第3章 命题点16 二次函数与几何图形的结合-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

命题点16二次函数与儿何图形的结合 类型1线段问题(2025年7考，2024年32考，2023年46考) 1.[2025扬州]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-2x+3的图 象（记为G)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+ bx+c的图象（记为G2)经过点A,C.直线x=t与两个图象G1,G,分别 交于点M,N,与x轴交于点P. (1)求b,c的值 (2)当点P在线段A0上时，求MN的最大值 (3)设点M,N到直线AC的距离分别为m,n.当m+n=4时，对应的t 值有 个；当m-n=3时，对应的t值有 个；当mn=2 时，对应的t值有 个；当=1时，对应的t值有 个 第1题图 备用图 22 类型2面积问题(2025年10烤，2024年27考，2023年35考) 2.[2025龙东地区]如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B,交y轴 于点C,且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3，-4) (1)求b与c的值 (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC 的面积相等.若存在，请直接写出点P的横坐标：若不存在，请说明 理由。 第2题图 真题分类分层练·数学 类型3角度问题(2025年12考，2024年16考，2023年21考) 3.[2025遂宁]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c(b、c为 常数)的图象与x轴交于A(-1,0)、B两点，交y轴于点C,对称轴为 直线x=1. (1)求二次函数关系式； (2)分类时论连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使∠CBP+ ∠AC0=45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q,作射线AQ,使∠BAQ= 2∠ACO,点M是线段AQ上的一动点，过点M作MW⊥x轴，垂足为 点N,连接BM,求BM+MW的最小值 第3题图 备用图 类型4特殊三角形问题(2025年烤，2024年7考，2023年18考) 4.[2025青海省卷]在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+bx-3(a≠0)与 x轴交于A,B两点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A坐标； ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围 (3)分类时论连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使 △ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符 合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由 第4题图 类型5特殊四边形问题(2025年5考，2024年10烤，2023年32考) 5.[2025天津]已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0). (1)当a=-1,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线 与y轴的交点 ①当a=-2时，若点D在抛物线上，∠CAD=90°，AC=AD,求点D的 坐标； ②若点B(m,0),∠CAB=2∠ABC,以AC为边的口ACEF的顶点F在 抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为2√6时，求顶点E的 坐标 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 类型6与圆有关的问题(2025年1考，2024年2考，2023年烤) 6.[2024四川宜宾]如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点 B,与y轴交于点C(0,-4),其顶点为D (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标： (2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小.若存在，求 出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点P(3,0)为圆心，1为半径的⊙P上，连接AE,以 AE为边在AE的下方作等边三角形AEF,连接BF.求BF的取值 范围。 C 第6题图 23命题点16二次函数与几何图形的结合 1解：(1)对于二次函数y=-x2-2x+3, 当y=0时，-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1, .A(-3.0),B(1,0) 当x=0时，y=3,C(0,3), 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A,C, 9-3bc=0解得e=3: .(b=4, 1c=3, (2)b=4,c=3, .二次函数y=x2+bx+c解析式为y=x2+4x+3, 直线x=1与x轴垂直， .M(t,-t-21+3),N(t,2+4+3), ∴.MN=ygyw=-2-21+3-(t2+41+3)=-22-6, 整理得N=-2子子， 9 -2<0当1=-3时，MN取得最大值为 2 3 (3)2,0,4,无数 》思路点拔 过点M作MT⊥AC于点T,过点N作NQ⊥AC于点Q,设直 线x=1与直线AC交于点E,可求直线AC表达式为y=x+3, 则E(t,+3),表示出ME=1-2-31,EN=1-2-31,可得 △ME7,△NE0均为等腰直角三角形，则m=51-F-31,n =三1--31，然后分别计算每一种情况即可。 2 【解法提示】如解图，过点M作MT1 AC于点T,过点N作NQ⊥AC于点 Q,设直线x=L与直线AC交于点E, A(-3,0),C(0,3),设直线AC表达 式为y=kx+d(k≠0)，代入点A(-3, 0),c(0,3),则{3站+1=0，解得 d=3, 第1题解图 化，直线AC表达式为三x+3心Eu,1+3),心M地 1y-ye=1-2-21+3-(+3)1=1-2-3l,EN=lye-yw1=1+ 3-(2+4+3)1=1-2-3l,A(-3,0),C(0,3),.0A=0C, 而∠A0C=90°，.△A0C为等腰直角三角形，.∠OAC= 45°，.·MN⊥x轴，.∠AEP=∠MET=45°，.MT⊥AC,NQ⊥ AC,.△MET,△NEQ均为等腰直角三角形，.ME= VT+E=2n,即m=MT=2MB=51--31,同理 2 2 可得n=N0=2NE=2 -2-3l,.m=n.当m+n=4时， --31+51--31=4,整理得21F+31=42r+ 2 2 321-4=0或22+321+4=0，对于22+32t-4=0,4= (32)2-4×2×(-4)=18+162>0,对于22+32+4=0， 4=(32)2-4×2×4=18-162<0,.对应的t值有2个；当 参考答案 m-=3时号1-3训号-f-31=3方程无解对应 的：值有0个：当an=2时空f-×号1-3训=2，整 理得12+312=4，.2+31-2=0或2+31+2=0，对于方程+ 31-2=0,4=32-4×1×(-2)=17>0,对于方程2+31+2=0， △=32-4x1x2=1>0,.对应的1值有4个：当=1时，m=n 恒成立，.对应的值有无数个. 2.解：(1)抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(3，-4)， .y=(x-3)2-4=x2-6x+5, ..b=-6,c=5: (2)存在点P的横鱼标为或【解法提示】 2 对于抛物线y=x2-6x+5,令y=0,则x2-6x+5=0,解得x1= 1,x2=5,令x=0,则y=5,.A(1,0),B(5,0),C(0,5),.0B =0C=5,AB=5-1=4,∠C0B=90°，∴∠0BC=∠0CB= 45°，如解图，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截 取BD=BA=4,连接AD与BC交于点E,则1y D(5,4),.∠DBC=90°-∠0BC=45°=pN ∠OBC,∴.BC⊥AD,ED=EA, 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点 1 1 P,:Sam=2BC·AE,Sae=2BC· DE,.S△A=S△cP,设直线BC:y=mx+n, 则5m+n=0:{1直线BCy=-x第2题解图 n=5,n=5, +5,BC∥PD,.设直线PD:y=-x+q,代入D(5,4)得-5+q =4,解得q=9,.直线PD:y=-x+9,与抛物线解析式联立得 +9,.整理得-5-4=0，解得=5+)④或 y=x2-6x+5, 2 -或x= 5④，点P的横坐标为5+④或5④ 2 2 2 3.解：(1)：对称轴为直线x=1,且二次函数y=x2+bx+c(b、c 为常数)的图象与x轴交于A(-1,0)、B两点， .B(3,0), .二次函数关系式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3; (2)存在.由y=x2-2x-3可知C(0,- 3), ∴.OB=OC=3,即∠OCB=∠OBC =45°. 当点P在BC上方时， 如解图①，记BP与y轴交于点K, 则∠OBP+∠CBP=∠OBC=45°， 第3题解图① 又.∠CBP+∠AC0=45°， ∴.∠OBP=∠AC0, ∴.tan∠OBP=tan∠ACO, 即K041 0B0C3, 0K=号08=1K0,-10, 数学 19 由B(3,0),K(0,-1)可得直线BP解析式为y=3-1, 1 31, 联立 解得=3（与点B重合）或 (Y=0 11 y=x2-2x-3 Y= 9 当，点P在BC下方时， 解法一：如解图②，作点A关于y轴对称点L,连接CL,则 AC0=∠LC0,L(1,0) :∠CBP+∠AC0=45°，∠LC0+ ∠BCL=45°， .∠CBP=∠BCL, .BP∥CL, 由C(0,-3),L(1,0),可得直线CL 的解析式为y=3x-3, .设直线BP:y=3x+n, 第3题解图② 将B(3,0)代入得n=-9 .直线BP:y=3x-9, 联立39：，解得=3（与点B重合)或=2， y=x2-2x-3, (y=0 (y=-3, .P(2,-3) 》一题多解 解法二：如解图③，作K(0,-1)关于 直线BC对称点G,连接KG交BC于 0 点H,连接BG交抛物线于点P, A\K 此时KG⊥BC,∠CBK=∠CBP,满足 ∠CBP+∠AC0=45° P(G K(0,-1),C(0,-3),CK=2, .∠BC0=45° 第3题解图③ .△CHK为等腰直角三角形， .H(1,-2),.G(2,-3), 点G(2,-3)也在抛物线上， ∴点P与点G重合，即P(2,-3); (备注：此时如果没有发现点P和点G重合，也可以求出 BG解析式，联立二次函数求交点P坐标) 综上.点P的坐标为-号-号)或2,3： (3)如解图④，在OC上取点D,连接AD, 使AD=CD,则∠ADO=2∠AC0 ∠BAQ=2∠AC0, .∠BAO=∠ADO. 设OD=m,则CD=AD=3-m, 在Rt△A0D中，OA2+OD=AD2」 .1+m2=(3-m)2, 解得m÷4 3 第3题解图④ 作点B关于直线AQ对称点E,连接BE交AQ于点F,连接 EM,过点E作EG⊥x轴于点G,则BM=EM,BF=EF,BE 20 参考答 ⊥AQ, .∴.BM+MN=EM+MN≥EG. 当且仅当E、M、N三点共线时，BM+MN有最小值，最小值 为EG, .∠BAQ=∠ADO,.sin∠BAQ=sin∠AD0, 即BE0A3 AB AD 5' 3 12 BF=亏AB= 5 :BE=2BF= 24 .·∠AGE=∠AFE=90°， .∴.∠BEG=∠BAF=∠ADO」 .∴.cos∠BEG=cos∠ADO, 即5C0D4 即BEAD5 EC=5 BE=25 4 96 5 BM+MN的最小值为25 .96 4.解：(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=ax2+bx-3(a≠0)， 得红t63=0,.解得a 4a+2b-3=5, b=2, .抛物线的解析式为y=x2+2x-3; (2)①令y=0,则x2+2x-3=0, 解得x=-3或x=1, .点A的坐标为(-3,0)； ②-3<x<1: (3)存在，符合条件的点P的坐标为(0,7)或(0，-3) 》思路点拨 设点P的坐标为(0，m),先由两点间的距离公式得AC2= 50,AP2=9+m2,Cp2=m2-10m+29,再分两种情况讨论：当 AP为斜边时，则AP2=AC2+CP2;当CP为斜边时，则CP2= AC2+AP2 【解法提示】设点P的坐标为(0，m),:A(-3,0),C(2,5), .AC2=(2+3)2+(5-0)2=50,Ap2=(0+3)2+(m-0)2=9+ m2,CP2=(0-2)2+(m-5)2=m2-10m+29,.·△ACP是以AC 为直角边的直角三角形，.分以下两种情况讨论：当AP为 斜边时，则AP2=AC2+CP2,.9+m2=50+m2-10m+29,解得m =7,P1(0,7);当CP为斜边时，则CP=AC2+AP2,.m2 10m+29=50+9+m2,解得m=-3,.P2(0,-3).综上所述，存 在符合条件的点P的坐标为(0,7)或(0，-3) 5.解：(1)a=-1,b=2,c=3 ∴.该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .该抛物线顶点P的坐标为(1,4)； (2)①.·点A(-1,0)在抛物线y=ax2+bx+c上， .∴.A0=1,0=a-b+c,即c=b-a, 又.·a=-2,点C(0,c),易得c>0, .OC=c=b+2, .抛物线解析式为y=-2x2+bx+b+2, 根据题意，点D在第四象限，如解图①，过点D作DH⊥x轴 案·数学 于点H, .∴.∠AHD=90° .∠HAD+∠ADH=90°， .·∠CAD=90°， 0 .∠CAO+∠HAD=90°， .∠ADH=∠CAO, 又.·AD=AC,∠AHD=∠AOC=90°， 第5题解图① .△ADH≌△CAO(AAS), .DH=A0=1,AH=0C=b+2. .OH=AH-AO. .∴0H=b+2-1=b+1, 点D的坐标为(b+1,-1), :点D在抛物线y=ax2+br+c上， .-1=-2(b+1)2+b(b+1)+b+2, 整理得2+2b-1=0, 解得b1=-1+2,b2=-1-√2（舍去）， 点D的坐标为(2，-1)： ②.c=b-a,a<0,b>0, .c>0,易得m>1, 如解图②，在x轴上点A的左侧取，点G,使GA=AC,连接GC. .∠ACG=∠CGA,得∠CAB=2∠CGA. ·∠CAB=2∠ABC,∴.∠ABC=∠CGA. .CG=CB...GO=0B. 在Rt△A0C中，根据勾股定理得，AC2=A0+0C2, .AC=√1+c2, GA=√I+c, ∴.G0=GA+A0=√J1+c2+1. 又点B(m,0),.OB=m. .√1+e+1=m,即c2=m2-2m 根据题意，点A和点B关于直线1对称，点F在直线1上，得 AF=BF. 又口ACEF中，AF=CE, .CE=BF. .CE+CF=BF+CF≥BC, .当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值26，即BC=26. 在Rt△OBC中，OB+OC2=BC2, .m2+c2=24 将c2=m2-2m代入，得m2+(m2-2m)=24. 解得m1=4,m2=-3(舍去). .c=22(负值已舍去)， 点B(4,0),C(0,22). 易得直线BC的解析式为y= 2+22 设点F的横坐标为，则4-，=，-(-1)，得。= 2 “点F的坐标为月气号 线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， 点E可以看作是点F向右平移1个单位，再向上平移22 个单位得到的， 参考答案 点E的坐标为( 5132 2,4 G 第5题解图② 6.解：(1)把A(-1,0),C(0,-4)代入y=x2+bx+c, 得1-b+0=0解得=-3， (c=-4, (c=-4, ∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4; y-4-2 顶点D的坐标为（号，草： (2)在y轴上存在一点M,使得△BDM的周长最小. 如解图①，作D(3.-25 3 2’4 关于y轴的对称点D'(- 2 2 4 ),连接BD'交y轴于M, 在23x4中，令)0得0=2-3x-4, 解得x=4或x=-1, .B(4,0), 3 2552四 BD=24)+(-) 4 ..要使△BDM的周长最小，只需DM+BM最小， DM=D'M, ∴.DM+BM=D'M+BM ∴B,M,D'三点共线时DM+BM最小，最小值为BD'的长此 时△BDM的周长也最小，（将军饮马模型） 由似4,0).0（草得直线0解新式为）一莞日 令x=0得y=50 111 ÷M的坐标为(0，： 50 D'∠ 第6题解图① 第6题解图② (3)如解图②，以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ,连 接PE,QF,BQ, 由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等边三角形，可得Q的坐标 为(1，-23)， △AEF,△APQ是等边三角形 .AE=AF,AP=AQ,∠EAF=∠PAQ=60°， 数学 21 .∴.∠EAP=∠FAQ, .△EAP≌△FAQ(SAS) .PE=OF=1. .F的轨迹是以Q(1,-25)为圆心，1为半径的圆， .B(4,0),.BQ=21 当F在线段QB上时，BF最小，此时BF=BQ-QF=√2I-1, 当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF=BQ+QF=√2I+1, .BF的取值范围是√21-1≤BF≤√21+1. 命题点17二次函数的实际应用 1.B2.8 3.解：(1)B0=4m, .抛物线L,的顶点B坐标为(0,4)， 设抛物线L,的函数表达式为y=ax2+4, .:AC=16m, .结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代入y=a2+4, 1 得0=64a+4,∴.a= 16 6+4, ·抛物线L,的函数表达式为y=- (2)由（1)得抛物线L的函数表达式y=16+4, M/AC,MPLAC,.0LAC0=m,且抛物线L,的函 3 数表达式为y=6(x-4), 0w64[x4门2 1 整理得x2-3(x-4)2=24, .x2-3x2+24x-48=24, .x2-12x+36=(x-6)2=0 解得x1=x2=6, .∴.MWN=2×6=12(m). 4.解：(1)顶点N的坐标为(80,60)； 设该抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60, 图象过原点， 六a(0-80)2+60=0,解得a=320 3 320x-80)2+60: y= (2):抛物线的形状不变，点P的坐标为(0,75)， .第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75 个单位长度得到的， 3 3 新的抛物线的表达式为)=320x-80)+60+75=320(x -80)2+135, 3（x-80)2+135=0, 当y=0时，3 解得x1=200,x2=-40(舍去)， 故起跳点P与落地点Q的水平距离0Q的长为200cm; (3)该平台的高度为6cm. 22 参考答 5.解：(1)B(8,0),C(8,6),D(0,6): (2)抛物线L1和L2的顶点坐标分别 为(4,14)(4，-4)；【解法提示】如解 图，作出对称轴，分别交抛物线L,于 点M,交抛物线L2于点Q,交矩形 ABCD于点N,P,则AP=BP=2AB= 4cm,∠DNP=∠APW=90°，.四边形(O)AN DAPV是矩形.NP=AD=6cm,抛 物线L,的高度为8cm,抛物线L,的 Q 高度为4cm,直线MQ是抛物线L,和 第5题解图 L,的对称轴，..MP=MN+NP=8+6=14(cm),QP=4cm,∴. 抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M(4,14),Q(4,-4). 分别设抛物线L1和L2的表达式为y=a1(x-4)2+14,y=a2(x -4)2-4. 将D(0,6)代入y=a,(x-4)2+14,解得a=2 1 范物线L,的表达式为y=子-42414：之+46： 1 将4(0,0)代入y=a(x-4)2-4,解得a=4 抛物线L的表达式为y红-4小-4=子-2江 (3)·装置整体图案为轴对称图形」 .∴.EF⊥MQ,HG⊥MQ, ·MQ⊥x轴，.EF∥HG∥x轴 :四边形EFGH是矩形， HE⊥EF,.HE⊥x轴，xE=xH, 设xg=xH=几 1 yh=2n2+4n+6,e=4-2n, 3 BH=y4e=-4n+6+6=15, 解得n=2或n=6(在对称轴右侧，舍去)， ∴.xE=2, 由抛物线对称性可得EF=2×(4-2)=4. 6.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价x元，B款“哪吒”纪 念品每个进价为y元， 200x+300y=14000, 由题意得 100x+200y=8000, 解得/40， (y=20, 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念 品每个进价为20元； (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 (400-m)个， 由题意得40(400-m)+20m≤12000， 解得m≥200， .∴.m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； (3)由题意得W=(a-40)[200-5(a-60)]=500a-20000- 案·数学