第4章 命题点19 三角形的边角关系及重要线段&命题点20 等腰(边)三角形-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

命题点19三角形的边角关系及重要线段 A基础分点练 考向1①三角形的三边关系(2025年6烤，2024年3浅，2023年8烤) 1.[2023吉林省卷]如图，钢架桥的设计中采用了三角 形的结构，其数学道理是 2.[2025连云港]下列长度（单位：cm)的3根小木棒能 搭成三角形的是 ( )第1题图 A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 3.开放性试题[2024西宁]若长度分别为3,6，a的三条线段能组成一 个三角形，则整数a的值可以是 .(写出一个即可) 变式[2025河北]平行四边形的一组邻边长分别为3,4，一条对角 线长为n.若n为整数，则n的值可以为 .(写出一个即可) 考向2三角形的内角和及内外角关系(2025年考，2024年烤，2023年烤) 4.[2025南充]如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线1上，则∠α 的度数是 ( A.120° B.130° C.140° D.150° 3 ∠B 2 60° 第4题图 第5题图 5.真买情境[2025烟台]如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥ CD,∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为 ( A.40° B.359 C.30 D.20° 6.[2023聊城]如图，分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD= 25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为 A.65 B.759 C.85° D.95 D 第6题图 第7题图 考向3三角形的重要线段(2025年2考，2024年2考，2023年61考) 7.真实情境[2024兰州]如图，小张想估测被池塘隔开的A,B两处景 观之间的距离，他先在AB外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E, ●并步测出DE的长约为18m,由此估测A,B之间的距离约为( A.18m B.24m C.36m D.54m 8.[2025广州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB,已知 cos∠CAD=1 3,AB=26,则点B到4D的距离为 第8题图 第9题图 9.[2024德州]如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4,S△Bc= 12,则BE的长为 () A.1.5 B.3 C.4 D.6 10.[2025广东省卷]如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A= 70°，则∠EDF= () A.20° B.40 C.70° D.1109 D B E 第10题图 第11题图 11.[2025扬州]如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，点 F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90°，若AC=4,BC=8,则DF 的长是 12.[2024凉山州]如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边 AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 DE 第12题图 第13题图 13.[2025广安]如图，在△ABC中，按以下步骤作图：(1)以点A为圆心， AC的长为半径画弧，交BC于点D;(2)分别以点C和点D为圆心，大 于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F:(3)画射线A交BC于点 E.若∠C=2∠B,BC=23,BD=13,则AE的长为 真题分类分层练·数学 B能力提升练 14.[2024西宁]如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD=BE, 且AD⊥BE,垂足为F,G为DC的中点，连接DE,EG.下列结论错误 的是 () A.△AFB≌△AFE B.∠ADB=∠ADE 1 C.FD=-BE D.△CEG∽△CBE 4 E E G 第14题图 第15题图 15.规律探索[2024达州]如图，在△ABC中，AE,BE1分别是内角 ∠CMB,外角∠CBD的三等分线，且∠E,AD=了∠C1B,∠E,BD= 3∠CBD,在△ABE,中，AE,BE,分别是内角∠E,AB,外角∠E,BD 的三等分线，且∠E,0=写∠E,4B,∠EB0=写∠E,BD,,以此规 律作下去，若∠C=m°，则∠En= 度 《 创新考法》) 16.三边关系与等边三角形结合[2025潍坊]如图，甲、乙、丙三人分别沿不 同的路线从A地到B地， 甲：A→C→B,路程为l甲 乙：A→D→E→F→B,路程为12 丙：A→G→H→B,路程为l两 下列关系正确的是 G D H 45600 60° 09 60o Tn分B A060602AB 460 甲 乙 丙 第16题图 A.l甲>lz>l丙 B.lz>l甲>l丙 C.l甲>l丙>lz D.l甲=lz>l丙 命题点20 等腰（边）三角形 A基础分点练 考向等腰三角形的性质与判定(2025年3考，2024年51考，2023年67考 1.[2024绵阳]如图，直线a仍，点0在b上，以0为圆心画弧，交a于不 同两点A,B.若0=44°，则∠A0B= A B -6 0 3 D 第1题图 第3题图 2.[2024湖南省卷]若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角 的度数为 3.真实情境[2025扬州]在如图的房屋人字梁架中，AB=AC,点D在 BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是 ( A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 4.[2024云南]已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB 的距离为3，则点F到直线AC的距离为 7 A.2 B.2 C.3 0.2 5.[2024重庆A卷]如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC 交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 D 第5题图 第6题图 6.[2024浙江]如图，D,E分别是△ABC边AB,AC的中点，连接BE,DE. 若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 7.[2024临夏州]如图，等腰△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，将 △ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'= 3AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 E B 第7题图 第8题图 考向2等边三角形的性质与判定(2025年0烤，2024年26考，2023年2考 8.Q开放性试题[2025资阳]如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E 在线段AB上，CEDA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个 条件是 9.[2025南充]如图，∠A0B=90°，在射线OB上取一点C,以点0为圆 心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，0C长为半径画弧，两弧在 ∠AOB内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC= 1,则0E的长是 EA B 第9题图 第10题图 10.[2025甘肃省卷]如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠， 点B落在点B'处，B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等边三 角形.若AB=6cm,则AD= cm 11.[2025广西]如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=√2， 则AD= B D B 第11题图 第11题变式题图 变式[2024自贡]如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D, AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°，则新钢架减少 用钢 () A.(24-123)m B.(24-83)m C.(24-63)m D.(24-4√3)m 12.[2024宜宾]如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的 点，且BD=CE,BE与AD交于点F.求证：AD=BE. D 第12题图 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 13.[2025福建]如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC, 垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE 交CD于点G (1)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形. 第13题图 B能力提升练 14.分类论[2025武汉]如图，在△ABC中，AB=AC= 10,BC=210,点D在边AC上，CD=3.若点E在边 AB上，满足CE=BD,则AE的长是 第14题图 15.[2024江西]追本溯源 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)， (1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作 BC的平行线，交AB于点E,请判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用 (2)如图②，在口ABCD中，BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A 作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G ①图中一定是等腰三角形的有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②一题多解已知AB=3,BC=5,求CF的长. E 图① 图② 第15题图 29最长，AB2=2AC=8,.边AB长的取值范围是2<AB<8. 1B2 B A 4 C 第11题解图 12.C13.C14.145°15.45°16.B17.C18.B19.A 20.C21.C22.D23.B24.B25.A 26.证明：略. 27.证明：略 28.C29.-3(答案不唯一)，1（答案不唯一） 304 9 【解析】如解图，延长AN,交直线BC于点E,由题意得 AD=BC=CD=9cm,∠D=90°，AD∥BC,AN∥FG,设DN= xcm,则CN=CD-DW=(9-x)cm,:密封透明正方体容器 水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的 体积不变，且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长 为9cm、宽为9cm、高为(9-x)cm的长方体的体积与长为 9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和， 9x9(9-x)+2×9x9x=9x9x7,解得x=4,即DN=4cm, .·AN∥FG,.∠AEF=∠F=,.AD∥BC,.∠DAN=∠AEF a an a=an DAN=DN_4 AD 9 D A(M) a B G 第30题解图 31.(1)解：SSS;等腰三角形的三线合一； （2)证明：略 命题点19三角形的边角关系及重要线段 1.三角形具有稳定性2.B 3.4(答案不唯一)变式2（或3或4或5或6） 4.D5.A6.B7.C 8.10【解析】如解图，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点 E,AD平分∠CAB,.∠CAD=∠DAB,cOS∠CAD= 12 13 12 coS∠DAB= 5:BE LAD,AB=26六AE=AB·s∠DAB= 24,.BE=√AB2-AE=√26-24=10，点B到AD的距 离为10. 第8题解图 24 参考答 9.B10.C11.612.100°13.12 14.D【解析】AD是角平分线，.∠BAD=∠EAD,AD1 BE,.∠AFB=∠AFE=90°，又.：AF=AF,∴.△AFB≌△AFE (ASA),故A选项正确，不符合题意；：△AFB≌△AFE, .AB=AE,.·∠BAD=∠EAD,AD=AD,.△ADB≌△ADE (SAS),∴.∠ADB=∠ADE,故B选项正确，不符合题意； BE是中线，CE=EA,G为DC的中点，.CG=GD, BG是△Cn中位线sG=号n,GAD5品又 △AFB≌△AFE,.BF=FE,.BD=GD,.DF是△BEG 的中位线0F=宁5C0F=子40，A0=E0F= 4BE,故C选项正确，不符合题意；在△CBG和△CBE中， ∠C为公共角，但∠CEG和∠CBE,∠CGE和∠CEB均不相 等，相应边不成比例，故△CEG和△CBE不相似，故D选项 错误，符合题意， 15m【解析】由题意知∠E,A0=了∠CB,∠EB0= 1 ∠CBD,设∠E,AD=&,LEBD=B,则∠C4B=3a, 1 ∠CBD=3B,由三角形的内外角关系得B=a+∠E1,3B=3a +∠C,.∠E1=B-a,∠C=3B-3a=3(B-a),.∠E1= 号4C,同理可得∠=行∠E,∠=（宁2C,,∠E 1 1 =(兮2，当∠c=m时，∠E.=m 1 16.D【解析】设AB=a.在图甲中，∠A=∠B=60°， △ABC是等边三角形，.AC=BC=AB=a,甲所行走的路 程l年=AC+BC=2a;在图乙中，AE+BE=AB=a,:∠A= ∠AED=∠FEB=∠B=6O°，∴.△DAE和△FEB都是等边三 角形，∴.AD=DE=AE,EF=FB=EB,∴.乙所行走的路程I2= AD+DE+EF+FB=2(AE+BE)=2a;在图丙中，延长AG,BH 交于点P,如解图所示，∠A=∠B=60°，.△ABP是等边 三角形，∴.AP=BP=AB=a,根据三角形的三边关系得GH< PC+PH,.丙所行走的路程l万=AG+GH+HB<AG+PG+PH+ HB=AP+BP=2a..l甲=lz>l丙： D G AA6060AB X60° 第16题解图 命题点20 等腰（边）三角形 1922.1003B4C52642.45 9 8.∠BCE=∠B(答案不唯一)9.√310.12 11.5-1变式D 12.证明：略 13.（1)解：.·△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°，AC=BC. 案·数学 D是AB的中点， 1 ∠DCB=LDCA=2∠ACB=309 ·.CE⊥BC, .∠BCE=90, ..∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°： (2)证明：由平移可知CDEF」 ..∠EAC=∠DCA=30°， 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， .∴.∠EAC=∠ECA, .∴.AE=CE,∠AEC=120° 又：△ABC是等边三角形，AB=CB, .BE垂直平分AC, cEE-AEC 由(1)知，∠GCE=60°， .∠EGC=60, ∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC .△CEG是等边三角形. 14.7或9【解析】如解图，过点A作AM⊥BC 于点M,过点C作CH⊥AB于点H,AB= 4c=10m=76c=分x2v0=而. .AM=√AB-BM证=3V0,'SAAc= 34B.cH=8c.M.CH=2而× B M 2 第14题解图 3√10，.CH=6,.BH=√BC2-CH=2,如果E在H的上 面，当BE=CD=3时，易得△EBC≌△DCB(SAS),.CE= BD,.AE=AB-BE=10-3=7:如果E在H的下面，.·CE'= CE,CH⊥EE',.HE'=HE,.·EH=BE-BH=3-2=1,.AE =AE+EH+E'H=7+1+1=9,综上所述，AE的长是7或9. 15.解：(1)△BDE是等腰三角形.理由略： (2)①B; ②解法一：：四边形ABCD是平行四边形 .∴.AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC, ·.∠AEB=∠EBC,∠BAF=∠AFD, BE平分∠ABC,∠ABE=∠EBC, .∠ABE=∠AEB,AB=AE, .AF⊥BE,.∠BAF=∠DAF .∠DAF=∠AFD,.DF=AD=BC, AB=3,BC=5, .CF=DF-CD=BC-AB=5-3=2. 》一题多解 解法二：如解图①，连接BF,EF :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC .∴.∠AEB=∠EBC,∠EDF=∠FCB,∠ABF+∠CFB=180° .BE平分∠ABC, ·.∠ABE=∠EBC, .∠ABE=∠AEB,.AB=AE, 参考答案 AF⊥BE,∴.AF垂直平分BE,∴.BF=EF .△ABF≌△AEF,.∠ABF=∠AEF, .:∠DEF+∠AEF=180°，∴.∠DEF+∠ABF=180°， .∴.∠DEF=∠CFB .△DEF≌△CFB,.DE=CF .·ED=AD-AE=BC-AB=5-3=2,∴.CF=2 A E D H G 图① 图② 第15题解图 解法三：如解图②，设AG与BE交于点H, 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DF,.∠BAG=∠DFA, .·BE平分∠ABC,.·.∠ABH=∠GBH AF⊥BE,∴.BA=BG .∴.∠BAH=∠BGH, .∠BGH=∠CGF, .∠CFG=∠CGF,∴.GC=CF, .CF=BC-BG=BC-AB=2. 命题点21直角三角形 1.2.42.C3.D4.C5.46.C7.B8.A9.2或3 10.B11.22 12.B【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于点H,:AC=BC= 2,∠ACB=90°，CH⊥AB,∴.AB=2N2,AH=BH=CH=N2, CD=AB=22,.DH=√CD2-Cr=√8-2=6，.BD= DH-BH=√6-√2. A 第12题解图 第13题解图 2m【解析】如解图，·△CDE是等腰直角三角形，D6 13.、 =CE,∠CED=90°，.CD2=DE2+CE=2DE,DE= 2 少，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，1 形ABCD的边长为2，S=2=4=4x(分°，面积标记为 、.的正方形边长为号x2=2,则5=(2)=2=4w(八， 面积标记为8，的正方形边长为号x万=1，则3，==1 4以（宁，面积标记为5的正方形的边长为号1-号则 S=(2 -4宁=4（宁则的 数学 25