第四单元 分数的意义和性质（期中知识清单）五年级数学下学期（苏教版）

苏教版 第四单元 分数的意义和性质（知识清单） 适用对象：苏教版小学五年级下册数学 核心目标：理解分数的意义、单位“1”和分数单位的概念，掌握分数与除法的关系、分数的基本性质，能熟练进行分数的约分、通分，会比较分数的大小，能进行分数与小数的互化，建立分数思维体系 知识框架：核心概念→基础知识点→重难点突破→易错点点拨→典型例题→真题小练→学习锦囊 一、核心概念（理解本质·夯实基础） 概念 定义 关键特征/注意事项 单位“1” 一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常叫作单位“1” 单位“1”可大可小，可指单个物体，也可指多个物体组成的整体（如1筐苹果、5米绳子） 分数 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数 核心是“平均分”，不平均分不能用分数表示 分数单位 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数 分数单位由分母决定，分母是n，分数单位就是，分子是几就有几个这样的分数单位 真分数 分子比分母小的分数 真分数小于1（如、） 假分数 分子比分母大或分子和分母相等的分数 假分数大于或等于1（如、） 带分数 由整数（不包括0）和真分数合成的分数 带分数是假分数的另一种表现形式，带分数大于1（如、） 约分 把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数 约分的依据是分数的基本性质，最终结果要化成最简分数 最简分数 分子和分母只有公因数1的分数 最简分数的分子与分母是互质数（如、） 通分 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 通分的依据是分数的基本性质，公分母通常取两个分母的最小公倍数 二、基础知识点（精梳细理·全面掌握） 1. 分数的意义与分数单位 （1）分数的意义 表述格式：把单位“1”平均分成m份，表示这样的n份，用分数（m≠0）表示。 示例：把12块饼干看作单位“1”，平均分成4份，每份是，3份是；把5米绳子看作单位“1”，平均分成8段，每段是，每段长米。 （2）分数单位 特点：分母越大，分数单位越小；分母越小，分数单位越大。 示例：的分数单位是，有3个这样的分数单位；的分数单位是，有7个这样的分数单位；和的分数单位不同，。 2. 分数与除法的关系 （1）核心关系式 被除数÷除数 = 被除数除数（除数≠0） 字母表示：（b≠0） 对应关系：被除数→分子，除数→分母，商→分数值。 （2）应用场景 求一个数是另一个数的几分之几：用“一个数÷另一个数”（结果用分数表示）。 求一个数是另一个数的几倍：用“一个数÷另一个数”（结果用整数或小数表示）。 示例：把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得块；5是8的（5÷8）；8是5的1.6倍（8÷5）。 3. 真分数、假分数与带分数 （1）分类标准与特征 类型 分子与分母关系 数值范围 示例 真分数 分子<分母 0<分数<1 、 假分数 分子≥分母 分数≥1 、、 带分数 整数部分+真分数 分数>1 、 （2）假分数与带分数的互化 假分数→带分数：分子÷分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变（余数<分母）。 示例：、（余数为0时，结果为整数）。 带分数→假分数：整数部分×分母+分子作分子，分母不变。 示例：、。 4. 分数的基本性质 （1）性质内容 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 字母表示：（b≠0，c≠0）。 （2）关键说明 0除外的原因：分母不能为0，所以乘或除以的数不能是0。 核心作用：分数的基本性质是约分、通分的依据，也是分数与除法、小数互化的基础。 示例：、。 5. 约分 （1）约分方法 逐步约分法：用分子和分母的公因数（1除外）依次去除分子和分母，直到分子和分母只有公因数1。 