专题04 有关中点的辅助线添加（培优专练，趋势领航+4考点突破+压轴提速）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04有关中点的辅助线添加 ☑趋势领航练 ☑考点突破练 考点01多个中点构造中位线 考点02直角三角形斜边中点构造斜边上的中线 考点03等腰三角形底边中点构造三线合一 考点04三角形中线构造全等三角形 ☑ 压轴提速练 ◆趋势领航练 >【新考法·阅读理解型问题】(2025·山东滨州中考真题)【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用.我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平 面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形 的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的 圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆. 【动手操作】 如图1，△ABC中，∠BAC>90°，请作出△ABC的最小覆盖圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法.) 【迁移运用】 正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE=2,以CE为边向外作正方形CEFG. AF,DF (1)如图2，连接 ,求△MDF 的最小覆盖圆的直径： 2》将图2中的正方无O5心绕点C道时针旋转0~ ⊙0 AB,CD (如图3)， 经过A,D,F三点，且与边 分别交于点L,L,求△ADF的最小覆盖圆的直径： CEFG DB,BG,GE,ED (3)将正方形 绕点C旋转，分别取 的中点M,N,P,Q,顺次连接各中点，得到 MNPO MNPO 四边形 (如图4).在旋转过程中，四边形 的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果 不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D O 图1 图2 图3 图4 【详解】解：动手操作：，△ABC中，∠BAC>90°， ∴△ABC是钝角三角形， :△ABC的最小覆盖圆为以BC为直径的圆，作图如下： 迁移运用： (1),正方形ABCD的边长为7，正方形CEFG, ∠BAD=∠ADC=90,AD=CD=7,∠CEF=90°，EF=CE=2 ∠ADF>90°，DE=CD-CE=5 ,△ADF为钝角三角形， ∴·AF为△ADF最小覆盖圆的直径， 延长FE交AB于点H,则：∠DEH=∠CEF=90°， H----- E B C G 四边形ADEH为矩形， EH=AD=7,AH=DE=5 FH=EF+EH=9,∠AHF=90° ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF=AH2+FH2=106 (2)连接AL,作AK⊥DF于点K,延长GF交AB于点J, 则：四边形DGJA为矩形， GJ=AD=7,AJ=DG=CD-CG=7-2=5∠AJF=90° FJ=JG-FG=7-2=5 AF=AJ2+FJ2=52 在RtAFGD DG=5,FG=2 中， .DF=V52+2=√29 0K-=4D-06,即：四AK=7×5=5: S.AFD= K3529 29, ⊙0 A,D,F,L∠ADL=90° 过点 片∠AFD=∠ALD<∠ADL AL .⊙0 为的直径， ∠DAF<DAB=90°，∠ADF<ADL=90° 又， ∴△ADF为锐角三角形， ⊙0 △ADF 即为 的最小覆盖圆， :∠AFD=∠ALD, AKAD 六sin∠AFD=sin∠ALD'即：AF=AL, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35V29 .29 7 52 AL 4L=V58 即△AD 的最小覆盖圆的直径为V5⑧ (3)变化： 连接BE,DG,DG交BC于点H,BE,DG交于点O,连接MP, D M DB,BG,GE,ED MNPO 分别取 的中点M,N,P,Q,顺次连接各中点，得到四边形 M0∥BE,M0-BE,P∥BE,P-BE.AN∥DG,aMN=DG, MQ∥PN,MQ=PN MNPO 四边形 为平行四边形， 正方形ABCD,正方形CEFG, CB=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90° .∠DCG=∠BCE=90°+∠BCG, ∴△BCE≌△DCG, ,BE=DG,∠CBE=∠CDG, MO=MN NPO 四边形 为菱形， ∠DHC=∠BHG,∠CBE=∠CDG ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BOH=∠DCH=90°， DG⊥BE, MN⊥MQ MNPO “四边形 为正方形， MP-MQ-BE ,四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径为MP, ∴.MP随着BE的变化而变化， BC-CE≤BE≤BC+CE,即7-2≤BE≤7+2， .5≤BE≤9 ≤MPs9W2 5V2 52sds92 2 ,即2 2 >【新考法·回归教材类探究】(2025江西九江·一模)课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且 等于第三边的一半. 定理证明： (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 已知：D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点. 求证：DE∥aC,且DE-8C. 知识应用 (2)①如图2，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.以这些点(A,B,C,D,E, F)为顶点，在图中能画出_个平行四边形 ②如图3，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D 图1 图2 图3 【详解】解：(1)证明：如图1，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF. D 图1 .AE=EC DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形， .CF II DA,且CF=DA, ∴CF∥BD,且CF=BD, ·四边形DBCF是平行四边形， .DF//BC,且DF=BC 又0E=Dr, DE∥BC,且DE=BC 2 DE,DF,EF (2)①如图，连接 D. E 图2 :D,E,F分别是AB,BC,CA的中点， DE,DF,E 是4AB 的中位线， DE∥AC,DF∥BC,EF∥AC 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形ADEF,四边形BDFE,四边形CEDF,都是平行四边形. 