第3章 命题点14 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

命题点14二次函数的图象与性质 A基础分点练 考向1 二次函数图象的基本性质(2025年14烤，2024年Ⅱ考，2023年29 1.[2024陕西]已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的 几组对应值如下表： -4 -2 0 3 5 y -24 -8 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 2.[2024哈尔滨]二次函数y=2(x+1)2+3的最小值是 A.-1 B.1 C.2 D.3 3.学科融合[2025山东省卷]在水分、养料等条件一定的情况下，某植 物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关 系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关 系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关 系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是( 0.6 0.3 020010003000 第3题图 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 4.新定义[2024上海]对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)中存 在一点P(x',y),使得x'-m=y'-k≠0，则称21x'-m|为该抛物线的 “开口大小”，那么抛物线y=子+了+3”开日大小~为 5.一题多解[2025威海]已知点(-2，y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函 数y=-(x-2)2+c的图象上，则y1,2,y的大小关系是 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 6.[2025福建]已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上，若 3<b<4,则下列判断正确的是 ( A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 7.[2024乐山]已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时，函数 取得最大值：当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是( A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 考向2二次函数图象与a,b,c的关系(2025年15考，2024年17考 2023年41考) 8.[2024呼和浩特]在同一平面直角坐标系中，函数y=ax-b(a≠0)和 y=C(c≠0)的图象大致如图所示，则函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图 象大致为 第8题图 9.[2025安徽]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 y O1 3 第9题图 第9题变式题图 变式[2025达州]如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点 A(1,0),点B(3,0),下列结论：①abc<0:②4a+b=0:③b2-4ac>0: ④a-b+c>0.正确的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 真题分类分层练·数学 10.[2025凉山州]二次函数y=ax2+bx+c部分图象如图所示，其对称轴 为x=2,且图象经过点(6,0)，则下列结论错误的是 () 02 6元 第10题图 A.bc>0 B.4a+b=0 C.若ax+bx1=ax2+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4 D.若(-1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c上，则y2<y1 考向3二次函数与一元二次方程、不等式的关系(2025年2， 2024年13考，2023年19考) 11.[2024长春]若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点，则c的 取值范围是 12.[2025广安]如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图 象交x轴于A,B两点，点A的坐标是(-1,0)，点B的坐标是(n, 0),有下列结论：①abc<0:②4a+c>2b:③关于x的方程ax2+bx+c=0 的年是么=1无=，0名”号究中正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第12题图 第13题图 13.[2025齐齐哈尔]如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交 于两点(-1,0)，(x1,0),且2<x1<3.下列结论：①abc>0:②2a+c<0: ③4a-b+2c<0:④若m和n是关于x的一元二次方程a(x+1)(x x1)+c=0的两根，且m<n,则m<-1,n>2:⑤关于x的不等式ax2+ br+c>-Cxtc的解集为0<x<,.其中正确结论的个数是 () A.2 B.3 C.4 D.5 考向4二次函数表达式的确定(2025年满，2024年81考，2023年02烤) 14.开放性试题[2025广东省卷]已知二次函数y=-x2+bx+c的图象 经过点(c,0),但不经过原点，则该二次函数的表达式可以 是 .(写出一个即可) 15.真实情境[2025广东省卷]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 1.7km,主塔高0.27km,主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785 km,主缆最低处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km. 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表 达式。 1.7km 主塔 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km -0.0015km 0.09 海平面 第15题图 考向5二次函数图象的变换(2025年8考，2024年24考，2023年26烤) 16.[2025上海]将函数y=3x2的图象向下平移2个单位后，得到的新函 数的解析式为 17.[2024南通]将抛物线y=x2+2x-1向右平移3个单位后得到新抛物 线的顶点坐标为 A.(-4,-1) B.(-4,2) C.(2,1) D.(2,-2) 18.[2024内江]已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得 到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上，则y1 y2(填 “>”或“<”) 19.[2025青岛]将二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对 新函数的描述正确的是 A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3) B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 第19题图 20.[2025河南]在二次函数y=ax2+bx-2中，x与y的几组对应值如下 表所示 -2 0 2 -2 -2 (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画 出二次函数的图象； (3)分类论将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当 0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写 出n的值， 43+2+101 第20题图 B能力提升练 21.[2025广州]在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物 线y=ax2-2ax(a>0)上，则下列结论中正确的是 ( A.当x1<0且y1·y2<0时，则0<x2<2 B.当x1<0且y1·y2>0时，则0<x2<2 C.当x1<x2<1时，则y1<y2 D.当x1>x2>1时，则y1<y2 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 22.[2025烟台]如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个 交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点P的坐标为(1，n).下列结 论：①abc<0:②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0；③3b<2c; ④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边 角形，则二其中所有正确结论的序号 x=1 第22题图 A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 28.[2024上海在平面直角坐标系s0中，抛物线y了平移后的图 象经过点A(0,了)和B(5,0). (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q. ①当PQ<3时，求m的取值范围； ②分类时论记点P在原抛物线上的对应点为P',如果四边形 P'BPQ有一组对边平行，求点P的坐标. 第23题图 19.·.∠ODA+∠DOA=90° .∴.∠EDB=∠DOA, ∴.△DBE≌△OAD(AAS) 同①得点D,E,F分别为AB,BC,OB的中外比点； ③当△ODE是以∠EOD为顶角的等腰直角三角形时，点 E,D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种 情况不存在 综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别 为AB,BC,OB的中外比点. 命题点14二次函数的图象与性质 1.D2.D3.B4.4 5.C 》一题多解利用对称轴比较函数值大小 解法一：异侧转同侧结合增减性比较.需求出点关于对称轴 对称的点的横坐标，然后利用同侧的增减性比较 :二次函数的解析式为y=-(x-2)2+c,函数图象开口向 下，对称轴为直线x=2,“.在对称轴右边，函数值y随x的 增大而诚小，画出该函数的大致图象如解图（利用图象可 快速得到答案)，则只有(-2，y1)在对称轴左侧，关于对称 轴对称的点的坐标为(6，y),:3<6<7,.y2>y1>y (3,y2) 02 (-2,y) (6,y) (7,y) 第5题解图 解法二：距离法.先定开口方向，再算“距离”，开口向上，距 离对称轴越远的值越大，开口向下，距离对称轴越远的值 越小 :二次函数的解析式为y=-(x-2)2+c,.函数图象开口向 下，对称轴为直线x=2,.离对称轴越远，函数值越小，点 （-2,y)到对称轴的距离为1-2-21=4，点(3，y2)到对称轴 的距离为13-21=1，点(7，y3)到对称轴的距离为17-21=5， .1<4<5.y2>y1>y3 6.A【解析】小：y=3x2+bx+1,.当x=0时，y=1,.抛物线y= 3x2+bx+1过点(0,1)，抛物线y=3x2+bx+1的开口向上， 、对称鈾为直线三6、=-6，·抛物线上的点窝称轴越」 远，函数值越大，3<6<4,2<-b<-1…2+1.1 3<-6<-2,·2 2 >名20-1名点4(2)到对轴的E离大于 点(0,1)到对称轴的距离，小于点B(1,y2)到对称轴的距 离，.1<y1<y2 7.C【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,∴.抛物线的对称轴为直 线x=1,且顶点坐标为(1，-1).1-(-1)=3-1，x=-1和 x=3时的函数值相等.：-1≤x≤1-1，当x=-1时，函数取 14 参考答 得最大值，t-1≤3，又当x=1时，函数取得最小值，.- 1≥1，.1≤1-1≤3，解得2≤1≤4. 8.D【解析】函数y=a-b的图象经过第一、二、四象限， <0,<0名0.国数y=三e≠0)的图象分别位于第 二、四象限，∴c>0,.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口 向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在正半轴上，只有选项 D符合 9.C【解析】由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x= 2a>0,抛物线与y轴交点在负半轴上，a>0,6<0,c<0 abc>0,故A选项错误：由图象知对称轴直线x<1,即-<山， a>0,∴.-b<2a,∴.2a+b>0,故B选项错误；由图象知对称 b-1+21 轴直线=2222-6>aa+<0,当x=2时，y 4a+2b+c=0,.4a+4b=2b-c,∴.2b-c=4(a+b)<0,故C选项 正确；当x=-1时，y=a-b+c>0,故D选项错误， 变式D【解析】小：抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴ a>0,c>0,抛物线与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),当x= -1时y>0,.抛物线的对称轴是直线x=2,b2-4ac>0,a-b+c b >0,故结论③④正确；2a2,即6=-4a<0,6+4a=0,故结 论②正确；∴abc<0,故结论①正确.综上，说法正确的有 4个. 10.D【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正 半轴，“a<0,c>0,”对称轴为直线x=-二三2，∴6=4拉 0,.bc>0,4a+b=0,故选项A,B正确，不符合题意；ax+ bx1=ax+bx2且x1≠x2,∴.ax+bx1+c=ax+bx2+c,∴.（x1,ar +bx,+c)和(x2,a22+bx2+c)关于对称轴直线x=2对称， x+x2=4,故选项C正确，不符合题意；抛物线的开口向 下.抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，(-1， y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c上，1-1-21>13- 21,y1<y2,故选项D错误，符合题意. 》解题技巧二次函数y=ar2+bxtc(a≠0)与a、b、c的特殊关系 1.利用对称轴公式 看到2a+6,比较品和1的大小： 看到2a-6,比较2和-1的大小： 2.赋值法 ①看到a+b+c,令x=1看y的值； 看到a-b+c,令x=-1看y的值； ②看到4a+2b+c,令x=2看y的值； 看到4a-2b+c,令x=-2看y的值； 温馨提示：如出现其他形式，可结合对称轴公式和赋值法进 行推导 1 11.74 12.C【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，交y轴于正半 案·数学 轴∴.a<0,c>0,又抛物线的对称轴在y轴右侧，.x= 2a>0,b>0abc<0,故结论①正确：当x=-2时，<0， 即4a-2b+c<0,即4a+c<2b,故结论②错误：：二次函数y= a2+bx+c的图象交x轴于A,B两点，A(-1,0),B(n,0), 关于x的方程ar2+bx+c=0的解是x=-1,x,=n,2 “,故结论3④正确缘上，结论正确的有3个 13.B【解析】.抛物线开口向上，∴.a>0,.:对称轴在y轴的 右侧=名06<0，：抛物线与y轴交于负半销 c<0,.abc>0,故①正确；.二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的 图象过(-1,0)，.a-b+c=0,二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象与x轴交于两点(-1,0)，(x1,0),且2<x1<3, -1+2b-1+3 21 ax-b<2a."a-btezatate=2ate.28 +b>0,.2a+c<0,故②正确；a-b+c=0,∴.c=b-a,∴.4a-b +2c=4a-b+2(b-a)=2a+b>0,故③ 错误：如解图，关于x的一元二次方 程a(x+1)(x-x)+c=0(a≠0)的两 个根，即抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) m 与直线y=-℃的交点的横坐标，由图 象得m<-1<2<n,.若m和n是关于 x的一元二次方程a(x+1)(x-x,)+c第13题解图 =0的两根，且m<n,则m<-1,n>2,故④正确；过(x,,0)和 (0,c)作直线y=-Cx+c,则观察图象得，关于x的不等式 x. ar2+bx+c>-二tc(a≠0)的解集为x<0或x>x,故⑤错误。 故正确的有①②④，共3个 14.y=-x2+x+2(答案不唯一) 15.解：以桥面所在直线为x轴，过主缆最低处且垂直于桥面的 直线为y轴，建立平面直角坐标系，如解图所示（建系不唯 一)， 1.7km 主塔 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km -0.0015km 0.09型 海平面 0 第15题解图 则该抛物线的顶点坐标为(0,0.0015)，点A的坐标为 (号7.027-a09).即a85,018. 设该抛物线的表达式为y=ax2+0.0015, 将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.0015, 得0.18=0852a+0.0015,解得a=21 85 二该抛物线的表达式为y=5+0.015. 参考答案 16.y=3x2-217.D18.< 19.C【解析】二次函数的解析式为y=x2-2x-3,.当x=0 时，y=-3,.其图象与y轴交于(0，-3).又将图象在x 轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方得到新函数 图象，新函数图象与y轴的交点为(0,3)，故A错误，不 符合题意；结合函数图象可以发现，函数没有最大值，故B 错误，不符合题意；令y=x2-2x-3=0,解得x1=3,:2=-1, 函数图象与x轴交点为(-1,0)，(3,0)，.新函数图象与 x轴两个交点之间的距离为3-(-1)=4，故C正确，符合题 意：原函数为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,.新函数为y=- (x-1)2+4(-1≤x≤3)，.新函数图象的对称轴是直线x= 1,结合函数图象可得，当1<x<3时，y随x的增大而减小： 当x>3时，y随x的增大而增大，故D错误，不符合题意. 20.解：(1)把点(-2，-2)，(1,1)代入y=a2+bx-2中， 得红6-2=1， 解得/01， (4a-2b-2=-2,(b=2 .二次函数的表达式为y=x2+2x-2: （2)y=x2+2x-2=(x+1)2-3, .二次函数图象的顶点坐标为(-1，-3)； 画出函数图象，如解图； 厚234 第20题解图 (3)n的值为1+√5或4-√5.【解法提示】由题意，：二次函 数的图象向右平移n个单位长度后，.新函数为y=(x+1- n)2-3..此时对称轴是直线x=n-1,函数图象开口向上， (关键点：根据平移后的对称轴位置分类讨论在何处取得 最大值、最小值)①当n-1≤0时，即n≤1，.当x=0时，y 取最小值为(1-n)2-3;当x=3时，y取最大值为(4-n)2- 3.又：最大值与最小值的差为5，.(4-n)2-3-(1-n)2+3 =5,解得a=了1（舍去）：②当0ka-1<时，即1kn< .当x=3时，y取最大值为(4-n)2-3;当x=n-1时，y取最 小值为-3.又：最大值与最小值的差为5，.(4-n)2-3+3 =5,解得m=4+5(舍去)或n=4-5:8当)≤n-1<3时. 即≤n<4当=0时，y取最大值为(1-m)-3:当=n -1时，y取最小值为-3.又：最大值与最小值的差为5， (1-n)2-3+3=5,解得n=1+5或n=1-√5（舍去）；④当3 ≤n-1时，即n≥4，…当x=0时，y取最大值为(1-n)2-3; 当x=3时，y取最小值为(4-n)2-3.又最大值与最小值 的差为5心1-m)-3=(4-m+3=5.解得n=3<4(舍 去).综上，n=1+√5或n=4-√5. 21.A【解析】：y=ax2-2ax(a>0),.抛物线的开口向上，则 数学 15 对称轴为直线=21，把x=1代人)=ar-2:得0 -2a=-a,顶点为(1，-a),两点A(x1,y1),B(2,y2)在 抛物线y=ax2-2ax(a>0)上，∴.当x,<0且y1·y2<0时，y1> 0(因x<0时抛物线在x轴上方)，故y,<0,此时0<x2<2,故 A选项的结论正确；当x1<0且y1·y2>0时，y2>0,此时： 应满足，<0或x2>2,故B选项的结论错误；当x1<x2<1 时，抛物线在x<1时递减，故3越大，2越小，即y>y2,故 C选项的结论错误；当x1>x2>1时，抛物线在x>1时递增 故x,越大，y1越大，即y>y2,故D选项的结论错误 22.D【解析】二次函数y=ax2+bx+c y 的图象开口向下，与y轴交于正半 轴，对称轴在y轴的右侧，a<0,b> 0,c>0,∴.abc<0,故①正确；顶点P 的坐标为(1，n),.当x=1时，y取-2F1O证，B龙 x=1 得最大值n=a+b+c,当x=m时，y= 第22题解图 am2+bm+c,..a+b+czam2+bm+c,. am2+bm-a-b≤0，故②错误；：二次函数y=axr2+bx+c的部 分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间， 对将精为宜线=1品 =1,当x=-1时，y=a-b+c>0, s、1 宁-6+e>0.动<2，放③正确：如解图， △PAB为等边三角形，设直线x=1与x轴交于点H,则PA =AB=PB,PH⊥AB,HA=HB,∠PAB=60°，.PH=tan60°· AH,记点A,B的横坐标分别为x1,x2,∴.n=3(x2-1)= 月(1-)2n=5(）,即n= 2(x-),当y=x2+ 6+6=0时，离+名=台=2,5，-二 a √(x+)-4西=√4- ，4a-4e=5× 2x√a a-e=B3a-3e V3a'-3ac aa .:n=a+b+c=a-2a+c=c- √3a2-3ac a,∴.c-a= .a(c-a)=-3,n=c-a=-3 ,故④ 正确，综上，①③④正确，故选D. 2丛解：（山设抛物线）了平移后新弛物线的表达式为y 把40，和R(50代人， 5 4 c=- 3 b= 3 得 解得 25 5 3 +5b+c=0, C= 3 一平移后新抛物线的表达式为y=↓_4x-5 33x-3 1 1245 (2)①由题意得Q(m,3m),P(m,3m-3m-3 16 参考答 1 5 .∴.PQ= 45 P0<33m+3<3m<l, 又：m>0,.m的取值范围是0<m<1; 2y时号音-2-3 .平移方式为向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得点P在点B的右边， 如解图①，当BP'PQ时， BP'⊥x轴， .xp,=xg=5, 25 p(5,3) 由平移的性质可得P(5+2, 2 33), 16、 即P(7,3 第23题解图① 如解图②，当P'Q∥BP时，设直线x=m与x轴交于点T,过 点P'作P'S⊥QP于点S, 则∠P'QT=∠BPT,∠P'SQ=∠BTP =90°， aAm祭 设P(a,写).则P(a+2. D jo-3).8(at2.3i).Q(a2 1 1 3(a+2)2), 第23题解图② a23- 1 a+2-51 解得a=1或a=3(不符合题意舍去). 综上，点P的坐标为(7,3， 16、 命题点15二次函数图象与性质的应用 1.D【解析】由题意可得方程ax2-2ax+a-3=0的两根异号， ,=43<0,解得0<a<3二次项系数0>0.函数图 a 象开口向上，故A不符合题意；y=a2-2ax+a-3(a≠0)的 对称轴为直线x1,>0,心当x<1时，y随x的增大 而诚小，当x>1时，y随x的增大而增大，故B不符合题意； 当x=1时，y=-3,最小值为-3，故C不符合题意；当x=2 时，y=4a-4ata-3=a-3,0<a<3,.此时y<0,故D符合题意 2.A【解析】函数图象关于y轴对 称，当0≤x≤2时，y=x2-2x,当x>2 3 时，y=2x-4,.当-2≤x<0时，y=x2 2 +2,当<-2时，y=-2x-4画出函43234 数图象如解图，当0≤x≤2时，y=x2 -2x=(x-1)2-1,这是一个开口向 第2题解图 案·数学