一次约分法（最优）：用分子和分母的最大公因数直接去除分子和分母，一步得到最简分数。 示例：约分→最大公因数是6，。 （2）最简分数判断 看分子和分母是否为互质数（只有公因数1），是则为最简分数，否则需要继续约分。 示例：（互质，最简）、（公因数3，非最简）。 6. 通分 （1）通分步骤 1.找公分母：通常取两个分母的最小公倍数（也可以取其他公倍数，但最小公倍数更简便）。 2.转化分数：把每个分数的分子和分母同时乘相同的数，使分母变成公分母，分数大小不变。 示例：通分和→最小公倍数是12，，。 （2）特殊情况 分母成倍数关系：公分母取较大的分母。 示例：通分和→公分母是8，。 分母是互质数：公分母取两个分母的乘积。 示例：通分和→公分母是35，，。 7. 分数的大小比较 （1）同分母分数比较 规则：分母相同，分子大的分数大。 示例：、。 （2）同分子分数比较 规则：分子相同，分母大的分数小。 示例：、（注意是假分数，大于1）。 （3）异分母分数比较 方法：先通分转化为同分母分数，再按同分母分数比较大小。 示例：比较和→通分后和，所以。 （4）带分数比较 规则：先比较整数部分，整数部分大的带分数大；整数部分相同，再比较分数部分。 示例：、。 8. 分数与小数的互化 （1）分数→小数 方法：用分子÷分母（除不尽时，通常保留两位小数；若能化成有限小数则直接化成，不能则可表示为循环小数）。 示例：、、、。 （2）小数→分数 方法： a.看小数位数：一位小数→分母是10，两位小数→分母是100，三位小数→分母是1000…… b.把小数去掉小数点作分子，能约分的要约成最简分数。 示例：、、。 9. 分数的基本性质相关拓展 （1）分数的基本性质与商不变规律的联系 分数的基本性质与除法商不变规律本质一致：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，对应分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。 （2）分数的基本性质应用（扩分与缩分） 扩分：把分数的分子和分母同时乘相同的数（0除外），分数大小不变，分子分母变大。 示例：、。 缩分：把分数的分子和分母同时除以相同的数（0除外），分数大小不变，分子分母变小（即约分）。 示例：。 三、重难点突破（抓关键·破瓶颈） 重点1：分数意义的理解（单位“1”的灵活运用） 关键：区分“具体数量”和“分率”。分率表示部分与整体的关系（不带单位），具体数量表示实际大小（带单位）。 示例：“米”是具体数量，“一根绳子的”是分率；把3米长的绳子平均分成4段，每段长米（具体数量），每段占全长的（分率）。 重点2：分数与除法的关系及应用 关键：明确“求一个数是另一个数的几分之几”和“求一个数是另一个数的几倍”的区别与联系，均用除法计算，但结果表示形式不同。 示例：鸡有3只，鸭有5只，鸡是鸭的（3÷5），鸭是鸡的倍（5÷3）。 重点3：分数的基本性质与约分、通分的关系 关键：约分和通分的核心依据是分数的基本性质，约分是“同时除以相同的数”，通分是“同时乘相同的数”，最终都要保证分数大小不变。 技巧：约分要一次性用最大公因数，通分优先用最小公倍数，提高计算效率。 难点1：假分数与带分数的互化 突破：假分数化带分数时，注意余数必须小于分母；带分数化假分数时，整数部分乘分母后要加上分子，不能遗漏加法步骤。 易错点：（不是），带分数的分数部分不能是0。 难点2：异分母分数大小比较 突破：当分母较大时，可先找分母的最小公倍数通分，避免公分母过大导致计算复杂；也可将分数化成小数后再比较（适用于分母能化成有限小数的分数）。 示例：比较和→通分（最小公倍数24）：和，所以；或化成小数：，，同样得出结论。 难点3：分数与小数互化的灵活运用 突破：记住常见分数与小数的对应值（如、、、等），提高互化速度；除不尽时，根据题目要求保留小数位数，或用循环小数表示。 四、易错点点拨（避陷阱·少失分） 1.混淆“分率”和“具体数量” 错：把3米长的绳子平均分成5段，每段占全长的米（分率带单位）、每段长（具体数量不带单位）。 对：每段占全长的（分率，无单位），每段长米（具体数量，带单位）。 2.假分数与带分数互化错误 错：（余数作分母，分母作余数）、（整数部分乘分子加分母）。 对：（余数1作分子，分母2不变）、（整数部分乘分母加分子）。 3.约分不彻底或改变分数大小 错：（未约成最简分数）、（正确）、（这是扩分，不是约分）。 对：约分的结果必须是最简分数，且只能同时除以公因数，不能乘公因数。 4.通分选择公分母不当或转化错误 错：通分和时，公分母选24（可选12，更简便）；（分母乘3，分子乘4，分数大小改变）。 对：通分优先选最小公倍数作公分母；转化时分子和分母必须乘相同的数，。 5.分数与小数互化错误 错：（正确）、（未注明近似，应写）、（未约分，应化成）。 对：除不尽的分数化成小数要注明近似值；小数化分数后必须约成最简分数。 6.比较分数大小时忽略分数类型 错：（未化成同分母或同分子，直接看分子分母）。 对：通分后，，所以；或化成小数，，再比较。 五、典型例题（课本原型·精讲精练） 例1：分数的意义（课本P52） 题目：用分数表示各图中的涂色部分，并说说每个分数的含义。 （图1：把1个圆平均分成4份，涂色1份；图2：把6个苹果平均分成3份，涂色2份） 解答：图1：，含义：把单位“1”（1个圆）平均分成4份，表示这样的1份； 图2：，含义：把单位“1”（6个苹果）平均分成3份，表示这样的2份。 点拨：单位“1”可指单个物体，也可指多个物体组成的整体，核心是“平均分”。 例2：分数与除法的关系（课本P53） 题目：把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？ 思路：根据分数与除法的关系，被除数÷除数=分数，3是被除数，4是除数。 解答：（块） 答：每人分得块。 点拨：这里的块是具体数量，带单位，区别于表示分率的。 例3：假分数与带分数互化（课本P55） 题目：把化成带分数，把化成假分数。 解答：（商2作整数部分，余数1作分子，分母3不变）； （整数部分×分母+分子作分子，分母不变）。 点拨：互化时要注意分子、分母、整数部分的对应关系，余数必须小于分母。 例4：分数的基本性质（课本P57） 题目：根据分数的基本性质，把和化成分母是12而大小不变的分数。 解答：（分子分母同时乘4）； （分子分母同时除以2）。 点拨：转化时要确保分子和分母乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。 例5：约分（课本P58） 题目：把约成最简分数。 思路：先找18和27的最大公因数9，再用9分别去除分子和分母。 解答：。 点拨：约分的最终结果必须是最简分数，分子和分母只有公因数1。 例6：通分与分数大小比较（课本P61） 题目：比较和的大小。 思路：先通分，找4和6的最小公倍数12，再转化为同分母分数比较。 解答：，； 因为，所以。 点拨：异分母分数比较大小，通分是最常用的方法，公分母优先选最小公倍数。 例7：分数与小数互化（课本P64） 题目：把、、化成小数；把0.35、1.2化成分数。 解答：；；； ；。 点拨：分数化小数用除法，小数化分数要注意约分，带小数要转化为带分数或假分数。 六、学习锦囊（巧学妙记·提分快） 1. 核心口诀 分数意义要记清，单位“1”是关键； 平均分后作分数，分子份数分母总； 分数单位看分母，几分之几就是谁； 分数除法互转化，分子被除数，分母除数； 基本性质要牢记，乘除相同（0除外），大小不变； 约分要约到最简，最大公因来帮忙； 通分先找公分母，最小公倍最简便； 分数大小比较时，同分母看分子，同分子看分母； 异分母先通分，转化后再比较； 分数小数互化时，除法乘法来帮忙，结果最简要记牢。 2. 解题小技巧 理解分数意义：画线段图或实物图，直观呈现单位“1”和分数对应的部分； 约分/通分：先判断分子分母的关系（互质、倍数），再选择最优方法，避免冗余计算； 分数与小数互化：熟记常见分数与小数的对应值，提高解题速度； 比较分数大小：灵活选择方法，分母小的优先通分，分母大的可化成小数比较。 3. 课后实践建议 1.制作“分数与小数互化对照表”，记录常见分数（如到）的小数形式，反复记忆； 2.整理错题本，重点记录“分率与具体数量混淆” “约分不彻底” “通分错误”等题型，标注错因； 3.生活中应用：如把蛋糕、水果平均分，用分数表示每份的量和分率，巩固分数意义。 七、真题小练（实战演练·当堂过关） 基础题 1．13平方分米是1平方米的，写成小数是（    ）平方米。37毫升是1升的，写成小数是（    ）升。 2．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( ) 3．六（1）有28名女生，有32名男生，男生占全班的( )，女生占全班的( )。 4．分数（为非零自然数），当( )时，它是真分数，当( )或等于时，它是假分数。（填“大于”或“小于”） 5．把4kg白糖平均分给7个人，每人分到这些白糖的( )，每人分到( )kg。 6．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 提升题 7．如果是假分数，是真分数（x是非零自然数），那么x的值为（    ）。 A．6 B．7 C．8 D．9 8．一根绳子分成甲乙两段，甲占全长的，乙长米，两段绳子相比较（    ）。 A．甲长 B．乙长 C．一样长 D．无法确定 9．如果（a、b均不为0），则（    ）。 A．a＝b B．a＞b C．a＜b D． 10．我国原有鱼类约2800种，由于环境污染等原因，现在比原来大约减少了，现在比原来少的鱼类是（    ）的。 A．原有鱼类 B．多的鱼类 C．现有鱼类 D．无法确定 11．两天运完一批货物，第一天运了总数的，第二天运了吨，两天相比，（    ）。 A．第一天运得多 B．第二天运得多 C．两天运得一样多 D．无法判断 12．把一根铁丝分成两段，第一段长米，第二段长度是铁丝原来长度的，两段的长度相比较，结果是（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长 拓展题 13．小刚统计了八月份的天气情况，其中晴天有20天，雨天有5天，晴天的天数占八月份总天数的几分之几？ 14．商场新进了数量相同的A、B、C三种玩具，根据AI智能小助手统计显示周日的销售情况如下： A类：售出总数的    B类：售出总数的     C类：售出总数的 如果你是商场经理，下次进货准备多进哪种玩具？请通过计算说明理由。 15．明明打算5天完成180道口算题，每天做的题数一样，已经做了3天，做了这些口算题的几分之几？还剩几分之几没做？ 16．泰州海陵区的老旧小区改造工程是暖心工程，在改造老旧小区的过程中，体育元素成为提高小区“颜值”、加深小区“内涵”、提升居民幸福感的新亮点。施工队在莲花小区新建了一个长方形运动场，长105米、宽60米。要在它的四周等距离栽树（四个角都要栽），最少要栽多少棵树？ 17．一本故事书有96页，小丽已经看了42页。小丽已经看的页数和未看的页数分别占总页数的几分之几？（用最简分数表示） 参考答案 1．； 0.13；； 0.037 分析：首先需要明确单位之间的换算关系，1平方米＝100平方分米，1升＝1000毫升。求13平方分米是1平方米的几分之几，就是用13÷100；求37毫升是1升的几分之几，就是用37÷1000。再将得到的分数化为小数即可。 详解：1平方米＝100平方分米 13÷100＝ ​＝0.13 1升＝1000毫升 37÷1000＝ ​＝0.037 2． ＜ ＞ 分析：本题考查分数比较大小的方法： （1）分母不同的分数比较：先通分，转化为同分母分数，再比较分子大小，分子大的分数大。 （2）带分数与真分数比较：带分数大于1，真分数小于1，因此带分数大于真分数。 详解：（1）比较和：先通分，将两个分数转化为分母是40的分数。 因为12＜15，所以＜，即＜。 （2）因为，，所以。 3． 分析：女生人数＋男生人数＝全班人数，将全班人数看作单位“1”，男生人数÷全班人数＝男生占全班的几分之几；女生人数÷全班人数＝女生占全班的几分之几。 详解：28＋32＝60（名） 32÷60＝＝ 28÷60＝＝ 男生占全班的，女生占全班的。 4． 小于 大于 分析：分子比分母小的分数叫真分数，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数，据此填空。 详解：分数（为非零自然数），当小于时，它是真分数，当大于或等于时，它是假分数。 5． 分析：解答这道题需理解：把单位“1”平均分成若干份，其中的1份或几份可以用分数表示。把4kg白糖平均分给7个人，每人分到这些白糖的几分之几，表示把单位“1”平均分成7份，其中的1份表示几分之几。每人分到几千克，则用总量除以人数即可。 详解：根据分析： 把4kg白糖平均分给7个人，每人分到这些白糖的。 所以，每人分到kg。 6． 8 分析：分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位。最小的质数是2，将2化成分母是5的假分数，求出两个分子的差，就是需要再添上的分数单位的个数。 详解：2＝、10－2＝8（个） 的分数单位是，再添上8个这样的分数单位就是最小的质数。 7．B 分析：真分数：分子小于分母的分数，根据 是真分数可知：x＜8；假分数：分子大于或等于分母的分数：根据是假分数可知：x≥7，据此解答。 详解：根据分析可知：x＜8且x≥7，且x是非零自然数，所以x的值为7。 8．A 分析：把这根绳子的长度看作单位“1”，甲段占全长的，则乙段占全长的（1），通过比较两段所占的分率即可确定哪段长。 详解：1 两段绳子相比较甲长。 9．B 分析：和相等的加法算式中，其中一个加数越大，对应的另一个加数越小。 详解： ＜，即＜，所以a＞b。 10．A 详解：把原有鱼类看作单位“1”。现在比原来少的鱼类是原有鱼类的。 11．A 分析：解答这道题需明确：第一天运了总数的，单位“1”是总数，则第二天运了总数的，比较与的大小即可。题目中“第二天运了吨”这一条件可以不使用。 详解：根据分析： 第一天运了总数的， 则，第二天运了总数的， 即第一天运的比第二天多。 故答案为：A 12．A 分析：把铁丝原来的总长度看作单位“1”，第二段占总长度的，那么第一段就占总长度的1－＝，比较两段的分率即可判断大小，米是干扰条件。 详解：1－＝ ＞ 所以，第一段更长。 故答案为：A 13． 分析：八月份有31天，求一个数占另一个数的几分之几就是用一个数除以另一个数，据此用晴天的天数除以总天数即可。 详解：20÷31＝ 答：晴天的天数占八月份总天数的。 14．C类玩具；理由见详解 分析：本题考查异分母分数大小比较的实际应用。 三种玩具初始数量相同，因此“售出总数的几分之几”直接反映销量多少——售出的分数越大，销量越高，下次进货需优先多进。 异分母分数比较大小，需通过“通分”（找到各分母的最小公倍数，将分数转化为同分母分数），依据“同分母分数，分子大的分数值大”进行比较； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。这是通分的核心依据。 详解： 因为，所以，即C类玩具售出数量最多。 答：下次进货准备多进C类玩具。 15．做了；还剩没做 分析：已知明明打算5天完成180道口算题，且每天做的题数一样，把这些口算题的总数看作单位“1”，可得每天做的题数占总题数的1÷5＝；那么3天做的题数为3个，即；单位“1”表示5个，那么还剩下5－3＝2个，即。 详解：1÷5＝ 做了3天，即3个，也就是做了 5－3＝2（个） 还剩2个，即没做。 答：做了这些口算题的，还剩没做。 16．22棵 分析：要使树最少，那么树的间隔距离应取长和宽的最大公因数，把105和60分解质因数后，把公有的相同质因数相乘得到的积就是105和60的最大公因数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形运动场四周总长度，再根据间隔数＝总长度÷单个间隔的距离，最后依据封闭型植树问题树的总数等于间隔数来求解。 详解：105＝3×5×7 60＝2×2×3×5 所以105和60的最大公因数：3×5＝15，即树的间隔距离为15米。 （105＋60）×2÷15 ＝165×2÷15 ＝330÷15 ＝22（棵） 答：要在它的四周等距离栽树（四个角都要栽），最少要栽22棵树。 17．； 分析：把总页数看作单位“1”，根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用已看的页数除以总页数，即可求出已看的页数占的分率，然后用1减去已看的页数占的分率，即可求出未看的页数占的分率。根据分数的基本性质将结果化成最简分数。 最简分数：分子和分母的最大公因数只有1，这时的分数是最简分数。 详解：42÷96＝ 1－＝ 答：小丽已经看的页数占总页数的，未看的页数占总页数的。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $