第四章 数列单元复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章　数列 4. 1 数列的概念 一、数列的概念 1. 概念：按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 表示：{an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，其中n∈N*. 二、数列的通项公式与递推公式 1. 通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式，通项公式反映了项与序号之间的关系. 2递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 递推公式反映了项与项之间的关系 三．利用数列的递推关系解决相关数列问题 1. 根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列前几项时，首先要弄清公式中各部分的关系，然后依次代入计算即可. 2. 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法; ②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法; ③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 四、数列的前n项和公式 1. 数列的前n项和：我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an. 2. 数列中an与Sn的关系：对于数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an= 4. 2　等差数列 4. 2. 1　等差数列的概念 一、等差数列 1. 文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 2. 数学符号：在数列{an}中，若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 二、等差中项: a，A，b成等差数列⇔2A=a+b⇔A=. 三、等差数列的通项公式 1. 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d. 2. 等差数列通项公式的变形：an=am+(n-m)d(m，n∈N*); 四、等差数列与一次函数的关系 1. 由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数 五、等差数列的常用性质 1. 在等差数列{an}中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am+an=ap+aq. 特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N*)，则am+an=2ap. 2. 等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列;d<0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列. 六、等差数列的判定(证明) 1. 判定一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 　　其中，定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的依据. 七、构造等差数列求数列的通项公式 1. 当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an. 将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下： (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数，则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为-=常数，则数列是等差数列. (3)转化为-=常数，则数列是等差数列. (4)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. (5)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. 4. 2. 2　等差数列的前n项和公式 一、等差数列前n 项和公式 1. 已知首项、末项与项数，则Sn=. 2. 已知首项、公差与项数，则Sn=na1+d. 二、等差数列前n项和的函数特征 1. 等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式：Sn=na1+=n2+n. (1)该表达式中没有常数项; (2)当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的 图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 三、等差数列前n 项和的性质 1. 公差为d的等差数列中依次k项之和Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…组成公差为k2d的等差数列(分段和成等差). 2等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则= (bn≠0，T2n-1≠0). 四、等差数列前n项和的最大(小)值的求法 1. 求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下： (1)函数法：将求Sn的最大(小)值问题转化为求二次函数的最大(小)值问题，解题时 注意n∈N*; (2)利用或寻找正、负项的分界点，当a1>0，d<0时，正项和最大，当a1<0，d>0时，负项和最小，进而得到Sn的最大(小)值. 4. 3　等比数列 4. 3. 1　等比数列的概念 一、等比数列的概念 1. 文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0) 2. 递推公式：=q(n∈N*)或=q(n≥2，n∈N*) 二、等比中项 1. a，G，b成等比数列⇔G2=ab⇔G=± (a，b均不为0)，当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，它们互为相反数. 