第2章 命题点5 一次方程(组)及其应用&命题点6 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

.a≠0,1,2，∴.a=-2 当=-2时原式器号 17.解：原式=-3 a+31 。是使不等式分<1成立的正整数。 a≤3且a为正整数，.a=1,2,3, 分式要有意义，.a-2≠0，(a+3)(a-3)≠0， .a≠2,3，-3，.a=1, 当a=1时，原式=1-3-1 1+32 18解：原式=4 a+b .a+b-3=0,.a+b=3, 原式=了 4 19.m≥1【解析】式子在实数范围内有意义， m+2 (m-1≥0，解得m≥1，“m的取值范围是m≥1 (m+2≠0， 20.D【解析】===2,0=0=C= -=2, abeabe abe .a2+b2+c2a2.b2c2 =6. abe abe abe abc 第二章方程（组）与不等式（组） 命题点5一次方程（组）及其应用 1.C2.C3.3 4.解：x=4 5解：原方程组的解是， 6.D7.3(x-2)=2x+98.A 9.解：设游客购买甲种商品x盒，乙种商品y盒， 由题意得+y=10, 25x+20y=230, 答：游客购买甲种商品6盒，乙种商品4盒 10.解：(1)实付高速费：0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元， 比原价优惠：a+b+c-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元： (2)设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是x元 和y元 由驱雀行公055 解得r=45.9, (y=55.1. 答：此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段 的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元. 11.1.212.A13.C14.0.5 1 2 5, 15.99【解析】根据题意得 解得54 3)a+b=81 (b=45 (1- 2 参考名 .∴.a+b=99 命题点6分式方程及其应用 1A2.-13.x=4 5 4.》答题规范 解：方程两边同时乘(x-1)(x+1),得3(x-1)-(x+1)=0, 去括号，得3x-3-x-1=0, 移项、合并同类项，得2x=4, 系数化为1，得x=2, 检验：当x=2时，(x-1)(x+1)≠0， “x=2是原分式方程的解。 5.解：x=0是原分式方程的解 6.解：第一步是去分母；去分母的依据是：等式两边同时乘一 个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确的解答过程如下： 2 1-x=-1-2(x-2), 1-x=-1-2x+4, -x+2x=-1+4-1, 解得x=2, 检验：当x=2时，x-2=0, .x=2是原分式方程的增根， ·.原分式方程无解 2.6000-1000 x+50x 解：设乙款书签的单价为￥元，则甲款书签的单价为元 由题意得100-128-3， 5 4 解得x=16, 经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题意， 甲款书签的单价为×16=20（元）。 答：甲款书签的单价为20元，乙款书签的单价为16元. 9.A 10.解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B 每小时搬运(x+20)千克化工原料， 由题意得800-1000 xx+20 解得x=80, 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意， .x+20=100. 答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小 时搬运100千克化工原料. 11.解：(1)设该厂每天生产的乙种文创产品的数量是x个，则 每天生产的甲种文创产品的数量是(x+50)个， 根据题意得3(x+50)=4x+100. 案·数学 解得x=50. .∴.x+50=100 答：该厂每天生产的甲种文创产品的数量是100个，乙种文 创产品的数量是50个； (2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每 天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个， 根据题意得401400-10， 50+y100+2y 解得y=20, 经检验，y=20是原分式方程的解，且符合题意， 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个. 12.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉跑步的平均 速度为1.25x米/秒 125x*4080 由题意得800 解得x=4, 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意， 答：小林跑步的平均速度为4米/秒. 13.D【解析】原方程两边同乘(x-2),得-(3-ax)=a-(x- 2),去括号，得x-3=a-x+2,移项、合并同类项得(a+1)x =a+5.当整式方程无解，即当a+1=0且a+5≠0时，即a= -1.此时方程无解：当解为增银，即：2时解得a=3,此 时x=2使原方程分母为零，无意义.综上，a的值为-1或3. 4A【解析)4头3，整理将产，去分号，得+3 、3x-12,解得x三，2根据题意得x-3,20,即36+12< 2 0,解得k-4:x-4≠0，即x≠4，.3+12≠4，解得k≠ 2 号综上4 命题点7一元二次方程及其应用 1x1=1,2=-12.33.D 4.解：解法一：x2-7x+12=0, (x-4)(x-3)=0, x-4=0或x-3=0, .x1=4,x2=3. 》一题多解 解法二（公式法)：x2-7x+12=0, .4=(-7)2-4×1×12=1>0, t生价 2 .x1=4,x2=3 5.A6C7.B8.m<8 9.D 10.-311.202712.A13.C14.B15.A 16.解：设小路的宽度为xm, 由题意得(20-4x)(14-4x)=24×9 参考答案 整理得2x2-17x+8=0, 解得x=)或x=8(不符合题意，舍去】 答：小路的宽度为行m 17.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x+2= (72-2x）m. 根据题意得x(72-2x)=640. 整理得x2-36x+320=0 解得x1=16,x2=20, 当x=16时，72-2x=72-32=40, 当x=20时，72-2x=72-40=32. 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m的羊圈； (2)不能 理由：由题意得x(72-2x)=650, 整理得x2-36x+325=0. 4=(-36)2-4×325=-4<0, ·.一元二次方程没有实数根， .羊圈的面积不能达到650m2. 18.10【解析】将x=a代入原方程得2a2-6a-1=0,.2a2-6a =1,一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为a,B,.a+B= 3,.2a2-3a+3B=(2a2-6a)+3(x+B)=1+3×3=10. 19.k≤-1【解析】当k2-1=0且k+1≠0，即k=1时，原方程 化为2+-0，这是一元一次方程，有实数根，不符合题 意：当-1=0且k+1=0,即=-1时，原方程化为子=0， 此等式不成立，方程无解，符合题意：当k2-1≠0，即k≠±1 时，原方程公-1(+1)+子=0是一元二次方程. 方程无实根4=(+1)2-4x(-1)×-2+2<0,解得 k<-1.综上，k的取值范围是k≤-1. 20.(1)解：把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6, .m=±6， .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 解得x1=-1,x2=4, .x2=4,m=±√6： (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0, .4=4m2+1>0. 原方程有两个不相等的实数根 由根与系数的关系得x1+x2=3,xx2=2-m2, .(x1-1)(2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2, .-m2≤0， .(x1-1)(2-1)≤0. 命题点8一元一次不等式（组）及其应用 1.A2.A3.C ，数学 3第二章方程（组）与不等式（组） 命题点5一次方程（组）及其应用 A基础分点练 考向)等式的基本性质 1.[2024贵州]小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边 分别放入“口”“O”“△”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设 “口”与“O”的质量分别为x,y,则下列关系式正确的是() ☐Q/Q4△V A pO 甲 乙 第1题图 A.x=y B.x=2y C.x=4y D.x=5y 考向2一次方程（组）的解法及解的应用(2025年1B考，2024年5考 2023年1B考) 2.[2025贵州们已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 3.[2025成都]任意给一个数x,按下列程序进行计算.若输出的结果是 15,则x的值为 输入 乘以6 减去3 输出 第3题图 4.[2025眉山]解方程：2(x-1)=2+x. 3x-2y=11,① 5.[2025山西]解方程组： (x+2y=1.② 考向3一次方程（组）的实际应用 类型1分配问题(2025年5考，2024年6烤，2023年考) 6.数学文化[2025青海省卷]我国明代数学著作《算法统宗》中有这样 一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九 两分之少半斤.试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙 壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两.若每人分7两，则 还多4两；若每人分9两，则还差8两.请问：有多少客人？分多少银 两？”设客人为x人，银两为y两.根据题意可列方程组为() 4 B.7-4, C.=7+4. y=7x+4, y=9x-8 “y=9x+8 D. y=9x-8 7.数学文化[2025吉林省卷]《孙子算经》中记载了这样一道题：今有 三人共车，二车空；二人共车，九人步.问车几何？其译文为：有若干 人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车， 最终剩下9人因无车可乘而步行.问有多少辆车？为解决此问题，设 共有x辆车，可列方程为 类型2购买、销售问题(2025年8考，2024年32考，2023年30烤)》 8.[2025烟台]某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台 风扇亏损10元：若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款 风扇每台的标价为 A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 9.[2025吉林省卷]吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发 展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种 商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品 共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 类型3分段收费问题 10.[2025广西]自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾 游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高 速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次 全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广 西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c 元.求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代 数式表示) (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55 元：周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元.求此行程 中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价 分别是多少元 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 类型4工程问题(2025年4烤，2024年10考，2023年1考) 11.[2025陕西]草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采 摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草 莓比小悦多2.4kg已知小康平均每小时采摘6kg,小悦平均每小 时采摘4kg,小康采摘的时长是 小时. 类型5行程问题(2025年3考，2024年5考，2023年3考) 12.数学文化[2025连云港]《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海， 七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野 鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够 相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得 () 11 A.79*=1 1.1 7x9x=1 B C.7x+9x=1 D.9x-7x=1 类型6配套问题(2025年3考，2024年2考，2023年8考) 13.[2025浙江]手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩 色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表， 材料 彩色纸（张） 细木条（捆） 类别 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工 艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x 和y满足的方程组是 A5+3y=17B.5+3y=10.c.5+2=17.D.5+2y=10. B. C. （2x+y=10(2x+y=17 （3x+y=10 3x+y=17 类型7其他问题(2025年12考，2024年16考，2023年18考) 14.学科融合[2025德阳]公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发 现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平 衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力 臂.已知阻力和阻力臂分别为600N和1m,当动力为1200N时， 动力臂是 m B能力提升练 15.[2025河北]甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a,b.如图，将甲 纸条的子与乙纸条的号叠合在一起，形成长为81的纸条， 2 则a+b= -81 第15题图 命题点6分式方程及其应用 A基础分点练 考向1分式方程的解法及解的应用(2025年烤，2024年34烤，2023年0烤) 1[2双5测南省参]将分式方程！，去分母后得到的整式方程为 xx+1 A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 2x 2[2025甘肃省卷]方程二1的解是x= 3[2025长沙]分式方程3= 的解为 x+12x-1 4[2025济江]解分式方程：31 =0. "x+1x-1 5[2025威海]解分式方程：-2 2x-11-1-2x 《霞国暖a5广车有在架分式方程2时，小李车的 解法如下： 第-#2 x-2 ·(x-2)-2, 第二步：1-x=-1-2, 第三步：-x=-1-2-1, 第四步：x=4, 第五步：检验：当x=4时，x-2≠0， 第六步：.原分式方程的解为x=4 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李 的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程 考向2分式方程的实际应用 类型1购买、销售问题(2025年7考，2024年1考，2023年3考) 7.[2025江西]小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费 6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程 相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公 里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程 为 8.[2025扬州]如图，某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价 值的书签，己知甲款书签价格是乙款书签价格的三倍，且用100元 购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这 两款书签的单价 第8题图 类型2工程问题(2025年10烤，2024年10烤，2023年7考) 9.[2025深圳]龙龙家的社区组织居民种树共60棵，由于大家积极参 加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少 种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出 方程 6060=3 B.6060=3c.60-=2x60 x 2x 2x x x-3 D.60=2x60 x+3 10.[2025云南]某化工厂采用机器人A,机器人B搬运化工原料，机器 人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所 用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等.求机器人A,机 器人B每小时分别搬运多少千克化工原料. 真题分类分层练·数学 11.[2025重庆]列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每 天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产 品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个， (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每 天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的 数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量 是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品 各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的 数量. 类型3行程问题(2025年1考，2024年5考，2023年16考) 12.[2025长春]小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度 是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点.求小林跑 步的平均速度. B能力提升练 B2025速宁]若关于x的分式方程1无释，则a的值为 () A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 14[2025龙东地区]已知关于x的分式方程+2k=3解为负数，则店 x-44-x 的值为 A.k<-4 B.k>-4 C.k<-4且k≠_4 D.k>-4且k≠-4