广东深圳外国语学校2025-2026学年高一下学期数学周测2

深圳外国语学校2025级高一下学期数学周测2 考试时间：2026年3月22日 一、单选题 1．已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可 【详解】向量， 所以向量, 故选：D 2．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 3．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，可得坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，解得. 4．已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 5．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角为锐角，得到向量数量积大于零且向量不共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为， 所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且. 故选：D. 6．已知向量，满足，，且对任意实数，不等式恒成立，设与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法，结合平面向量数量积的运算性质和定义，结合一元二次不等式解集的性质、同角的三角函数关系式、正切的二倍角公式进行求解即可. 【详解】要想不等式恒成立， 只需，而， 所以，即， 则有， 则有， 所以， 故选：D 7．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案. 【详解】，， 由，P，M共线，存在，使①， 由N，P，B共线，存在，使得②， 由①② ，故. 故选：B. 8．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设，根据三角形面积求得，设，利用平面向量的线性运算可得，结合和数量积的运算律和二次函数的性质计算即可求解. 【详解】如图，设，则，    所以， 得，又， 所以，得，解得， 所以，故，， 设，则， 所以， 则 ， 当时，取得最小值，且为. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查平面向量与几何的最值问题，该类问题常见的处理方法为： （1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解； （2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解； （3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题. 二、多选题 9．已知向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 【答案】ACD 【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D. 【分析】对于A，因为，， 则，解得，故A正确； 对于B，因为，则，解得， 所以，解得，故B错误； 对于C，因为， 而，当且仅当反向时，等号成立， 此时，解得或， 当，同向，舍去； 当，满足反向；故C正确； 对于D，若，则， 即，所以， 则 ，故D正确. 故选：ACD 10．如图，正方形的边长为2，P是正方形的内切圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】建立平面直角坐标系，求向量的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断AC，由向量相等求，结合三角函数性质求，的最值. 【详解】以A为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则，， 内切圆的方程为， 可设， 则，， 所以，当，即为的中点时取等号， 所以的最大值为4，A正确； 因为， 所以，当，即时等号成立， 所以的最大值为，C错误， 由，可得， 得，， ，， 当，即时，所以所以的最大值为， B正确， 当，即时，所以所以的最大值为，D正确， 故选：ABD. 11．在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（   ） A．角的大小为 B．若为的角平分线，则 C．若，则线段的长度的取值范围为 D．若，则的周长的最大值为 【答案】ABC 【分析】结合正弦定理与两角和的正弦公式，可求，判断角的大小，从而判断A的真假；结合三角形的面积公式，可判断B的真假；结合A的结论，利用正弦定理，可判断C的真假；结合A的结论，利用面积关系，得到，再结合余弦定理，得到，用表示三角形周长，结合基本不等式可求周长的最小值，判断D的真假. 【详解】选项A：若， 即，， 故， 因为为三角形内角，所以，所以，.故选项A正确. 选项B：根据题意，由于， 即.故选项B正确. 选项C：若，则. 在中，由正弦定理得：，， 由于，则的长度的取值范围为.故选项C正确. 选项D：若，根据等面积法有，即. 由余弦定理得：，整理可有， 故，的周长. 又因为（当且仅当时取等号），解得， 故的周长，周长的最小值为.故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．平面向量，若，则______. 【答案】 【分析】先由向量垂直得出，再由坐标运算及模长公式计算求解. 【详解】由，得，解得. 则，. 故答案为：. 13．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 【答案】2 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求，即可求出. 【详解】，， ，即， 在上的投影向量为， 则，整理得：，化简得：， ，， 由可得， 因，则， 由 ， 令， 时，，， ，解得：. 14．如图，面积为，，，，，的个正方形，则的值为______． 【答案】3 【分析】根据余弦定理进行求解应用. 【详解】记正方形面积为的边长分别为, 三角形对应的三边分别为, 由余弦定理可得, , 同理可得，，， 而，， 由余弦定理, , 所以. 故答案为: 四、解答题 15．已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 16．已知． (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用数量积的坐标表示及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求解. （2）由（1）及已知求出，再利用诱导公式及等腰三角形性质求解. 【详解】（1）由， 得， 所以的最小正周期为， 由，得， 所以图象的对称轴为. （2）在中，由，得，即， 而，即，则，， 由，得，而， 所以 17．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合，即可求解； （2）由正弦定理结合辅助角公式得到，进而可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 18．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）. 【解析】（1）结合三角恒等变化化简得，根据三角函数性质求出其单调区间； （2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可. 【详解】解：（1） 令， 得 令， 得 故函数的增区间为，减区间为； （2）当时，， 可得，由， 不等式可化为 ， 有. 令， 则 若不等式恒成立， 则等价于，解得： 故实数m的取值范围为. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法: （1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间； （2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 19．设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”. (1)判断函数是否为上的“密切函数”； (2)某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象. （i）求点的坐标； （ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围. 【答案】(1)是上的“密切函数” (2)（i）；（ii）或 【分析】（1）分析可知：若是在上的“密切函数”， .故根据定义分析函数在上的单调性及最值即可求解； （2）（i）根据点在函数的图象上，先求出函数的解析式，代入横坐标即可求点坐标； （i）根据点坐标代入可得.对和进行分类讨论，根据“密切函数”的定义研究函数的单调性与最值即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 则在上单调递增， 所以， . ∴，有. 所以函数是上的“密切函数”. （2）（i）由图可知，函数在上的最大值为，则. 又，则，即. 因为，所以， 则，故. 所以，故. （ii）因为过点，所以，则， 所以. 设，则在其定义域上单调递减. ①当时，根据复合函数单调性可知：函数在[5,10]上单调递增， 要满足分流车道对应的函数为上的“密切函数”，则需要，即，解得. ②当时，函数在[5,10]上单调递减， 要满足分流车道对应的函数为上的“密切函数”，则需要， 即，解得. 综上所述，或. 【点睛】本题为新定义题型，综合考查函数的最值、单调性、周期性等性质，以及分类讨论、数形结合等数学思想，属于压轴题.解题的关键是理解“密切函数”的定义，将问题转化为求函数的最值，进而研究函数单调性即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2025级高一下学期数学周测2 考试时间：2026年3月22日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 3．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，且对任意实数，不等式恒成立，设与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 10．如图，正方形的边长为2，P是正方形的内切圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最大值为 11．在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（   ） A．角的大小为 B．若为的角平分线，则 C．若，则线段的长度的取值范围为 D．若，则的周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．平面向量，若，则______. 13．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 14．如图，面积为，，，，，的个正方形，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 16．（15分）已知． (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长． 17．（15分）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 18.（17分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19．（17分） 设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”. (1)判断函数是否为上的“密切函数”； (2)某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象. （i）求点的坐标； （ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $