第7章 计数原理（单元测试·提升卷）数学苏教版选择性必修第二册

2025-2026学年高二下数学单元自测 第七章 计数原理·能力提升 建议用时：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于4500的偶数个数是（    ） A．160 B．148 C．152 D．164 【答案】A 【分析】结合题意从千位数字开始进行分类讨论，再结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数， 且要求是大于4500的偶数，则千位数字只能为，分类讨论如下， 当千位数字为6时，为保证是偶数，个位数字只能是， 则中间的两位从剩下的5个数字里选，共有个情况， 当千位数字为5时，为保证是偶数，个位数字只能是， 则中间的两位从剩下的5个数字里选，共有个情况， 当千位数字为4时，为保证该数大于4500，则百位只能为或， 当百位数字为时，为保证是偶数，个位数字只能是， 此时十位数字从剩下的4个数字里选，共有个情况， 当百位数字为6时，为保证是偶数，个位数字只能是， 此时十位数字从剩下的4个数字里选，共有个情况， 综上可得，大于4500的偶数个数是，故A正确. 故选：A 2．兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（   ）种.      A．21 B．35 C．70 D．210 【答案】B 【分析】根据组合数的计算，可得答案. 【详解】由图可知从P处运动到Q处的最短路程是向右运动次、向下运动次，共运动次， 则路程最短的不同走法有. 故选：B. 3．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（   ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 【答案】D 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】第一行全蓝（蓝蓝蓝）： 第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1(全蓝)+3(1个红)+1(2个不相邻红)种； 第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）： 第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为(蓝 X Y)， 要求X、Y不都红，共3种合法染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； 第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）： 第二行中间格子不能为红，第二行格式为(X 蓝 Y)， X、Y无相邻限制，共种合法染色； 第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）： 和第一种情况对称，共3种合法染色； 第一行两个红（红蓝红）： 第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为(蓝 X 蓝)， X可红可蓝，共2种合法染色. 所以总染色方法数：种，故选D. 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 5．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 6．某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解. 【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列， 有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法. 故选：B 7．在某次演讲比赛组织过程中，有甲、乙等5名同学参加了接待、咨询、向导三个服务项目，每名同学只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名同学参加，若5名同学中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（   ） A．108种 B．114种 C．150种 D．240种 【答案】B 【分析】首先安排甲乙，再讨论余下3人的分组情况，结合题意及排列组合数求不同的安排方案数. 【详解】安排甲到三个服务中的一个，再安排乙到另两个服务中的一个，即有种， 余下的3人的安排如下， 将他们分三组，每组各一人，再安排到三个服务项目中有种， 将他们分两组，分别为一人组、两人组，把其中一组安排到最后余下的服务项目中，另一组任意安排到甲或乙所在组，有种， 将他们分一组，安排到最后余下的服务项目中，有种 所以共有种方案. 8．为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【详解】从4名同学中选1名抽到自己心仪国家立场，则有种， 设剩下3名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为， 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到； 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到，共2种情况， 仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有种. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 10．五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”､“中山陵”､“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 【答案】BCD 【分析】对于AB：根据分步乘法计数原理分析判断；对于C：利用间接法，讨论这5人去的景点个数，结合组合数运算求解；对于D：利用间接法，讨论这个景点去的人数，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择， 所以所有可能的方法有种，故A错误； 对于选项B：若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑， 所以不同的安排方法有种； 对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有种； 若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种，故C正确； 对于选项D：若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有： 若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有种； 若这个景点有3人去，不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有种，故D正确； 故选：BCD. 11．将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 【答案】AC 【分析】对于AB，根据隔板法求解；对于C，先分组，再选球放入；对于D，先分组，再排列盒子即可． 【详解】对于A，将7个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A正确； 对于B，允许有空盒子，先给每个盒子一个虚拟的球， 即10个小球分成3组，每个盒子至少一个， 由隔板法得不同的放法种数有种，故B错误； 对于C，根据题意，每个盒子里球的个数情况有：；；；， 则不同的放法种数有，故C正确； 对于D，小球相同、盒子不同，恰有1个盒子放2个球（即只有1个盒子为2个）， 其余两个盒子至少1个球且不能为2个球：先选放2个球的盒子：， 剩余两个盒子共5个球，均不为2的放法只有共2种， 总放法，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5位身高互不相同的同学站成一排照相，要求身高最高的同学站中间，从中间往两边身高依次递减，则不同的站法有__________种． 【答案】6 【分析】让最高的同学站中间，再在剩余的4人中选择2人，放在左边，剩余2人放在右边，计算得到答案. 【详解】让最高的同学站中间，再在剩余的4人中选择2人，放在左边，剩余2人放在右边， 共有种站法. 故答案为：6. 13．的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 14．某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 【答案】 【分析】根据组合数与排列数的计数方法，结合分类分步两个基本原理求解即可得答案. 【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能两地举办，且各自承办其中一项有种安排方法； 其次5个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有种，故总数为种不同的安排方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种.(6分) （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案.（13分） 16．本小题15分 （1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 【详解】（1）原式；（3分） （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或；（9分） （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以.（15分） 17．本小题15分 话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） (1)唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． (2)八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． (3)悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 【详解】（1）六个人随便站，即六个人进行全排列，故符合条件的排法共有种．（5分） （2）因总共有六个位置，两只妖怪不能站在排头和排尾，先将两只妖怪排好， 故有种排法，剩下四个人四个位置，故有种排法，故共有种排法．（10分） （3）先将六人分成三组，且这三组人数分别为1、2、3，并排列，故有种排法， 师傅和悟空站在一起共有种排法，八戒站在两只妖怪中间共有种排法， 故共有种排法．（15分） 18．本小题17分 已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 【详解】（1）因为 ，， 当时，所以；（5分） （2）因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为；（12分） （3）因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或.（17分） 19．本小题17分 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 【详解】（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法， 再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法， 再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法. 所以共有种不同的搜索方法.（5分） （2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现， 所以共有种不同的搜索方法.（10分） （3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙. 同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况. 设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中. 则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数， 所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则，. 所以，，，， 综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种.（17分） 试卷第1页，共3页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第七章 计数原理·能力提升 建议用时：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于4500的偶数个数是（    ） A．160 B．148 C．152 D．164 2．兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（   ）种.      （第3题图） A．21 B．35 C．70 D．210 3．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（   ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 5．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 6．某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．在某次演讲比赛组织过程中，有甲、乙等5名同学参加了接待、咨询、向导三个服务项目，每名同学只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名同学参加，若5名同学中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（   ） A．108种 B．114种 C．150种 D．240种 8．为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 10．五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”､“中山陵”､“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 11．将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5位身高互不相同的同学站成一排照相，要求身高最高的同学站中间，从中间往两边身高依次递减，则不同的站法有__________种． 13．的展开式中的系数为___________. 14．某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 16．本小题15分 （1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 17．本小题15分 话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） (1)唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． (2)八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． (3)悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 18．本小题17分 已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 19．本小题17分 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第七章 计数原理·能力提升（参考答案） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A D B B B 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BCD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．6 13．90 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种.(6分) （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案.（13分） 16．【详解】（1）原式；（3分） （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或；（9分） （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以.（15分） 17．【详解】（1）六个人随便站，即六个人进行全排列，故符合条件的排法共有种．（5分） （2）因总共有六个位置，两只妖怪不能站在排头和排尾，先将两只妖怪排好， 故有种排法，剩下四个人四个位置，故有种排法，故共有种排法．（10分） （3）先将六人分成三组，且这三组人数分别为1、2、3，并排列，故有种排法， 师傅和悟空站在一起共有种排法，八戒站在两只妖怪中间共有种排法， 故共有种排法．（15分） 18．【详解】（1）因为 ，， 当时，所以；（5分） （2）因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为；（12分） （3）因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或.（17分） 19．【详解】（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法， 再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法， 再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法. 所以共有种不同的搜索方法.（5分） （2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现， 所以共有种不同的搜索方法.（10分） （3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙. 同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况. 设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中. 则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数， 所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则，. 所以，，，， 综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种.（17分） 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元自测 第七章 计数原理·能力提升 建议用时：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若从这7个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于4500的偶数个数是（    ） A．160 B．148 C．152 D．164 2．兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（   ）种.      A．21 B．35 C．70 D．210 3．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（   ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 5．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 6．某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．在某次演讲比赛组织过程中，有甲、乙等5名同学参加了接待、咨询、向导三个服务项目，每名同学只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名同学参加，若5名同学中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（   ） A．108种 B．114种 C．150种 D．240种 8．为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 10．五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”､“中山陵”､“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 11．将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5位身高互不相同的同学站成一排照相，要求身高最高的同学站中间，从中间往两边身高依次递减，则不同的站法有__________种． 13．的展开式中的系数为___________. 14．某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 16． 本小题15分 （1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 17．本小题17分 话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） (1)唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． (2)八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． (3)悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 18． 本小题17分 已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 19． 本小题17分 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $