专题10锐角三角函数同步讲义（3）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

本讲义聚焦锐角三角函数核心内容，系统梳理解直角三角形的概念、三大依据（勾股定理、锐角互余、三角函数定义）及四种类型解法，衔接仰角俯角、坡度坡比、方位角等应用模型，构建从基础到实践的学习支架。 资料通过7类题型分类与典例跟踪专练，以测量楼高、航海方位等实际问题引导学生用数学眼光抽象模型，强调构造直角三角形的推理思维，培养规范表达能力。课中辅助分层教学，课后助力学生通过解答题巩固知识，查漏补缺。

专题10锐角三角函数同步讲义（3） 【7.5解直角三角形7.6用锐角三角函数解决问题】 【题型01 解直角三角形的相关计算】......................................3 【题型02 解非直角三角形】..............................................4 【题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】......................5 【题型04 解直角三角形应用:仰角俯角问题】................................6 【题型05 解直角三角形应用:方位角问题】..................................7 【题型06 解直角三角形应用:坡度坡比问题】................................8 【题型07 解直角三角形应用:其他实际问题】................................9 【解答题5题】.........................................................10 ★知识梳理 知识点01:解直角三角形 1.核心概念 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由已知元素（边或锐角）求其余所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2.三大依据（核心关系） 关系类型 具体公式 说明 三边关系 a2+b2=c2 勾股定理，适用于所有直角三角形 锐角关系 ∠A+∠B=90∘ 直角三角形两锐角互余 边角关系 sinA=​,cosA=​,tanA=​ 三角函数定义，关键在于 “对边、邻边、斜边” 的识别 知识点02.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 1.边角对应错误：务必先明确所求角的对边与邻边，再选择正确的三角函数。 2.运算顺序：先求锐角，再求边长；结果按题目要求保留精度（如精确到 0.1）。 3.特殊角值：熟练背诵 30°、45°、60° 的三角函数值，避免计算失误。 知识点03:用锐角三角函数解决问题 本节核心是将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，解决三类典型应用问题。 1.三大应用模型 模型名称 核心概念与公式 典型场景 仰角 / 俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角。- 关键：构造直角三角形，水平距离为邻边，高度为对边。 测量楼高、树高、旗杆高度、热气球观测等。 坡度 / 坡角 坡角 (α)：坡面与水平面的夹角。 坡度 (i)：坡面垂直高度h与水平宽度l的比，i==tanα。 水坝、斜坡、楼梯、山坡等倾斜问题。 方向角 / 方位角 定义：以正北、正南为基准，描述物体所在方向的角（如北偏东 30°）。 关键：结合平行线性质（内错角相等）转化角度，再解三角形。 航海、方位判断.两船距离计算等 2.解题通用步骤 (1)审题建模：画出示意图，将实际问题中的长度、角度转化为直角三角形的边和角。 (2)寻找直角：直接寻找或通过作高、延长线等方法构造直角三角形。 (3)选择工具：根据已知条件，选用勾股定理或合适的三角函数（sin/cos/tan）列方程求解。 (4)检验作答：检查结果是否符合实际意义，并按要求作答。 (1)术语混淆：区分 “仰角 / 俯角” 与 “方向角”，“坡度” 与 “坡角” 的概念与关系。 (2)辅助线作法：作高是构造直角三角形最常用的方法，需准确找到高的位置。 (3)单位统一：确保题目中所有长度单位一致，再进行计算。 【题型1.解直角三角形的相关计算】 【典例】如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是________________． 【跟踪专练1】在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知在中，，，，点、分别在边、上，且，若DE把的面积平分，则__．    【跟踪专练3】如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【题型2.解非直角三角形】 【典例】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【跟踪专练2】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为______． 【题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【典例】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【跟踪专练2】如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 【跟踪专练3.】如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【题型4.解直角三角形应用:仰角俯角问题】 【典例】在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得建筑物顶端的俯角为，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 【跟踪专练1】如图，在离铁塔150米的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为，测角仪高为1.5米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练2】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 【跟踪专练3】东光连镇炮楼位于沧州市东光县连镇镇后一村，是沧州市第五批市级文物保护单位．它见证了日军侵略罪行和中国人民的抗战历史，具有重要的历史价值．某校数学实践小组利用所学数学知识测量该炮楼的高度． (1)图-1是嘉淇制作的简易测角仪，如图-2，从观测炮楼顶部的仰角为．若铅垂线在量角器上的读数为，则的值为________度； (2)如图-2．在（1）的基础上，又得到下列数据：，，求炮楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【题型5.解直角三角形应用:方位角问题】 【典例】如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走到C地，此时小明离A地100米，则小明离B地______米． 【跟踪专练1】如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距，C景点位于A景点北偏东方向上，位于B景点北偏西方向上，则A，C两景点相距______． 【跟踪专练3】.如图，A港在E港北偏西方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：，，） (1)求C，D两港之间的距离（结果保留根号）； (2)甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 【题型6.解直角三角形应用:坡度坡比问题】 【典例】小明沿着坡度为的山坡向下走了，则他下降了_________． 【跟踪专练1】一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，其坡度；当的一端碰到地面时，其坡度，那么____． 