三、等比数列的通项公式 1. 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1. 2. 当q>0且q≠1，a1≠0时，an=f(n)= ·qn为指数型函数. 四、等比数列的常用性质 1. 在等比数列{an}中，若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则akal=aman. 特别地，若m+n=2r (m，n，r∈N*)，则aman=. 六、等比数列的判定(证明) 1. 判定一个数列是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法：对于数列{an}，若=anan+2且an≠0，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=cqn(c≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. 其中，定义法和等比中项法可作为证明一个数列是等比数列的依据 4. 3. 2　等比数列的前n项和公式 一、等比数列的前n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn=  Sn= 二、等比数列前n 项和公式的函数特征 1. 当q=1时，Sn=na1，Sn是关于n的正比例函数. 2. 当公比q>0且q≠1时，等比数列的前n项和公式Sn=可以变形为Sn=-· qn+，设A=，则Sn=A(qn-1)，即Sn是关于n的指数型函数. 三、等比数列前n项和公式及其应用 在等比数列{an}中，对于a1，an，n，q，Sn这五个量，已知其中三个量就可利用通项公式和前n项和公式求出另外两个量. 1. 当条件与结论间的联系不明显时，可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解. 2. 求等比数列的前n项和时，若公比q未知，则要分q=1和q≠1两种情况，然后根据前n项和公式的特点选择合适的公式求解. 四、等差数列、等比数列的综合应用问题 1. 解决等差数列与等比数列综合问题的关键在于用好它们的有关知识，理顺两 个数列间的关系. 注意运用等差数列与等比数列的基本量，即a1，d与b1，q来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化. 数列求和的常见方法 1. 错位相减法 　　已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，由这两个数列中项数相同的项的乘积组成的新数列为{anbn}，在求该数列的前n项和时，常常将{anbn}的各项乘{bn}的公比q，并向后错位一项，与{anbn}中q的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求数列前n项和的方法称为错位相减法. 应用错位相减法的一般步骤： (1)两边同乘公比 q，写出Sn与qSn的表达式; (2)对乘公比前后的两个式子进行错位相减，注意公比q≠1这一前提，如果不能确定公比q是不是1，应分两种情况讨论. 2. 分组求和法 　　分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cn=an+bn的形式的数列求和问题，其中数列{an}与{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列. 其基本的解题步骤如下： (1)准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和. (2)分组求和，分别求出各个数列的和. (3)得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题. 3. 裂项相消求和 (1)裂项相消求和就是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，这些相同的项能够相互抵消，从而达到求和的目的. (2)常见的裂项技巧： ①已知{an}是等差数列，其公差为d(d≠0)，则bn==×. ②an==. ③an==-. ④an=loga=loga(n+1)-logan，其中a>0，且a≠1. 等差数列同步练习 题型一：等差数列基本量运算 1．已知为等差数列，，，则(      ) A.36 B.24 C.18 D.12 2．记为等差数列的前n项和，若，，则(      ) A.11 B.9 C.8 D.5 3．设等差数列的前n项和为，，，(      ) A.2022 B.2021 C.2019 D.2018 4．已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则(      ) A.6 B.9 C.12 D.15 总结：等差数列的基本量为首项和公差，解题时可将条件和所求都转化为这两个基本量即可！ 题型二：等差数列性质应用 5．已知为等差数列,,则(      ) A. B. C.1 D.2 6．在等差数列中，若，则的值等于(      ) A.8 B.10 C.13 D.26 7．已知等差数列的前n项和为,若与是方程的两根,则(      ) A.41 B.42 C.43 D.44 8．已知等差数列的前n项和为，若，，则(      ) A.13 B.14 C.15 D.16 9．等差数列的前n项和记为，且，，则(      ) A.70 B.90 C.100 D.120 10．设是等差数列的前n项和，若，则(      ) A. B. C. D. 11．已知等差数列,的前n项和分别为,,且,则(      ) A. B. C. D. 12．两个等差数列和的前n项和分别为、，且，则等于( ) A. B. C. D. 13．已知数列,均为等差数列,其前n项和分别为,,满足,则( ) A.2 B.3 C.5 D.6 总结：当条件为和结构时，可优先考虑用性质解题。 题型三：等差数列前n项和最值问题 14．记为等差数列的前n项和,已知,,则取最小值时,n的取值为( ) A.6 B.7 C.7或8 D.8或9 15．已知等差数列的公差不为0,其前n项和为,且,,当取得最小值时,( ) A.3 B.5 C.6 D.9 16．在等差数列中,为其前n项和.若,,则下列判断错误的是(      ) A.数列为递增数列 B. C.