故答案为：3： ②证明：如图2，连接AC, 分别是四边形 各边的中点， 图2 .E F GH ABCD ∴.EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， .EF∥AC, EF=2AC,HG∥C, HG=1 ∴.EF∥HG,EF=HG, ∴四边形EFGH是平行四边形 【新定义问题】(2025·吉林长春·模拟预测)我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转 a0°<a<180) 得到AB,把AC绕点A逆时针旋转P得到AC,连接B'C,当a+B=180°时，我们称 △AB'C是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫 做“旋补中心”. 【阅读材料】 (1)如图②，在△ABC中，若AB=8,BC=4.求AC边上的中线BD的取值范围.是这样思考的：延长 BD至E.使DE=BD,连结CE,利用全等将边AB转化到CE,在△△BCE中利用三角形三边关系即可求 出中线BD的取值范围，则中线BD的取值范围是 【问题探索】 (2)如图①，△ABC是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”，请仿照上面材料中 的方法，探索图①中AD与BC的数量关系，并给予证明： 【拓展运用】 =B=90° △AB'C'△ABC AE⊥BC AE (3)如图③，当 时， 是 的“旋补三角形”， ，垂足为点E, 的反向 延长线交B'C'于点D.若AB=10,AC=6,直接写出AD的取值范围. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 【详解】解：(1)，BD是中线， .AD=CD, :BD=DE,∠ADB=∠CDE, ∴△ADB三△CDE, ∴AB=CE,而AB=8, ..AB=CE=8,BC=4,BE=2BD, 由三角形三边关系可得：CE-BC<BE<CE+BC,即4<2BD<12, .2<BD<6, (2)BC=2AD,理由如下： 如图1，延长AD至点E使AD=DE,连接CE, 图1 :AD是△ABC的“旋补中线”， ∴AD是△AB'C'的中线，即B'D=CD, 又：∠B'DA=∠CDE, △B'DA≌AC'DE(SAS .AB=CE,∠B'AD=∠E, .AB'=AB, .AB=C'E, AD是△ABC的“旋补中线”， 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC+∠B'AC'=∠BAC+∠BAD+∠EAC=180°， :∠AC'E+∠E+∠EAC=18O°，∠B'AD=∠E, ,∠BAC=∠ACE, :AC=AC',∠BAC=∠ACE,AB=CE 片aABC≌C'EA(SAS) .BC=AE=2AD」 (3)如图，作C"H⊥AD于H,作B'F⊥AD交AD延长线于F, B! 图3 AE⊥BC, .∠F=∠BEA=90°， .∠BAE+∠B=90°， a=B=90°∠BAB'=∠CAC'=90° ,即 .∠BAE+∠B'AF=90°， ∠B=∠B'AF, 又：BA=AB, A△ABE≌△B'AF(AAS) ..B'F=AE, 又：∠AEC=∠C'HA=90°，∠CAC'=90°， ∴∠CAE+∠C=90°，∠CAE+∠C'AH=90°， ∠C=∠CAH, ..CA=AC', △ACE≌AC'AH(AAS) ..AE=C'H, 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..B'F=C'H, :∠F=∠C'HD=90°，∠B'DF=∠CDH, △B'DF≌△C'DH(AAS) B'D=C'D, AD是△ABC'的中线， .AB'=AB=10,AC'=AC=6, 结合(1)的结论可得： 0-<400+6,即2<40<8 >【新情境问题】(2025陕西渭南·二模)【问题提出】 (1)如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边的中点，连接DE,若∠ABC=90°，则 ∠ADE的度数为 【问题探究】 (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=4,点D是AC上方一动点，连接AD、BD、CD, 若∠ADC=90°，求BD的最大值： 【问题解决】 (3)如图3，菱形ABCD是某公园的一片油菜花海，对角线BD是中间的一条通道，为方便游客观赏花海 全景，现要在花海外(AD右侧)修建一座观景塔E(看作点E),再沿BE和DE分别铺设两条小路（宽 度忽略不计)，要求∠BED=9O°，点F是DE的中点，连接CF,沿CF开设美食一条街，为了使游客有 更多美食进行选择，要求美食一条街CF尽可能的长.已知菱形BCD的边长为30i0m,BD=180m,求 美食一条街CF长度的最大值. E A 图1 图2 图3 【详解】解：(1)：点D是AB的中点，点E是AC边的中点， DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC=90° 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专题04 有关中点的辅助线添加 趋势领航练 考点突破练 考点01 多个中点构造中位线 考点02 直角三角形斜边中点构造斜边上的中线 考点03 等腰三角形底边中点构造三线合一 考点04 三角形中线构造全等三角形 压轴提速练 趋 势 领 航 练 【新考法·阅读理解型问题】（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【新考法·回归教材类探究】（2025·江西九江·一模）课本再现 三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【新定义问题】（2025·吉林长春·模拟预测）我们定义：如图①，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【阅读材料】 （1）如图②，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是__________； 【问题探索】 （2）如图①，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图①中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】 （3）如图③，当时，是的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交于点D．若，，直接写出的取值范围． 【新情境问题】（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 考 点 突 破 练 考点01 多个中点构造中位线 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 2．（2025·山西吕梁·三模）阅读下面材料，完成相应任务． 四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点分别是的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点分别是的中点．若，求． 解：如图2，取的中点，连接． ∵点、分别是的中点， ∴．（依据） …… 任务： (1)上述材料中的依据是指___________． (2)将材料中的解题过程补充完整． (3)如图3，在四边形中，点分别是的中点，，延长交于点，延长交于点，且．请直接写出的长度___________． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程： 证明：连结，取的中点，连接． ，当点在直线外时， 当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ； 【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ． 考点02 直角三角形斜边中点构造斜边上的中线 5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 6．（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 7．（2025·山西运城·一模）综合与探究 问题背景 数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接． 初步探究： （1）与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值． 考点03 等腰三角形底边中点构造三线合一 8．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 9．（2025·江苏泰州·二模）如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，连接交于点G． (1)求证：； (2)取的中点P，求证：点B、P、D在同一条直线上； (3)在（2）的条件下， ①当点G是中点时， ； ②当点E是中点时，求的值． 考点04 三角形中线构造全等三角形 10．（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】 （3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 11．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 12．（2025·宁夏银川·二模）兴趣小组在活动时，王老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据_____可以判定，得出．就能把线段集中在中．利用三角形三边关系，可得出中线的取值范围是_____． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2在中，，，是的中线，，，且．求的长． 【问题拓展】 （3）如图3在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 压 轴 提 速 练 1．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 2．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 3．（2025·陕西商洛·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为斜边的中点，若，则的长为_____________； 【深入探究】 （2）如图②，在中，，点是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．若，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，某社区有一块健身器材区，其中．为方便居民使用，决定改建，按照设计要求，在中点处建一个休息凉亭，过点作的垂线，交的延长线于点，在点处增加一个小门方便居民通行．点在线段上，连接，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，点为的中点，延长交于点，连接，在处建一个便民休闲区，引入商家方便居民随时购买饮品．为充分满足居民需求，想让区域的面积尽可能大，若，求区域的最大面积． 4．（2025·重庆江津·一模）已知是等腰直角三角形，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长； (2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 5．（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线． 如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长． 【特例感知】 （1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示） 【深入探究】 （2）如图3，折线是的折中线． ①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”） ②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由． （3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 7．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    8．（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)如图1，中，是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2． (2)如图2，在，点是上一点，过点作，连接并取其中点，连接．求证：． (3)如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点旋转至，连接，取其中点，连接．请判断与是否相等？并说明理由． 9．（2025·江苏盐城·二模）【定义】在三角形中，一边的中线把这边所对的内角分成两个两倍关系的角，那么这条中线叫作这个三角形的“倍中线”．如图，在中，是的中线，，则中线是的“倍中线”．      【判定】（）已知：如图，在中，对角线、交于点，．证明：是的“倍中线”． 【作图】（）如图，，点是边上一点，的边与射线交于点，是的“倍中线”，且，用直尺和圆规作点．（保留作图的痕迹） 【运用】（）如图，是的“倍中线”，，点是直线上一动点，且． ①如图，若，，则__________． ②若点在射线上，且，求的长． 10．（2025·广西河池·一模）【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 11．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 12．（2026·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明： （1）如图1，若，求证：． 拓展延伸： （2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长． （3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $