21.3.1 第2课时 矩形的判定课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第二十一章　平行四边形 21.3.1　矩形 第2课时　矩形的判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1 : 什么是矩形?矩形有哪些性质? 知识关联 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等 边 对角线 角 矩 形 的 性 质 问题2 : 矩形与平行四边形之间有什么联系? 知识关联 有一个角是直角 平行四边形 矩形 【情境问题】 探究与应用 小华想要制作一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，用什么办法可以检测她制作的矩形相框是否标准？看看谁的方法可行? 【探究1】利用对角线的数量关系判定矩形 【操作尝试】 我们知道，矩形的对角线相等. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 探究与应用 请根据文字命题画出对应的图形,写出已知、求证 【探究1】利用对角线的数量关系判定矩形 探究与应用 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 验证猜想 【探究1】利用对角线的数量关系判定矩形 【概括新知】 探究与应用 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 【探究1】利用对角线的数量关系判定矩形 【尝试交流】 追问 : 对角线相等的四边形是矩形吗? 探究与应用 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不 仅要测量两组对边的长度是否分别相等， 常常还要测量它们的两条对角线是否相等， 以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 【理解应用】 例1 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，∠OAB的度数为　 　 .  探究与应用 40° 【理解应用】 【变式】 　如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=2 cm，求这个平行四边形的面积. 探究与应用 ∵△AOB是等边三角形, ∴AO=BO=AB=2 cm, ∴AC=BD=4 cm, ∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形), ∴∠ABC=90°. 解 : ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO= AC，BO= BD. 在Rt△ABC中, ∵AB=2 cm，AC=4 cm, ∴ ∴矩形ABCD的面积为 (cm2). 【探究2】利用角的大小判定矩形 【尝试交流】 问题2 : 有两个角都是直角的四边形一定是矩形吗？能举出反例吗? 探究与应用 问题1 : 有一个角是直角的四边形一定是矩形吗?能举出反例吗? A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) 不一定 不一定 【探究2】利用角的大小判定矩形 【思考交流】 探究与应用 问题3 : 已知，如图所示，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°． 求证：四边形ABCD是矩形． A B C D 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC， AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠A=90°. ∴ ▱ABCD是矩形. 结论：有三个角是直角的四边形是矩形 【探究2】利用角的大小判定矩形 【概括新知】 探究与应用 矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 【理解应用】 探究与应用 例2 如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AF、DF分别平分∠BAD、∠ADC， ∴∠DAF＋∠ADF＝ ∠BAD＋ ∠ADC ＝ （∠BAD＋∠ADC）＝90°， ∴∠F＝90°. 同理可得∠H＝∠AEB＝90°. ∴∠FEH＝∠AEB＝90°. ∴四边形EFGH是矩形． 例3　如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作BC的平行线交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACG的平分线于点F。 求证 : 四边形AECF是矩形. 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 证明 : ∵EF∥BC，∴∠DEC=∠ECB. ∵CE平分∠BCA，∴∠DCE=∠ECB, ∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC. 同理DC=DF，∴DE=DF. ∵D是AC的中点，∴AD=CD, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵DC=DE=DF=AD，∴AC=EF, ∴▱AECF是矩形. 【小结】 课堂小结与检测 矩形的判定方法： 平行四边形 四边形 矩形 有一个角是直角 对角线相等 有三个角是直角 【检测】 课堂小结与检测 1. 如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD B 【检测】 课堂小结与检测 2. 如图，木工师傅要做一个矩形木框，做好以后测量得长AB=CD=80 cm，宽AD=BC=60 cm，对角线AC的长为1 m，则这个木框　　　(填“合格”或“不合格”)，判定的依据是　　 　　　　　　　　　　　 . 合格　 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【检测】 课堂小结与检测 3. 如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件______________________，使四边形DBCE是矩形． EB＝DC(答案不唯一) 【检测】 课堂小结与检测 4. 如图，已知四边形ABCD，E、F、G、H分别是四边的中点，只要四边形ABCD的对角线AC、BD再满足条件:　　　　　 ，则四边形EFGH一定是矩形. AC⊥BD 【检测】 课堂小结与检测 6. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F. 求证 : 四边形BFDE为矩形. 证明: ∵DE⊥AB , BF⊥CD, ∴∠DEB=∠BFD=90°. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴CD∥AB, ∴∠CDE+∠DEB=180°. ∵∠DEB=90°, ∴∠CDE=90°, 即 ∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°, ∴四边形BFDE为矩形. $