数列的前项和最小 D. 17．若等差数列的前项和为,,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．记为等差数列的前n项和,公差,且,则取得最小值时n为( ) A.2021 B.4039 C.2020 D.4040 19．已知等差数列的公差,,,记该数列的前n项和为,则的最大值为(      ) A.20 B.24 C.36 D.40 20．已知数列是等差数列，．则使的n的最小值为（   ） A．8 B．9 C．15 D．16 总结：分析项的特征找到正负交替项是解题关键 题型四：等差数列的判定与证明 21．数列满足,,且,则的值为(      ) A.5 B.6 C.9 D.11 22．在数列中,若,,,则该数列的通项公式为(      ) A. B. C. D. 23．在数列中，若，，则数列的通项公式为(      ) A. B. C. D. 24．在数列中，对任意的，都有，且，则(      ) A.24 B.25 C.26 D.27 25．已知数列的通项公式分别为，，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为(      ) A. B. C. D. 26．已知等差数列中，，. (1)求的值；(2)若数列满足：，证明：数列是等差数列. 27．已知数列满足,且,. （1）设,证明:数列为等差数列;（2）求数列的通项公式. 28．在数列中,,当时,其前n项和满足. (1)求证：是等差数列;(2)设,求的前n项和. 答案详解 1．答案：B解析：公差，则. 2．答案：A解析：已知，则①.=35②. 解得.所以 3．答案：B解析：设等差数列的公差为d，由，可得: 解得，则，所以 4．答案：C解析：由题意得，， 则. 5．答案：B解析：等差数列中,,则, 又,则,因此数列的公差,所以. 6．答案：C解析：因为，所以，即，所以. 7．答案：D解析：由于与是方程的两根,故, 即,得,因此, 8．答案：B解析：方法1：由等差数列前n项和的性质可知： 在等差数列中，，，，…仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以，解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为d， ，， 联立解得，，所以. 故选：B. 9．答案：D解析：在等差数列中，，，成等差数列，所以，则，即. 10．答案：C解析：设，则等差数列的前n项和为， 则成等差数列，即成等差数列， 公差为，故，即，， 11．答案：A解析：由已知得,可设,, 则,,即, 12．答案：A解析：两个等差数列和的前n项和分别为、，且， 所以. 13．答案：A解析：因为数列均为等差数列,可得, 且,又由,可得. 因此. 14．答案：C解析：根据等差数列的性质可得,所以,所以,所以,,当时,,当时,,当n的取值为7或8时,取最小值. 15．答案：B解析：设等差数列的公差为d,则, 令,因为,所以,所以二次函数的图象关于直线对称.又因为,可得,所以当取得最小值时,. 16．答案：C解析：设等差数列的公差为d, 对于A选项,,可得, ,可得,所以,, 所以,,所以,数列为递增数列,A对； 对于B选项,由A选项可知,,B对； 对于D选项,由A选项可知,,D对； 对于C选项,因为数列为递增数列, 当且时,；当且时,, 所以,数列的前项和最小,C错. 17．答案：B 18．答案：C解析：因为公差,所以数列单调递增,所以,又, 所以,所以数列前2020项全为负,从2021开始为正, 所以前2020项的和为的最小值,故. 19．答案：C解析：等差数列中,公差,即数列是递减等差数列, 显然,而,且,解得,则, ,由,得,因此数列前9项均为非负数,从第10项起均为负数,所以的最大值为. 20．答案：D解析：∵数列是等差数列, .∴，∴，，∴使的n的最小值为16. 21解析：因为,所以,所以数列是等差数列. 因为,,所以,故,所以. 22．答案：A解析：由已知式可得, 知是首项为,公差为的等差数列,所以,即. 23．答案：A解析：因为，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 24．答案：D解析：因为，，令，所以， 所以，所以为等差数列，首项和公差均为1， 所以，所以. 25．答案：D解析：由已知可得，数列是首项为1，公差为2的等差数列， 而数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列， 故. 26．解析：（1），，，， ； （2）由（1）可知， 数列是等差数列，首项是1，公差是2. 27．解析：（1）因为,所以,即,且, 所以数列是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由(1)知,所以数列的通项公式为. 28．解析：（1）证明：当时,, ,即： ,又数列是以1为首项,2为公差的等差数列 （2）由（1）知： 等比数列同步练习 题型一：等比数列基本量运算 1．在等比数列中，，，则(      ) A. B. C.8 D.24 2．已知为等比数列，若，则的公比(      ) A. B.2 C. D. 3．在等比数列中,若,,则(      ) A.6 B.9 C.15 D.81 4．等比数列前n项和为,若,,则(      ) A.127 B.64 C.63 D.31 5．已知是等比数列，若，，则(      ) A.4 B.8 C.16 D.64 题型二：等比数列性质的应用 6．等比数列中，，，则(      ) A.2 B.4 C.8 D.1 7．已知是等比数列,各项都是实数,,则(      ) A. B.4 C. D. 8．正项等比数列满足，则(      )。 A． B．4 C． D．8 9．等比数列中,为方程的两根,则等于(      ) A.6 B.12 C.6或12 D.-6 10．在正项等比数列中，，是方程的两个根，则(      ) A.1 B.2 C.4 D.8 11．在等比数列中，，，则(      ) A.或 B. C.或 D.或 12．在各项均为正数的等比数列中，若,则的值为（    ） A.      B.      C. 8 D. 13．设等比数列前项和为,若,则(      ) A.32 B.64 C.72 D.216 题型三 等比数列的判定与证明 14．在数列中,且(      ) A. B. C. D. 15．已知数列是等比数列,,,令,则(      ) A. B. C. D. 16．已知数列满足且。 （1）证明数列是等比数列； （2）设数列满足，，求数列的通项公式。 17．在数列中,,. (1)证明：为等比数列；(2)求的通项公式. 18．在数列中，，，. （1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式. 19．已知数列中,,. （1）证明数列是等比数列,并求的通项公式; 20．设数列的前n项和为，若. （1）证明为等比数列并求数列的通项公式； 答案 1．答案：A解析：设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得. 2．答案：D解析：根据等比数列定义由可得， 显然，所以，解得. 3．答案：A解析：设等比数列的公比为q,则,, . 4．答案：C解析：设等比数列的公比为q,所以,所以,又,所以,所以, 5．答案：C解析：根据题意，设数列首项为，公比为q， ，，代入②，，解得， ,，. 6．答案：A解析：由等比数列的性质可得，故. 7．答案：B解析：因为,所以,解得, 又,所以,所以, 8．答案：B解析：根据题意，等比数列满足， 则有，即，又数列为正项等比数列，故。 9．答案：B解析：由等比数列中,为方程的两根,得,, 因此,,,所以. 10．答案：C解析：因为正项等比数列中，，是方程的两个根，所以，.又由等比数列的性质，得，所以.故选C. 11．答案：A 解析：设等比数列的公比为q.由等比数列的性质可得. 又，所以或若则，此时；若则，此时.故选A. 12．答案：B 13．答案：B 解析：方法一：设等比数列的公比为.根据题意,等比数列中,若,即,又由,得,则. 方法二：由,可知等比数列的公比,因此成等比数列,结合可知,.因此. 14．答案：B 15．答案：C解析：设等比数列的公比为, 因为,,可得,解得,则,解得,所以 又由当时,,所以数列表示首项为8,以为公比的等比数列, 所以. 16．解析：（1）因为，所以，则是首项为1、公比为3的等比数列。（2）由（1）可知，所以。 因为，所以， 则，，…，，， 所以，则，即。 17．解析：(1)因,所以,因为,所以, 则,则是以1为首项,4为公比的等比数列. (2)由(1)可得,即 18．解析：（1）由题意，知. 又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列. （2）由（1），可知，所以数列的通项公式为. 19．解析：（1）因为,且, 所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列.所以 20．解析：（1）由得，当时，， 两式作差得，则1，即. 令得，所以是以为首项、为公比的等比数列， 则，故. 数列求和同步练习 题型一：裂项相消求和法 1．已知数列的前n项和为.(1)求的通项公式； (2)设,是数列的前n项和,求. 2．设数列满足. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和. 3．已知数列的首项,且满足,.(1)证明数列是等差数列,并求数列的通项公式；(2)若,记数列的前项和为,证明：. 4．已知等差数列的公差，且，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式；(2)设求数列前n项和为； 题型二：分组求和法 5．已知等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和. 6．已知数列的前n项和为,,. （1）求数列的通项公式;（2）求数列的前n项和. 7．已知等差数列满足,.（1）求的通项公式; （2）设数列的前n项和为,且,.令,求数列的前n项和. 8．已知数列的前n项和,在正项等比数列中,. （1）求数列的通项公式;（2）记,求数列的前项和. 9．已知数列,前n项和为, （1）若是等差数列,求数列的前n项和;（2）若,求; 题型三：错位相减求和法 10．已知数列的前n项和,等比数列满足,． (1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和． 11．已知数列的前n项和为,且. （1）求数列的通项公式;（2）若,求数列的前n项和. 12．已知等比数列的前n项和为,且. (1)求数列的通项公式；(2)若,求数列的前n项和. 13．已知数列的前n项和为，且. (1)证明：是等比数列；(2)设，求数列的前n项和. 参考答案 1．解析：(1)因为数列的前n项和为,所以； (2)当时,,又适合上式,所以； (3)由(2)知：, 所以,. 2．解析：（1）当时，，得.当时，， ，两式相减得，则. 当时，符合上式，所以. （2）由（1）得，所以 ，故. 3解析：(1)由,得,所以,即. 又因为,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以, 所以,. (2)由题可知.因为, 所以. 因为,,所以.综上,. 4解析：（1）由条件可知， 且，解得，所以； （2）， 所以. 5．解析：（1）设的公差为d，因为，所以， 又，则，故，所以. （2）由（1）可得： 6．解析：（1）因为,所以,, 两式相减,得,即,故, 当时,,所以,满足, 所以数列为以为首项,4为公比的等比数列,所以. （2）由（1）得,所以数列的前项和 . 7．解析：（1）设等差数列的公差为d, 则,解得.所以的通项公式; （2）数列满足,,①. 当时,,解得;当时,,②, ①-②得:,整理得, 故数列是以2为首项,2为公比的等比数列;所以; 结合（1）知, 所以数列的前n项和. 8.解析：（1）,, 当时,,也满足上式,所以. ,设数列的公比为q,则,故. 当时, （2）所以, , ,故. 9解析：（1）设等差数列的公差为d,由题意,所以,所以; （2）由题意, 10．解析：(1)当时,, 当时,, 也满足,所以． 因为,所以的公比,所以． (2)由(1)可知, 所以①, ② 两式相减,得, 所以． 11．解析：（1）因为数列的前n项和,所以时,, 当时,,又也适合上式, 所以数列的通项公式为; （2）由,得, , 作差得: 得: 得:. 12．解析：(1),当时,,即,① 当时,, ,是等比数列,∴公比② 将②代入①得：, 是以2为首项,3为公比的等比数列,. (2)依题意,, , ③. 将③得： ④. 由③-④得： ,, ,. 13解析：（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以，又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $