专项复习四 整式的除法-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习四 整式的除法 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 计算单项式除以单项式 1 题型讲练二 多项式除以单项式 4 题型讲练三 用科学记数法表示数的除法 6 题型讲练四 整式四则混合运算 9 题型讲练五 整式的混合运算 13 能力提升训练 17 题型讲练一 计算单项式除以单项式 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查幂的混合运算，解题的关键是掌握幂的混合运算法则． 依次运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法及除法法则计算． 【规范解答】解：∵ 先分别计算乘方部分， ， ∴ 原式， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中“”是关于的单项式． 化简：． 解： (1)求单项式． (2)写出该例题的完整解答过程． (3)当时，计算原式的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了整式的乘除法和整式的加减法，以及代数式求值； （1）根据题意利用单项式除以单项式法则计算即可； （2）利用单项式乘以单项式法则，积的乘方法则，0指数幂以及整式的加减法法则计算即可； （3）将代入，计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ； （2）解： ， ； （3）解：当时，． 【变式训练2】（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知，，，求的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了整式的乘除运算与幂的运算法则，熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式及单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先将 、、 代入表达式 ，再根据幂的运算法则和整式的乘除法则逐步计算． 【规范解答】解： ． 【变式训练3】（25-26七年级下·全国·周测）【问题情境】观察下列给出的一列单项式：，，，，，…．任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式． 【初步观察】（1）观察规律，并补全下列等式： ①； ②； ③； ④____________； … 【拓展延伸】（2）若第2024个单项式记为，第2025个单项式记为，求的值． 【答案】（1） （2） 【思路引导】本题考查了单项式除以单项式，单项式乘单项式，找出规律，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是解题的关键． （1）通过观察规律，即可补全等式； （2）根据（1）的规律可知，第个单项式为，由此可确定第个单项式和第个单项式，然后代入进行计算即可． 【规范解答】解：（1）通过观察可以发现，任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式，计算的结果为定值， 故． （2）由（1）可知，第个单项式为， ，， ． 题型讲练二 多项式除以单项式 【典例精讲】计算题： (1) (2) (3) (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（）根据幂的运算：包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，计算每一项，再合并同类项； （）先计算分母的乘方，再将多项式的每一项分别除以分母，最后合并结果； （）利用乘法交换律，先结合能使用平方差公式的两项，再继续用平方差公式计算； （）通过添括号将式子构造成平方差公式的形式，再展开完全平方并去括号化简． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·月考）一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【答案】 【思路引导】本题考查的是整式的混合运算，设多项式为 ，根据题意列出方程，通过代数运算求解即可． 【规范解答】解：设这个多项式为 ， 依题意得：， 移项得：， 两边同除以 （）：， 验证：，符合题意． 故答案为： ． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东韶关·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为 【思路引导】首先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，然后去括号、合并同类项，再根据多项式除以单项式的法则进行化简，得到最简整式后，代入给定的、的值计算最终结果． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 【变式训练3】（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用多项式除以单项式的每一项； （2）先利用平方差公式和多项式的乘法进行计算，再合并同类项即可； 【规范解答】（1）解：原式= =； （2）原式==． 题型讲练三 用科学记数法表示数的除法 【典例精讲】（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算， （1）根据同底数幂乘法和除法法则计算即可； （2）根据单项式除法法则计算即可； （3）根据完全平方公式计算再合并即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解： （2） （3） （4） 【变式训练1】去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为______ronto克． 【答案】 【思路引导】运用科学记数法的运算法则解答即可． 【规范解答】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克 故答案为． 【考点剖析】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法． 【变式训练2】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【思路引导】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可； （2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【规范解答】（1）10亿， ∴10亿元的总张数为张， （厘米）； 答：大约高厘米； （2）， ， （天）． 答：点钞机大约要点25天 【考点剖析】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数． 【变式训练3】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 题型讲练四 整式四则混合运算 【典例精讲】计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1），根据平方差公式计算，再合并同类项； （2），根据完全平方公式和整式乘法法则计算，再根据整式的加减法计算； （3），先根据积的乘方计算，再根据单项式的乘法和除法计算； （4），先整理为平方差公式的形式，再根据平方差公式计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·辽宁阜新·月考）（1）已知，，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4；（2）， 【思路引导】此题考查了同底数幂的除法，整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）逆用同底数幂的除法运算法则计算即可求解； （2）利用完全平方公式、多项式乘以多项式化简，合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2） ， 当，时，原式． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题考查有理数的混合运算，整式的混合运算， （1）先计算乘方，零次幂，再计算加减法； （2）先计算乘方，乘除法，再计算加减法； （3）根据平方差公式计算； （4）先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再计算加减法． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练3】（25-26九年级上·重庆·月考）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式混合运算——化简求值，理解已知中与是关于x的凤鸣多项式，并准确地进行计算是解题的关键． ①根据已知计算出 的值即可判断；②根据已知计算出 的值即可判断；③根据已知可得，再利用当时，多项式的值是小于的整数，确定出的值即可解答． 【规范解答】解：①，， ， 与是关于x的凤鸣多项式，故①正确； ②∵，，， ∴， 则 ， ∴，不满足定义， 则与C不是关于x的凤鸣多项式，故②错误； ③与是关于x的凤鸣多项式， ， ， （m是正整数）， ， ， ， ∵当时，多项式的值是小于45的整数， ， ， ， ， ， ，， ∴满足条件的所有m的值之和为6，故③正确． 综上，正确的结论有①③，共2个， 故选：C． 题型讲练五 整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）先用平方差公式进行计算，再合并同类项； （3）根据积的乘方的逆应用，先让两底数相乘，再将结果进行乘方，分别用到平方差公式和完全平方公式； （4）先用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式训练1】先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）先去括号，然后合并同类项，再代入求值即可； （2）利用完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行整式的加减计算，最后代入求值． 【规范解答】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【思路引导】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【规范解答】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 【变式训练3】．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【思路引导】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【规范解答】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解： 的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到， ∴ 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到，， ∴ 【考点剖析】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据同底数幂乘法，完全平方公式，合并同类项，单项式除法法则，逐一判断即可． 【规范解答】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，则，故A错误不符合题意； B、根据完全平方公式展开，，故B错误不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故C错误不符合题意； D、单项式除以单项式，系数相除，同底数幂相除时底数不变，指数相减，则，故D正确符合题意． 2．（2026·浙江·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式的除法和平方差公式．根据合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式和平方差公式逐一计算后判断即可． 【规范解答】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过多项式除以单项式计算即可. 【规范解答】解：长方形的面积为，一边长为， 另一边长为． 故选： D． 4．（2025·浙江绍兴·二模）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法． 根据积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法法则逐一计算后判断即可． 【规范解答】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．不是同类项，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【规范解答】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算等知识点，明确掌握长方形的周长公式是解题的关键． 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则，再列出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和的公式求解即可． 【规范解答】解： 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则， ∴块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为：， 将代入上式中，得出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为． 故选D． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了整式的四则混合运算、完全平方公式的变形应用、解一元一次方程等知识点，熟练进行整式的运算是解题的关键． ①将代入得到关于x的方程求解判断即可；②先将展开，然后根据完全平方公式的特点即可解答；将代入可得，然后整理并将代入求值即可判定③． 【规范解答】解：①将代入得：，解得：，故①错误． ②将展开为：， 若为完全平方式，则：，解得：，故②正确； ③∵， ∴，即 ∴ ，故③正确． 综上，②③正确，正确个数为2． 故选：C． 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了同底数幂的除法，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 先利用同底数幂的除法法则计算除法部分，化简后再进行多项式乘法，最后应用平方差公式简化． 【规范解答】解： = 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 【答案】15 【思路引导】先计算出大长方形的面积为，而C类卡片的面积为，即可确定需要15张C类卡片． 【规范解答】解：大长方形的面积， ∵C类卡片的面积是， ∴， ∴小明需要准备C类卡片15张． 11．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 【答案】 【规范解答】解：根据题意得， 12．（25-26七年级下·全国·周测）若，代数式的值是____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键． 由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值． 【规范解答】解：由 ，得 ． 代入代数式 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为________．（每个容器的厚度均忽略不计） 【答案】 【思路引导】本题考查圆柱体和长方体的体积，整式运算的实际应用，根据圆柱体和长方体的体积公式进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，长方体容器的宽为． 故答案为： 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ________． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解． 【规范解答】解：设大长方形的短边长为d， ∴由图2知，， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 15．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【规范解答】解：原式                          ； 当，时， 原式 ． 16．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算同底数幂的除法，最后计算减法即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．（25-26八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算括号内的，再计算除法，然后根据非负数的性质，求出x，y的值，再把x，y的值代入化简后的结果，即可求解． 【规范解答】解：原式        =． ∵， ∴， ∴， 当时， 原式． 18对于任何数，我们规定：． 例如：． (1)按照这个规定，请你化简； (2)按照这个规定，请你计算，当 时，的值 ． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题干所给的运算法则进行计算即可； （2）先按照题意化简，再将代入计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， 当时，原式． 19．（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【思路引导】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【规范解答】解： 当，时， 原式． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【规范解答】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专项复习四 整式的除法 （第一章 整式的乘除） 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型讲练一 计算单项式除以单项式 1 题型讲练二 多项式除以单项式 2 题型讲练三 用科学记数法表示数的除法 3 题型讲练四 整式四则混合运算 4 题型讲练五 整式的混合运算 6 能力提升训练 7 题型讲练一 计算单项式除以单项式 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中“”是关于的单项式． 化简：． 解： (1)求单项式． (2)写出该例题的完整解答过程． (3)当时，计算原式的值． 【变式训练2】（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知，，，求的值． 【变式训练3】（25-26七年级下·全国·周测）【问题情境】观察下列给出的一列单项式：，，，，，…．任选两个连续的单项式，用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式． 【初步观察】（1）观察规律，并补全下列等式： ①； ②； ③； ④____________； … 【拓展延伸】（2）若第2024个单项式记为，第2025个单项式记为，求的值． 题型讲练二 多项式除以单项式 【典例精讲】计算题： (1) (2) (2) (4) ． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·月考）一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东韶关·月考）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练3】（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算： (1) ； (2)． 题型讲练三 用科学记数法表示数的除法 【典例精讲】（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算： (1) (2) (2) （4) 【变式训练1】去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为______ronto克． 【变式训练2】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 【变式训练3】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1) ； (2)． 题型讲练四 整式四则混合运算 【典例精讲】计算 (1) (2) (2) (4)． 【变式训练1】（24-25七年级下·辽宁阜新·月考）（1）已知，，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式训练3】（25-26九年级上·重庆·月考）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型讲练五 整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (2) (4) 【变式训练1】先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【变式训练3】．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江绍兴·二模）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：__________． 9．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：_____． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 11．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 12．（25-26七年级下·全国·周测）若，代数式的值是____________． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为________．（每个容器的厚度均忽略不计） 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ________． 15．先化简，再求值：，其中，． 16．化简： (1) (2) 17．（25-26八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 18对于任何数，我们规定：． 例如：． (1)按照这个规定，请你化简； (2)按照这个规定，请你计算，当 时，的值 ． 19．（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $