第7章 计数原理（单元测试·基础卷）数学苏教版选择性必修第二册

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025-2026学年高二数学单元自测 第七章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（    ） A．5 B． C．7 D．8 2．小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 3．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 4．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 5．现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（    ） A．32 B．48 C．54 D．72 6．用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 7．今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 8．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知的二项式系数和为64，则（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 11．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（    ） A．共有256种放法 B．若每个盒子都有小球，则有24种放法 C．若恰好有一个空盒，则有144种放法 D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数是______. 13．甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 14．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 （1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 16．本小题15分 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 17．本小题15分 3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)从中选出1名男生和3名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生必须站一起； (3)全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． 18．本小题17分 一个宿舍的6位同学被邀请参加一个晚会． (1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ (2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种不同的去法？ (3)该晚会分，两个区，现在决定由甲，乙，丙，丁四位同学参加该晚会，每区都要有人去，且甲和乙不能去同一个区，有多少种不同去法? 19．本小题17分 我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 试题 第1页（共5页） 试题 第4页（共5页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第七章 计数原理·基础通关 （参考答案） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D C D A C 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．240 13．192 14．145 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．【详解】 （1）原式．（4分） （2）根据题意，若，则， 则有， 即，解得（8分） （3）原方程可变形为，即， 即， 化简整理，得，解得或 (舍去)， 故．（13分） 16． 【详解】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得.（3分） （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为.（9分） （3）由已知得展开式的通项为， 、 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为.（15分） 17． 【详解】（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法， 再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．（5分） （2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种， 再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．（10分） （3）乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法， 由分步乘法计数原理可得共有种排法．（15分） 18． 【详解】（1）由题意，可以去的人数有共种情况， 则去法共有种；（5分） （2）把甲乙两个人看成一个人，则去法共有种；（10分） （3）先安排甲乙两人，去法共有种， 丙丁两人从，两个区中任选一个，去法共有种， 根据分步乘法计数原理可得有种不同去法.（17分） 19． 【详解】（1），， 从而，；（5分） （2），证明如下： ，等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即；（10分） （3），等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为 ， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证.（17分） 答案第1页，共2页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下册数学单元自测 第七章 计数原理·基础通关 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理可得. 【详解】由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有1条. 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条. 故选：C. 2．小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 3．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 4．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 5．现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（    ） A．32 B．48 C．54 D．72 【答案】C 【详解】最大数与最小数的组合有， 以最大数为4，最小数为1为例，抽出的3个数字的组合可能为。 对应的排列数分别为种，种，种，种， 故此种情况共有种。总方法数为种 6．用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照②③①④分步进行即可，计算出每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 7．今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 【答案】A 【分析】将写成形式的二项展开式，然后计算除以余下的天数，最后判断是星期几. 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 8．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．已知的二项式系数和为64，则（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确； 对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误； 对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确； 对于D，令则系数和为，故D正确. 故选：ACD. 11．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（    ） A．共有256种放法 B．若每个盒子都有小球，则有24种放法 C．若恰好有一个空盒，则有144种放法 D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 【答案】ABC 【详解】对于A：每个小球有4种放法，所以共有种放法，故A正确； 对于B：若每个盒子都有小球，则有种放法，故B正确； 对于C：先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中，有种放法， 再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球，有种放法，所以共有种放法，故C正确； 对于D：先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有种放法， 再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，所以共有种放法，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数是______. 【答案】240 【详解】展开式的通项公式为：， 令，解得：，的系数为. 13．甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【答案】192 【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 14．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【答案】145 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 （1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 【详解】 （1）原式．（4分） （2）根据题意，若，则， 则有， 即，解得（8分） （3）原方程可变形为，即， 即， 化简整理，得，解得或 (舍去)， 故．（13分） 16．本小题15分 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【详解】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得.（3分） （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为.（9分） （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为.（15分） 17．本小题15分 3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)从中选出1名男生和3名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生必须站一起； (3)全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． 【详解】（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法， 再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．（5分） （2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种， 再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．（10分） （3）乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法， 由分步乘法计数原理可得共有种排法．（15分） 18．本小题17分 一个宿舍的6位同学被邀请参加一个晚会． (1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ (2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种不同的去法？ (3)该晚会分，两个区，现在决定由甲，乙，丙，丁四位同学参加该晚会，每区都要有人去，且甲和乙不能去同一个区，有多少种不同去法? 【详解】（1）由题意，可以去的人数有共种情况， 则去法共有种；（5分） （2）把甲乙两个人看成一个人，则去法共有种；（10分） （3）先安排甲乙两人，去法共有种， 丙丁两人从，两个区中任选一个，去法共有种， 根据分步乘法计数原理可得有种不同去法.（17分） 19． 本小题17分 我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 【详解】（1），， 从而，；（5分） （2），证明如下： ，等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即；（10分） （3），等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为 ， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证.（17分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第七章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（    ） A．5 B． C．7 D．8 2．小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 3．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 4．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 5．现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（    ） A．32 B．48 C．54 D．72 6．用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 7．今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 8．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知的二项式系数和为64，则（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 11．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（    ） A．共有256种放法 B．若每个盒子都有小球，则有24种放法 C．若恰好有一个空盒，则有144种放法 D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数是______. 13．甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 14．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 （1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 16．本小题15分 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 17．本小题15分 3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)从中选出1名男生和3名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生必须站一起； (3)全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． 18．本小题17分 一个宿舍的6位同学被邀请参加一个晚会． (1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ (2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种不同的去法？ (3)该晚会分，两个区，现在决定由甲，乙，丙，丁四位同学参加该晚会，每区都要有人去，且甲和乙不能去同一个区，有多少种不同去法? 19．本小题17分我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $