21.2.3 三角形中位线 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章　平行四边形 21.2.3　　三角形的中位线 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 【情境问题】 探究与应用 思考 1.将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何切割? 同学们，通过今天的学习，你会找到一种新的切割方法。今天将要学习的内容是三角形中重要的线段——三角形的中位线. 【课堂引入】 【操作尝试】 2.准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB、AC边的中点D、E，连接DE. 探究与应用 (2)借助量角器测量有关角的大小，并猜想 DE、BC之间的位置关系. (1)用直尺分别测量DE、BC的长，比较DE、BC的大小 关系，并猜想DE、BC之间存在怎样的数量关系; A B C D E 【探究1】三角形中位线的定义 【尝试交流】 探究与应用 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线. A B C D E 【探究1】三角形中位线的定义 【尝试交流】 探究与应用 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ 有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. 问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. A B C D E F • • • 总结 : 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有三条中位线. 【探究2】三角形的中位线与第三边的关系 【尝试交流】 思考1. 你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个 与其面积相等的平行四边形吗? 探究与应用 思考2. DE与BC之间有什么位置关系和 数量关系呢? 能. 如图 猜想 : DE∥BC，DE= BC. 如图，D、E平分是△ABC的边AB、AC的中点. 求证 : DE∥BC，且DE= BC. 下面对它们进行证明. 【探究2】三角形的中位线与第三边的关系 探究与应用 D E 证明： 延长DE到F，使EF=DE．连接FC F ∴DF∥BC DF=BC. ∴△ADE≌△CFE, ∴∠A=∠ECF AD=CF, ∴CF∥AB. ∵BD=AD∴BD=CF ∴四边形DBCF是平行四边形, ∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点, ∴AE=CE BD=AD. 在△ADE和△CFE中 ∵ ∴ 故 DE∥BC，且 ． AE=CE ∠AED=∠CEF DE=FE 还有别的方法吗? 【探究2】三角形的中位线与第三边的关系 方法二 如图，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F ∴∠ADE=∠F. 探究与应用 ∴△ADE≌△CFE(AAS), ∴AD=CF，DE=FE. 又∵AD=BD ∴BD=CF, ∴四边形BCFD是平行四边形, ∴DF∥BC，DF=BC. ∵DE= DF,∴DE= BC, 故DE∥BC且DE= BC. 利用全等三角形和平行四边形的性质证明，但添加辅助线的方法不一样. ∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点, ∴AE=CE BD=AD. 在△ADE和△CFE中 ∠ADE=∠F ∠AED=∠CEF AE=CE 【探究2】三角形的中位线与第三边的关系 探究与应用 D E 证明：延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、CD ． ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． F ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴ DF∥BC 且DF=BC. 方法三 ∴AD∥CF且AD=CF. 又∵D是AB的中点 ∴BD∥CF,且BD=CF, ∵DE= DF,∴DE= BC, 故DE∥BC且DE= BC. 【探究2】三角形的中位线与第三边的关系 【概括新知】 探究与应用 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 三角形中位线定理： 符号语言： ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC且DE= BC. （ ∵AD=BD, AE=CE ) D E 定理提供了①证明平行问题；②证明一条线段是另一条线段的2倍或 的方法. 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF=3，求AC的长. 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 1 2 3 【理解应用】 探究与应用 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC， ∵AB=CD， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°， ∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠BPN)=130°， ∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°． 【理解应用】 例3　如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证 : 四边形EFGH是平行四边形. 探究与应用 分析 : 因为已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，所以可以设法应用三角形的中位线定理找到四边形EFGH的对边之间的关系。 因为四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证. 证明 : 连接AC. 在△DAC中， ∵H、G分别是DA、CD的中点, ∴HG是△ACD的中位线, ∴HG∥AC，HG= AC(三角形的中位线定理). 同理EF∥AC，EF= AC, ∴HG∥EF，且HG=EF, ∴四边形EFGH是平行四边形. 由此题可得结论 : 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 【小结】 课堂小结与检测 三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 三角形的中位线定理 三角形的中位线定理的应用 【检测】 课堂小结与检测 1. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7, BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,则四边形EFGH的周长为(　　) A.12　　　 B.14　　　 C.24　　　 D.21 A 【检测】 课堂小结与检测 2. 如图，已知长方形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是 (　　) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长先增大后减小 C 【检测】 课堂小结与检测 3 . 如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、 AC的中点： （1）若∠ADF=50°，则∠B= °； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8， 则△ DEF的周长为 . 50 15 A B C D F E 【检测】 课堂小结与检测 4. 如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状一定是　 　. 平行四边形 【检测】 课堂小结与检测 5.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长． 解：∵▱ABCD的周长为36， ∴BC+CD=18． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE= CD， ∴OE= BC， ∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15， 即△DOE的周长为15． $