5.2.3 简单复合函数的导数-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第五章一元函数的导数及其应用 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f(x)=x+e的导数是 3已知fx)=r(a∈R,且a≠0)，若f)= A.e B1+号 则a= () C.1+re-1 D.1+e A号 B号 2.下列函数满足(x)=f(x)的是 A.f(x)=e Cg D B.f(r)=cos r 4.函数y=sinx十e在点(0,1)处的切线方程为 C.f(r)=sin D.f(x)=In x 是示完成Ps课时作业（十四） 5.2.3简单复合函数的导数 [学习目标]1.了解复合函数的概念，培养数学抽象的核心素养（易混点）.2，理解复合函数的求导法则，并能求 简单的复合函数（限于形如f(ax十b)的导数，发展数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一复合函数的概念 要点二复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 复合函数y=f(g(x)的导数与函数y= 如果通过中间变量，y可以表示成x的函数， f(u),u=g(x)的导数间的关系为y= 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) ,即y对x的导数等于 的复合函数，记作 →思考：函数y=log2(x十1)是由哪些函数复合 而成的？ 辨析 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)函数y=sin(xx)的复合过程是y=sinu, u三πx. () (2f)=lh(3.x+1),则fx)=3x+ () (3)f(x)=x cos 2x,f(x)=2xcos 2x+ 2xsin 2.x. ·49· 数学选择性必修第二册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一 复合函数的导数 【变式1】求下列函数的导数. (1)y=10-2; 规律总结 (2)y=ln(e+x2): (1)求复合函数的导数的步骤 (3)y=x/1+x ①分层：选择中间变量，写出构成它的内、外 层函数：②分别求导：分别求各层函数对相应 变量的导数；③相乘：把上述求导的结果相 乘；④变量回代：把中间变量回代 (2)求复合函数的导数的注意，点 ①内、外层函数道常为基本初等函数：②求每 层函数的导数时注意分清是对哪个变量求 导，这是求复合函数导数时的易错，点：③逐层 求导结束后对结果进行化简整理，使导数式 尽量简洁， 【例题1】求下列函数的导数. (1)y=e2r+1: (2)y-(2x-1)3 (3)y=5log2(1-x): (4)y=In 3r er. 探究二 三角函数型函数的导数 规律总结 三角函数型函数的求导要求 对三角函数型函数的求导，往往需要利用三 角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行 求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤 可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直 接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导 50 第五章 一元函数的导数及其应用 【例题2】求下列函数的导数. 探究三导数运算法则的综合应用 y=cos5(sin-cos): 规律总结 (2)y=x2+tan x. (1)导数的应用中，求导数是解题的一个基本 环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根 据导数公式及运算法则求导数，不具备导数 运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分 析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解 决途径。 (2)求参数的问题一般依据条件建立参数的 方程求解 【例题3】(1)曲线y=1n(2x-1)上的点到直线 2x一y十3=0的最短距离是 ( A.5 B.2/5 C.3w5 D.0 (2)设曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线 【变式2】求下列函数的导数. x+2y+1=0垂直，则a= (Dy-sin (2)y=sinx+sin (3)y=cos'x-sin'x. 【变式3】(1)曲线f(x)=e-x-2在点(0， f(0))处的切线方程是 () A.3.x+y+1=0 B.3.x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3.x-y-1=0 (2)已知直线y=x十1与曲线y=ln(x十a)相 切，则a的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 ·51 数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f(x)=x十e-1的导数是 3.若f(x)=xe,则f(x)在x=2处的切线的斜 A.er B1+1 C.1+e!D.1+e' 率是 4.已知函数f(x)=ln(ax一1)的导函数是f(x), 2.已知f(x)=ln(3x-1),则f(1)=( 且f(2)=2,则实数a的值为 A司 B.1 c D.2 提示完成P课时作业（十五）和Pm培优训练（三） 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 [学习目标]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，培养直观想象和逻辑推理的核心素 养.2.能利用导数研究函数的单调性，增强逻辑推理的核心素养（重难点）.3.对于多项式函数，能求不超过三次 的多项式函数的单调区何，提升数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一函数的单调性与导数的关系 要点二函数图象的变化趋势与导数绝对值 1.一般地，在区间(a,b)内，函数f(x)的单调性 大小的关系 与导数了(x)的正负有如下关系， 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小 导数 函数的单调性 与函数图象的变化关系如表所示 f(x)>0 单调递增 图象 f(x)<0 单调递诚 广(x)=0 常函数 导数为正， 导数为正， 导数为负， 导数为负， 2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 导数 且绝对值越 且绝对值越 且绝对值越且绝对值越 y=f(x)的单调性： 来越大 来越小 来越大 来越小 第1步：确定函数的 第2步：求出导数(x)的 函数函数值变化 函数值变化 函数值变化函数值变化 第3步：用f(.x)的 将f(x)的定义域 值 越来越 越来越 越来越 越来越 划分为若干个区间，列表给出(x)在各区间 图象 由此得出函数y=f(x)在定义 越来越 越来越」 上的 越来越 越来越 特点 域内的单调性 ·52·(5)因为y=5,所以y=51n5. 4.解析当x=0时，y=sin0+e=1,即点(0,1)在函数y (6)因为y=cos(交-x）=inx,所以y=c0sz sinx十e的曲线上，又y=sinx十e的导数y'=cosx十e, 所以在点(0,1)处的切线斜率为k=cos0十e'=2,即在，点(0， [变式1门解析(1)因为y=x行=x,所以y=(x青)' 1)处的切线方程为2x一y十1=0， 音=号近 答率2x-y+1=0 (2)因为y-是-=(x>0,所以y=《=。1(x>0). 5.2.3简单复合函数的导数 x 2元 (3)因为y=sin(π-x)=sinr,所以y=cosx. 必备知识·基础落实 [例题2]解析(1)y=(x+simx)'=(.x2)/十(sinx)'=3x2+ 要点一 cos x. y=f(g(x)) (2)y=(3x2+xeos x)'=(3.x2)'+(xcox)'=3×2r+ [思考]提示函数y=log(.x+1)是由y=log2u及M=x十1两 x'cos x+r(cos r)'=6x++cos a-rsin r. 个函数复合而成的. 8/=()-》+1-业 要点二 (x-1) y。·y对u的导数与u对x的导数的乘积 2 (x-1) [辨析]解析(1)正确.由复合函数的概念知该命题正确。 [变式2]解扬)国为y=一sim受(-c0s受）=2imx,所 (2错误.由复合画载的水导法则可得了)一 (3)错误.由复合函数的求导法则可得f(x)=2xcos2.x 以y=(分snr)/=7osx 2x sin 2x. (2y'-e+1)'(e-1)-(e+1D(e-1D 答系(1)√(2)×(3)X (c-1)2 关键能力·素养提升 =e(e-l)-(e+1)e= 2e [例题1门解析(1)函数y=e+1可看作函数y=e和u=2.x十1 (e-1) (e-1)F 的复合函数，所以y,=y。·=(e)(2x十1)= 3y=gx+ga=bgr+r‘h3b®r+h 1 2e=2e2rt1. (④)周为y=rn=合n,所以y=(分hx (2)函数y=(2x-1D可看作函数y=M和u=2x一1的复 nx+号rh=}nx+2 合函数，所以y=y·=(u3)'(2.x-1)'=-6u= -6(2x-1)4=- 6 [例题3]照析(1)由已知条件可得f(x)=a:十3)一2aE (2.x-1) (x十3)2 (3)函数y=5log(1一x)可看作函数y=5logu和u=1一x 兽干品周为了④D=号所以=受解得a=4故 的复合函数，所以y=y·=(5ogu)'·(1-x)'= 2 -5 5 选B项. uln 2 (-1)In 2 (2)由题意和图象得了(x)=3a.x2+2bx+c,了(1)=0， 3a+2h+c=0, a=2, (④因为n3a/=hw·i=3/=子所以y= f(2)=0,f(1D=5,所以<12a十4h+c=0,解得b=-9,故 a+b十c=5, c=12. hn化-地ne心_士hu1上由 函数f(x)的解析式是f(.x)=2.x2一9x2十12x. (e)2 e re 答系(1)B(2)f八x)=2.2-9.x2+12.x [变式1]解粉(1)令u=3x一2，则y=10.所以y4=y。·= [变式3]B解析f(x)=x2+2a.x+a2-1=[x+(a+1)]· 10ln10·(3.x-2)=3×10-2n10. [.x十(a一1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都 (②)令u=e十x,则y=nu所以y,=·山= 是y轴，此时4=0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函 数f八x)的导函数的图象，由图(3)知f(0)=0,由根与系数 (e+x2)'=e+2a e+r -(a+1)-(a-1)>0:解得a=-1.故fr)= 的关系得{(a+1)(a-1)=0, (3)y=(x√1+F)y'=/1+7+x(1+F)'=1+7+ 号-+1，所以-D=3截选B项 -1+2x2)1+ 1+7 1+x 随堂检测·学以致用 [例题2]解损(1)因为y-os号(sm艺-cos艺)=c0s兰· 1.D解析函数f(x)的导数为了(x)=1十C.故选D项. 2.A解析若f(x)=e,则(x)=e=f(x),故A项符合题 2 意：若f(x)=cosx,则f(x)=一sinx≠f(x),故B项不符 合题意：若f(x)=sinx,则f(x)=cosx≠f(x),故C项不 cos ) 特合题意：若x)=ln,则f)=是≠，故D项不符 I)'= 合题意.故选A项 3.D解枥因为f(x)=x,所以∫(x)=a-1,所以(1) (2)因为=+热兰所以=()+()=2红 cos r a=子，故选D项 cos'r-sin (-sin cOSI ·147 2 1-os3 [辨析]解析(1)正确.由函效的单调性与导数的关系知结论 [变式2]解析(1)周为y=sim 正确. 3 2 2 (2)错误.切线的“陡峭”程度与|子(x)|的大小有关，故 错误 (3)正确.函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝 (2)y'=(sinx+sin )'=(sin')'+(sin ) 对值大小一致 =3sinrcos x+cos 3.2=3sin rcos r+3.xcos r. (4)正确.若(x)>0(≤0)，则函数f(x)在区间上单调递 (3)y=cos'r-sin'r=(cos'r+sin'r)(cos'r-sinr)= 增（减），故在区间内的个别点广(x)=0不影响函数的单 cos2.x.所以y'=(cos2x)'=-2sin2x. 调性 [例题3]解析(1)由题意设曲线y=n(2x一1)在点(.x,地)处 答率(1)√(2)×(3)√(4)√ 的切线与直线2x-y十3=0平行.国为了=2白，所以 2 关键能力·素养提升 2 [例题1门解析(1)当x∈（一0,0）时，导函数图象在x轴的上 y1=2气-2.解得=1，所以=h(2-1)=0, 方，表示在此区间上原函数的图象呈上升趋势，可排除B 即切点坐标为(1,0).所以切，点(1,0)到直线2x一y十3=0 D项：当x∈(0,2)时，导函数图象在x轴的下方，表示在此 的距离为d=2-0+3=5,即曲线y=n(2x-1)上的，点 区间上原画数的图象呈下降趋势，可排除A项.故选C项. /4+1 (2)方法一由函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象自 到直线2x一y十3=0的最短距离是/5.故选A项. 左到右先增后减，可知函数y=∫(x)图象的切线的斜率自 (2)令y=f(x),则曲线y=在点(0,1)处的切线的斜率 左到右先增大后减小，故选B项. 为f(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直，所以子(0) 方法二由于∫(x)>0恒成立，则根据导数符号和函数单 2.因为f(x)=(e“)'=e·(a.x)'=ae",所以了(0)= 调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升.四 ae=a,故a=2. 个图象都满足.由于当x>0时，了(x)>0且越来越小，则 答案(1)A(2)2 函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状：当x<0时， [变式3]解析(1)因为f(x)=4e“-1,所以k=f(0)=3.又 (x)>0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象星 f(0)=一1，所以切线方程为y十1=3r,即3.x-y一1=0. 现下凸状，可以判断B项正确.故选B项. 故选D项. 答率(1)C(2)B (2)设切点为P(,h),则为=十1，%=ln(o十a),国 [变式1]C解析当0<2<1时，xf(x)<0,所以子(x)<0, 为y儿十。l,所以6十a=l,所以-h函+a） 故f(x)在(0,1)上单调递诚：当x>1时，xf(x)>0,所以 了(x)>0,故y=f(x)在(1，十○)上单调递增.故选C项. 0,所以m=3%一1=一1.所以a=1一=2.故选B项. 答案(1)D(2)B [例题2]解析(1)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0，十∞) 随堂检测·学以致用 了(x)=6x-2-23x2-D_2Bx-1D3x+1D x 1.C解标函数f八x)的导数为f(x)=1十eL,故选C项. 3 由>0，f>0,解得x>:由x>0,f)<0,解得 2.C解福由题意可得f(x)=3x卢×(3x-)'=3x2与，所 以了=3X是故选C项 0<得所以画量/儿)-3-2hr的单调造增区间为 3.解析因为f(.x)=xer,所以了(x)=e-xe=(1一x)· (停，+∞)，单调递减区问为(0，得）)。 。,所以了2)=一是标据导数的几何老又知在r (2)由解析式知，函数∫(x)的定义城为{xx≠2}，且 2处的切线的斜率为=∫(2)=一 f)=-》6心>0,2r>0, (x-2)2 所以由f(x)>0得x>3,由(x)<0得x<3.结合定义 器一 域得，函数f八x)的单调递增区间为(3，十∞)，单调递减区 4.ǖ由fx)=h(ar-1)可得f)-a2,由广(2)=2， 间为（一0∞，2）和(2,3). 、2 [变式2]解损函数fx)的定义城为(0，十∞)，f()=2r- 可得2a”=2,解得a= 号 2x-1D5+卫.因为>0，所以/2x+1>0,令f(x)> 5.3导数在研究函数中的应用 0.解料>号所以画纸)的单满适增区间为（受十小： 令f)<0,解得r<号又xE0,十o.所以通教了 5.3.1函数的单调性 必备知识·基础落实 的单调递减区间为(0，号)】 要点一 [例题对团&)= -2ax十a-2=- (az+1)(2.x-12 2.定义域零点零点正负 要点二 a(x+2)2r- 快慢快慢陡峭平缓陡销平缓 -(x>0). ·148·