5.2.3 简单复合函数的导数课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 分析：已知函数y＝ln(2x＋5)、y＝sin(x＋2)，它们有何共同特征？ u＝2x＋5 y＝f (u)＝f (g(x))＝ln(2x＋5) y＝lnu 复合函数 记作u＝g(x) u与x 的关系 记作y＝f(u) y与u 的关系 复合 知识讲解 分析：已知函数y＝ln(2x＋5)、y＝sin(x＋2)，它们有何共同特征？ u＝x＋2 y＝f (u)＝f (g(x))＝sin(x＋2) y＝sinu 复合函数 记作u＝g(x) u与x 的关系 记作y＝f(u) y与u 的关系 复合 它们都是由两个基本函数复合而成的. 知识讲解 复合函数的概念：一般地，对于两个函数 y＝f (u) 和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y 可表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f (u) 和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f (g(x)) . 例如，函数 y＝sin2x 是由 y＝sinu 和 u＝2x 复合而成. 注：内、外层函数通常为基本初等函数． 知识讲解 典例剖析 典例1. 以下函数是由哪些函数复合而成的？ (1)y＝ln(2x＋1) (2)y＝(3x＋6)3 (3)y＝e-0.05x＋2 y＝lnu 和 u＝2x＋1 y＝u3 和 u＝3x＋6 y＝eu 和 u＝－0.05x＋2 知识运用 ►课本P78 自主练 判断下列函数哪些是复合函数. 是 不是 不是 是 不是 是 是 不是 知识运用 自主练 下列函数是怎样复合而成的. 如何求导呢？ 复合函数求导法则：一般地，对于由函数 y＝f (u) 和 u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x ＝y′u · u′x，即： [f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x) 典例：求函数y＝ln(2x－1)的导数. 由 y＝lnu 和 u＝2x－1复合而成 所以[ln(2x－1)]′＝(lnu)' ·(2x－1)' ＝ ·2＝ 知识讲解 典例剖析 ►课本P79 典例2. 求以下函数的导数 (1) y＝(3x＋5)3; (2) y＝e－0.05x＋1 解：(1) 令 u＝3x＋5，则y＝u3， 所以y'x＝(u3)' · (3x＋5)'＝3u2×3＝9(3x＋5)2. (2)令u＝-0.05x＋1，则y＝eu 所以y'x＝(eu)' · (-0.05x＋1)'＝-0.05eu ＝-0.05e－0.05x＋1 知识运用 ►课本P81 自主练 求下列函数的导数. (1) ； 令 u＝3x＋1，则y＝2u ∴y' x＝(2u )' · (3x＋1)' ＝2· ·u ·3＝-3(3x＋1) 解： ∴y' x＝(u3)' · (1－2x)' ＝3u2·(-2)＝-6(1－2x)2 (1) 令 u＝1－2x，则y＝u3 (2) (2) 知识运用 ►课本P81 自主练 求下列函数的导数. (3) y＝ log2(2x＋1)； 解：(3)令 u＝2x＋1，则y＝log2u， ∴y' x＝(log2u)' · (2x＋1)' ＝ ＝ ； (4) (4)令 u＝ ， 则y＝cosu ∴y' x＝(cosu)' · ( )' ＝-sinu 知识运用 ►课本P81 自主练 求下列函数的导数. ； (6) y＝22x+1 . (6) 令u＝2x＋1，则y＝2u， ∴y'x＝(2u)' ·(2x＋1)' ＝2·2u·ln 2 ＝2·22x+1·ln 2 ＝22x+2·ln 2. (5) ∴y'x＝(-cosu)' · (3x)' ＝sinu×3＝3sin3x (5) 令 u＝3x，则y＝-cosu 解： 知识运用 ►课本P81 自主练 求下列函数在给定点处的导数. (1)y＝e－2x+1在 处的导数； (2)y＝ln(5x＋2)在 x＝1 处的导数. 解：(1)令u＝-2x＋1，则y＝eu y'x ＝(eu)' · (-2x＋1)'＝ -2eu ＝-2e－2x+1 当 时，y'x ＝-2e0＝-2 知识运用 ►课本P81 自主练 求下列函数在给定点处的导数. (1)y＝e－2x+1在 处的导数； (2)y＝ln(5x＋2)在 x＝1 处的导数. 解：(2)令u＝5x＋2，则y＝lnu y'x ＝(lnu)' · (5x＋2)'＝ 5· 当x＝1时，y'x ＝ ►课本P81 自主练 求曲线 y = 在点 (，1) 处的切线方程. 解：∵ y = = ， ∴y´= · (3x – 1)´ = ； ∴ = 1， ∴ 切线方程为 y – 1 = x – ，即 y = x + . 知识运用 结合以下关键词谈谈你的收获： 1.复合函数； 2.复合函数的导数法则； 3.复合函数求导法则的综合应用. 课堂总结 $