【跟踪专练3】小明和爸爸去鱼塘钓鱼，如图2，斜坡的坡度为，长为8米，钓竿与水平线的夹角是，其长为7米，若钓竿与钓线的夹角是． (1)求点到水平面的距离； (2)求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【题型7.解直角三角形应用:其他实际问题】 【典例】如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，这辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？______．（填“是”或“否”）（参考数据：，，） 【跟踪专练1】图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，，则的长度为_______． 【跟踪专练3】如图，A，B，C，D四个自然村在同一平面上，C，D位于水库的两岸，测得，，，，，求C，D两村之间的距离． 参考数据：，，． 【解答题】 1．如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的度数． 2．在中，，求的长． 3．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 4．如图，AB是一个垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端B出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点D，再经过一段坡路米， 坡面的坡度为（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点E，在点E处测得建筑物顶端A的仰角为 (1)求点E到建筑物的水平距离； (2)求建筑物的高度．（参考数据：）（A， B， C， D， E， F均在同一平面内，结果精确到1米） 5．如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G点，构造模型如图2．通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为． (1)求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度． (2)求出高压线塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10锐角三角函数同步讲义（3） 【7.5解直角三角形7.6用锐角三角函数解决问题】 【题型01 解直角三角形的相关计算】......................................3 【题型02 解非直角三角形】..............................................7 【题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】.....................12 【题型04 解直角三角形应用:仰角俯角问题】...............................16 【题型05 解直角三角形应用:方位角问题】.................................21 【题型06 解直角三角形应用:坡度坡比问题】...............................26 【题型07 解直角三角形应用:其他实际问题】...............................29 【解答题5题】.........................................................32 ★知识梳理 知识点01:解直角三角形 1.核心概念 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由已知元素（边或锐角）求其余所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2.三大依据（核心关系） 关系类型 具体公式 说明 三边关系 a2+b2=c2 勾股定理，适用于所有直角三角形 锐角关系 ∠A+∠B=90∘ 直角三角形两锐角互余 边角关系 sinA=​,cosA=​,tanA=​ 三角函数定义，关键在于 “对边、邻边、斜边” 的识别 知识点02.解直角三角形的类型及解法 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 高频易错点 1.边角对应错误：务必先明确所求角的对边与邻边，再选择正确的三角函数。 2.运算顺序：先求锐角，再求边长；结果按题目要求保留精度（如精确到 0.1）。 3.特殊角值：熟练背诵 30°、45°、60° 的三角函数值，避免计算失误。 知识点03:用锐角三角函数解决问题 本节核心是将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，解决三类典型应用问题。 1.三大应用模型 模型名称 核心概念与公式 典型场景 仰角 / 俯角 仰角：视线在水平线上方与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方与水平线的夹角。- 关键：构造直角三角形，水平距离为邻边，高度为对边。 测量楼高、树高、旗杆高度、热气球观测等。 坡度 / 坡角 坡角 (α)：坡面与水平面的夹角。 坡度 (i)：坡面垂直高度h与水平宽度l的比，i==tanα。 水坝、斜坡、楼梯、山坡等倾斜问题。 方向角 / 方位角 定义：以正北、正南为基准，描述物体所在方向的角（如北偏东 30°）。 关键：结合平行线性质（内错角相等）转化角度，再解三角形。 航海、方位判断.两船距离计算等 2.解题通用步骤 (1)审题建模：画出示意图，将实际问题中的长度、角度转化为直角三角形的边和角。 (2)寻找直角：直接寻找或通过作高、延长线等方法构造直角三角形。 (3)选择工具：根据已知条件，选用勾股定理或合适的三角函数（sin/cos/tan）列方程求解。 (4)检验作答：检查结果是否符合实际意义，并按要求作答。 3.高频易错点 (1)术语混淆：区分 “仰角 / 俯角” 与 “方向角”，“坡度” 与 “坡角” 的概念与关系。 (2)辅助线作法：作高是构造直角三角形最常用的方法，需准确找到高的位置。 (3)单位统一：确保题目中所有长度单位一致，再进行计算。 【题型1.解直角三角形的相关计算】 【典例】如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是________________． 【答案】或 【分析】利用直角三角形的面积减去扇形的面积解答即可． 本题考查了三角函数的应用，扇形的面积，分割法求面积，熟练掌握三角函数的应用和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，． ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积是：． 【跟踪专练1】在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义与勾股定理，先利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ． 【跟踪专练2】如图，已知在中，，，，点、分别在边、上，且，若DE把的面积平分，则__．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意，求出；推出的面积，根据把的面积平分，则，根据，求出，再根据，求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把的面积平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 【跟踪专练3】如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】首先，添加辅助线，然后，证得四边形是矩形，四边形是正方形，再由，，，得，接着，证得，得，，最后，证得是的中位线，得，即． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵四边形是正方形，E为对角线上一点， ∴，， ∵，，， ∴，，，即， ∴四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】添加辅助线证得四边形是矩形，四边形是正方形，由，得到，再证得，得，是解决问题的关键． 【题型2.解非直角三角形】 【典例】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】作于点，设，利用勾股定理得到，代入数据解出的值，解得到，，得出，由，得到四点共圆，记圆心为，且为的直径，利用外接圆的性质得到，分析可得当时，有最小值，利用等面积法求出的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，， ， 四点共圆，记圆心为，且为的直径， 如图，作于点，连接、， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，此时有最小值， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键． 【题型3.构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【典例】已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 【跟踪专练3.】如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题意，过点作，交于点，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系，即可解决问题． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， = ， ， ， ， 由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知： ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系． 【题型4.解直角三角形应用:仰角俯角问题】 【典例】在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得建筑物顶端的俯角为，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 【答案】 【分析】设交距水平地面的水平线于点，根据，求出，再根据，求出可得结论． 【详解】解：如图，延长交距水平地面的水平线于点，过作地面于点， ，， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，在离铁塔150米的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为，测角仪高为1.5米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，再利用角的正切值求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 米，米， 在中，， （米）， 米， 【跟踪专练2】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 【答案】48米/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的相关定义和运算是解题关键．作于，过点作于点，根据题意可得，然后利用勾股定理求出米，得出米，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得米，进一步可得米，米，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：作于，过点作于点，如图所示： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴米， ∴在矩形中，米，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得：， 答：大树的高度约为48米． 故答案为：48． 【跟踪专练3】东光连镇炮楼位于沧州市东光县连镇镇后一村，是沧州市第五批市级文物保护单位．它见证了日军侵略罪行和中国人民的抗战历史，具有重要的历史价值．某校数学实践小组利用所学数学知识测量该炮楼的高度． (1)图-1是嘉淇制作的简易测角仪，如图-2，从观测炮楼顶部的仰角为．若铅垂线在量角器上的读数为，则的值为________度； (2)如图-2．在（1）的基础上，又得到下列数据：，，求炮楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)炮楼的高度为米 【分析】（1）用平角减去量角器上的读数，再减去，即可求解； （2）设，分别解，得出，，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：设， 在中， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 答：炮楼的高度为米 【题型5.解直角三角形应用:方位角问题】 【典例】如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走到C地，此时小明离A地100米，则小明离B地______米． 【答案】200 【分析】本题考查了勾股定理的应用、方向角等知识，解题的关键是理解题意，熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意，是直角三角形，， （米） 故答案为：200． 【跟踪专练1】如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，根据三角形的内角和定理可得，由角所对的直角边和斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，两景点相距， ∴． ∴，两景点相距． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解直角三角形的应用． 【跟踪专练2】如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距，C景点位于A景点北偏东方向上，位于B景点北偏西方向上，则A，C两景点相距______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的定义是解题的关键． 由题意得，，，则有，在中利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 在中，， ∴， ∴A，C两景点相距． 故答案为：． 【跟踪专练3】.如图，A港在E港北偏西方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：，，） (1)求C，D两港之间的距离（结果保留根号）； (2)甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 【答案】(1)C，D两港之间的距离为海里 (2)当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港6.3海里． 【分析】（1）连接，过点A作交于点G，延长，交于点K，先求的长度，再求的长度，从而得到的长度，在中，求出长度，最后由长度求出C，D两港之间的距离； （2）设甲货船从A港出发，行至N点，乙货船从C港出发，行至M点，此时两船首次相距25海里，即，连接，过点M作于点R，过点C作于点P，延长，交于点K，设两船首次相距25海里时，乙船的路程为S海里，则甲船的路程为海里，通过题意，计算出，以及的长度，运用勾股定理建立关于S的方程，解方程即可，注意舍去不符题意的解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点A作交于点G，延长，交于点K， ∵A港在E港北偏西方向，E港在B港的东北方向， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，． ∵，， ∴在中，， ∴． ∵，，， ∴在中，， ∵， ∴． ∵，， ∴在中，． 答：C，D两港之间的距离为海里． （2）解：如图，设甲货船从A港出发，行至N点，乙货船从C港出发，行至M点，此时两船首次相距25海里，即，连接，过点M作于点R，过点C作于点P，延长，交于点K， ∵甲船速度为乙船速度的1.5倍且两船均沿直线匀速运送， ∴甲船路程为乙船路程的1.5倍， 设两船首次相距25海里时，乙船的路程为S海里，则甲船的路程为海里， 即，， ∵，，， ∴， ∴在中，，． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）可知，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴不符题意，应舍去， ∴， ∴． 答：当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港6.3海里． 【题型6.解直角三角形应用:坡度坡比问题】 【典例】小明沿着坡度为的山坡向下走了，则他下降了_________． 【答案】 【分析】根据坡度的定义，设下降高度为未知数，表示出水平宽度，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设小明下降的高度为， ， 水平宽度为， 根据勾股定理得： ， 整理得， ， 解得. 【跟踪专练1】一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点B作于点C， 在中，， ∴， 即高度约上升了． 【跟踪专练2】如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，其坡度；当的一端碰到地面时，其坡度，那么____． 【答案】 【分析】本题考查坡度比，根据坡度比数据，设，则，，利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】小明和爸爸去鱼塘钓鱼，如图2，斜坡的坡度为，长为8米，钓竿与水平线的夹角是，其长为7米，若钓竿与钓线的夹角是． (1)求点到水平面的距离； (2)求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)点到水平面的距离为4米． (2)浮漂与斜坡下端之间的距离为2米． 【分析】（1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为4米． （2）解：如图所示，设过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为2米． 【题型7.解直角三角形应用:其他实际问题】 【典例】如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，这辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？______．（填“是”或“否”）（参考数据：，，） 【答案】否 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线．过点A作于点C，根据解直角三角形的计算求得长度，再与车跟墙壁的距离比较即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于点C， 则在中，，，米， ∴， ∴不会碰到墙． 故答案为：否． 【跟踪专练1】图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，，则的长度为_______． 【答案】10 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键． 过点作，垂足为，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， 在中，，， ，， ，， ， ． 故答案为：10． 【跟踪专练3】如图，A，B，C，D四个自然村在同一平面上，C，D位于水库的两岸，测得，，，，，求C，D两村之间的距离． 参考数据：，，． 【答案】 【分析】作于F，于E，在中，利用锐角三角函数可得 ，，在中， 由勾股定理可得，从而得到再由，可得，在中，利用锐角三角函数可得，，从而得到，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于F，于E， 在中，，， ∵，， ∴，， 在中，， 由勾股定理得， ∴． ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得． 即C，D两村之间的距离为． 【解答题】 1．如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，由等边对等角可得，判断是的中位线，得到，进而推出，得到，即可证明结论； （2）连接，根据直角所对的圆周角是直角，得到，再证明，得到，进而即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 点D是的中点，O是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ． 答：的度数为 2．在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 3．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 4．如图，AB是一个垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端B出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点D，再经过一段坡路米， 坡面的坡度为（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点E，在点E处测得建筑物顶端A的仰角为 (1)求点E到建筑物的水平距离； (2)求建筑物的高度．（参考数据：）（A， B， C， D， E， F均在同一平面内，结果精确到1米） 【答案】(1)18米 (2)15米 【分析】（1）延长交直线于M，则，过C作于N，先解求出米，米，再由求解即可； （2）先解求出，再由即可求解． 【详解】（1）解∶ 延长交直线于M，则，过C作于N，如图所示： 由题意得， 则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴设，则， ， 解得， ∴米，米， ∴(米)， 答：点E 到建筑物的水平距离是 18米； （2）解：由题意得，， 在中，(米)， ∴ (米)． 答：建筑物的高度约为15米． 5．如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G点，构造模型如图2．通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为． (1)求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度． (2)求出高压线塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)约为13.9米 【分析】（1）连接，设半圆O的半径，由切线的性质得出，再根据正弦的定义得出，解方程即可得出r的值． （2）连接，过点E作于点H．证明四边形是矩形．由矩形的性质得出，，通过解直角三角形计算出，进而可求出． 【详解】（1）解：连接， 设半圆O的半径， 是半圆O的切线， ， 在中，，， ，即， 解得． 故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为． （2）解：连接，过点E作于点H． ∵高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E， ∴， ，（），， 四边形的四个角均为直角．即四边形是矩形． ，． 在中，． （米）． （米）． 答：高压线塔的高度约为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $