进而由平分和得，再由可变形推得． 【规范解答】解：过N点作，则，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【规范解答】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 8．如图，直线，，，则____度． 【答案】30 【思路引导】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，能够发现并证明此题中的结论：． 要求的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形外角，根据三角形的外角的性质进行求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：30． 9．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度． 【答案】20 【思路引导】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到． 【规范解答】解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【考点剖析】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 10．（2025·山东济南·一模）将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，作，推出 ，得到，据此即可求解； 【规范解答】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 11．如图，已知，，，则_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【规范解答】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，，，则，和的数量关系是___________．    【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【规范解答】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【思路引导】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【规范解答】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 15．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______． 【答案】/80度 【思路引导】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【规范解答】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【考点剖析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 16．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 17．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】（1）过点作，可得，，根据即可求解； （2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 18综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．        （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【答案】（1）90°；（2）120° 【思路引导】（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题； （2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可． 【规范解答】解：（1）如图1，过作， ， ，   图1   （2）如图2，过作，过点作设 ，， ， ，， 平分，平分， ， ， 平分， ， ， ，， ，，   图2 【考点剖析】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19．（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 【答案】（1）.；（2），理由见解析；（3）点P在线段OB上时，；点P在BD的延长线上时，． 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质进行计算，即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质得、，即可求解； （3）点P在线段OB上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解；点P在BD的延长线上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ． （2）如图，过点作， ， ，， ， ，， ． （3）点P在线段上时，如图， 过点作， ， ，， ， ，， ． 点P在的延长线上时，如图， 过点P作， ，， ， ，， ． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $