7.3.1 复数的三角表示式 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.1 复数的三角表示式 【基础巩固】 1．复数的三角形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 2．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3．复数，则的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，，因为与对应的点在第四象限， 所以. 故选：B. 4．复数的辐角的主值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，∵，∴，， ∴，∵辐角的主值的取值范围为，∴复数的辐角的主值为. 故选：C. 5．（多选）下列说法正确的是（ ） A．复数的辐角的主值为 B．复数的辐角的主值为 C．复数的代数形式为 D．复数的三角形式为 【答案】AC 【解析】对于A，因为，故的辐角的主值为，故A正确； 对于B，而，故的辐角的主值不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故，故D错误. 故选：AC. 6．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数，则________. 【答案】 【解析】由题意得，所以.故答案为：. 7．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 8．已知为虚数单位.设，复数. (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，，，若是方程的一个虚根，求与的值. 【答案】见解析 【解析】(1)若的实部与虚部相等， 则，化简可得：，即， ∵，∴. (2)∵，∴，代入方程可得：， 即，则，解得：. 【能力拓展】 9．一般地，任何一个复数（，）都可以表示形式，其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数（，）的辐角，叫做复数（，）的三角表示式，简称三角形式，为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”，已知复数，复数，，，且，则的实部是________. 【答案】 【解析】因为， 由模长相等可得， 即， 化简得，即， 所以 ，即的实部是. 故答案为：. 10．瑞士数学家欧拉于年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，，其虚部为，A错误； 对于B，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误；对于C，，故C错误； 对于D，，， ，，因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 11．设，，，，.则的最小值为________. 【答案】 【解析】∵，，∴设，， 又∵，， ∴， 即：， ∴，解得：，，不妨取， 又∵， ∴ （）， ∴当时，取得最小值为， 故答案为：. 【素养提升】 12．在复数集中有这样一类复数：与（），我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)设（），（），，，∵，，∴，，∴是实数； (2)设（），则，∵，， ∴，∴①， 又， ∴②，联立①②解得，，∴； (3)∵，设， 则， ∵，∴， ∴，. 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1 复数的三角表示式 【基础巩固】 1．复数的三角形式是（ ） A． B． C． D． 2．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．复数，则的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 4．复数的辐角的主值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）下列说法正确的是（ ） A．复数的辐角的主值为 B．复数的辐角的主值为 C．复数的代数形式为 D．复数的三角形式为 6．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数，则________. 7．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是________. 8．已知为虚数单位.设，复数. (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，，，若是方程的一个虚根，求与的值. 【能力拓展】 9．一般地，任何一个复数（，）都可以表示形式，其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数（，）的辐角，叫做复数（，）的三角表示式，简称三角形式，为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”，已知复数，复数，，，且，则的实部是________. 10．瑞士数学家欧拉于年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 11．设，，，，.则的最小值为________. 【素养提升】 12．在复数集中有这样一类复数：与（），我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $