第四单元 比例（期中知识清单）六年级数学下学期（苏教版）

苏教版 第四单元 比例（知识清单） 适用对象：苏教版小学六年级下册数学 核心目标：理解比例的意义与基本性质，掌握正比例、反比例的判断方法，能运用比例知识解决实际问题（含图形放大缩小、比例尺应用），建立比例思维与数学建模能力 知识框架：核心概念→基础知识点→重难点突破→易错点点拨→典型例题→真题小练→学习锦囊 一、核心概念（理解本质·夯实基础） 概念 定义 关键特征/注意事项 比例 表示两个比相等的式子 由两个比值相等的比组成，形式为（或），内项之积等于外项之积 比例的项 组成比例的四个数，两端的两项叫外项，中间的两项叫内项 如中，外项是3和8，内项是4和6 正比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且比值（商）一定 关系式：（k为定值），图像是过原点的直线 反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且乘积一定 关系式：（k为定值），图像是曲线 比例尺 图上距离与实际距离的比 分为数值比例尺（如1:1000）和线段比例尺；计算时需统一单位 图形的放大与缩小 按一定比例改变图形的边长，不改变图形的形状，只改变大小 放大比例＞1，缩小比例＜1，对应边的比相等 二、基础知识点（精梳细理·全面掌握） 1. 比例的意义与基本性质 （1）比例的意义 判断两个比能否组成比例：计算两个比的比值，比值相等则能组成比例。 示例：和，比值都是，可组成比例。 （2）比例的基本性质 性质内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（交叉相乘相等）。 字母表示：若（、），则。 应用：① 检验比例是否成立；② 解比例（求比例中的未知项）。 （3）解比例 步骤：① 根据比例的基本性质，把比例转化为方程；② 解方程求出未知项。 示例：解比例→→。 2. 正比例与反比例的判断 （1）判断步骤 1.看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量是否随之变化）； 2.看变化规律：比值一定→正比例；乘积一定→反比例；无固定规律→不成比例。 （2）常见正比例与反比例关系 类型 正比例示例 反比例示例 数量关系 速度一定，路程与时间 路程一定，速度与时间 几何关系 正方形的边长与周长 长方形面积一定，长与宽 生活应用 单价一定，总价与数量 总价一定，单价与数量 （3）字母关系式对比 关系 关系式 关键特征 正比例 （定值） 商不变 反比例 （定值） 积不变 3. 比例尺的应用 （1）核心关系式 比例尺 = 图上距离:实际距离（或图上距离实际距离） 图上距离 = 实际距离×比例尺 实际距离 = 图上距离÷比例尺 （2）单位换算 常用单位：厘米（cm）、米（m）、千米（km） 换算关系：1km = 1000m = 100000cm，计算时需统一单位（通常转化为厘米）。 （3）比例尺类型 数值比例尺：如1:500000（表示图上1cm对应实际5km）； 线段比例尺：如（表示图上1cm对应实际5km）。 4. 图形的放大与缩小 （1）核心要求 放大/缩小比例：如按2:1放大，即各边长度变为原来的2倍；按1:3缩小，即各边长度变为原来的。 形状不变：对应角的度数不变，对应边的比相等。 （2）画图步骤 1.确定原图形的关键点（顶点、交点等）； 2.按比例计算关键点的对应坐标（或长度）； 3.顺次连接关键点，画出放大/缩小后的图形。 5. 比例的实际应用（用比例解决问题） （1）解题步骤 1.判断题目中的两种量成正比例还是反比例； 2.设未知量为x，根据比例关系列出比例式（或方程）； 3.解比例（或方程），检验并作答。 （2）典型场景 正比例应用：如“汽车3小时行180km，照这样计算，5小时行多少km？”（速度一定，路程与时间成正比例）； 反比例应用：如“一批货物，每车运5吨，需要12车运完，每车运6吨，需要多少车？”（总量一定，每车运量与车数成反比例）。 三、重难点突破（抓关键·破瓶颈） 重点1：比例的基本性质与解比例 关键：解比例的核心是“转化为方程”，利用外项积等于内项积，注意未知项的位置（可能是外项也可能是内项）。 示例：解比例→内项积，外项积→。 重点2：正比例与反比例的辨析 关键：抓住“比值一定”还是“乘积一定”，可通过写出关系式判断。 易错点：“正方形的面积与边长”不成比例（比值和乘积都不固定）；“正方形的周长与边长”成正比例（比值为4，定值）。 重点3：比例尺的实际计算 关键：单位统一是前提，若实际距离单位是千米，需转化为厘米（×100000）；数值比例尺的前项通常为1（缩小比例尺）。 示例：一幅地图比例尺1:200000，图上距离3cm，实际距离=3÷=600000cm=6km。 难点1：图形放大缩小的细节把握 突破：放大/缩小的是“边长”而非“面积”，面积比是边长比的平方（如按2:1放大，面积比为4:1）。 示例：一个长方形长2cm、宽1cm，按2:1放大后，长4cm、宽2cm，面积从2cm²变为8cm²（4倍关系）。 难点2：复杂比例问题的分析 突破：当题目中存在多个量时，先找出不变的量，再判断另外两种量的比例关系；遇到连比问题，可转化为单比再解题。 示例：“甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，求甲:乙:丙”→统一乙的份数（3和4的最小公倍数12），甲:乙=8:12，乙:丙=12:15，故甲:乙:丙=8:12:15。 四、易错点点拨（避陷阱·少失分） 1.混淆“比”与“比例” 错：认为“2:3是比例”（比例是两个比相等的式子，单独一个比不是比例）。 对：是比例，2:3是比，二者本质不同。 2.解比例时忽略“外项积=内项积” 错：解比例时，错误列式（混淆外项和内项）。 对：外项是2和6，内项是x和3，正确列式→。 3.正比例与反比例判断错误 错：认为“工作时间越长，工作总量越多”（未强调“工作效率一定”，不成比例）。 对：工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例；工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例。 4.比例尺计算单位不统一 错：实际距离5km，比例尺1:1000，图上距离=5×=0.005km（未转化为厘米）。 对：5km=500000cm，图上距离=500000×=500cm。 5.图形放大缩小后面积比错误 错：按3:1放大一个正方形，面积比为3:1（实际是边长比的平方，9:1）。 对：边长比为a:b，面积比为²²，体积比为³³。 五、典型例题（课本原型·精讲精练） 例1：比例的意义与基本性质（课本P35） 题目：下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6:10和9:15 （2）20:5和1:4 解答： （1）6:10=0.6，9:15=0.6，比值相等，可组成比例； （2）20:5=4，1:4=0.25，比值不相等，不能组成比例。 检验：用比例的基本性质验证（1）→6×15=90，10×9=90，外项积=内项积，比例成立。 例2：解比例（课本P36） 题目：解比例 解答： ① 内项积=外项积→； ② 化简右边→； ③ 解方程→。 答：。 例3：正比例的判断与应用（课本P40） 题目：一辆汽车在公路上行驶，行驶的路程和时间如下表，判断路程和时间是否成正比例，若成比例，当时间为7小时时，路程是多少千米？ 时间/小时 1 2 3 4 ... 路程/千米 80 160 240 320 ... 解答： ① 判断：，，，比值一定，成正比例； ② 设7小时行驶x千米→→。 答：路程和时间成正比例，7小时行驶560千米。 例4：比例尺的应用（课本P43） 题目：一幅地图的比例尺是1:5000000，量得甲、乙两地的图上距离是3.2厘米，求甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 解答： ① 统一单位：5000000cm=50km； ② 实际距离=图上距离×比例尺分母→3.2×50=160（km）。 答：甲、乙两地的实际距离是160千米。 例5：用比例解决问题（课本P45） 题目：工厂生产一批零件，计划每天生产150个，20天完成，实际每天生产200个，实际多少天完成？ 解答： ① 判断：工作总量一定，每天生产量与天数成反比例； ② 设实际x天完成→； ③ 解方程→。 答：实际15天完成。 六、学习锦囊（巧学妙记·提分快） 1. 核心口诀 比例意义要记清，两个比等才成立； 外项积等内项积，解比例时用这理； 正反比例看定量，商定正比积定反； 比例尺要统一单位，图实距离相互转； 图形放缩形状不变，边长比例要算准。 2. 解题小技巧 解比例：先找外项和内项，交叉相乘列方程，解方程时要细心； 判比例：先写关系式，再看商或积，定值则成比例，否则不成； 比例尺：“图上距” “实际距”，单位统一是关键，数值比例尺前项为1，线段比例尺转数值； 用比例解题：先判比例类型，再列比例式，最后检验答案是否符合实际。 3. 课后实践建议 1.绘制校园平面图：测量校园关键地点的实际距离，选择合适比例尺，画出平面图； 2.整理生活中的比例关系：记录3组正比例关系（如购物总价与数量）和3组反比例关系（如行程问题中的速度与时间）； 3.错题整理：重点记录“比例判断错误” “比例尺单位换算错误” “解比例格式错误”的题目，标注错因。 七、真题小练（实战演练·当堂过关） 基础题 1．甲、乙两地相距650千米，在一幅地图上量得两地的距离是13厘米，则这幅地图的比例尺是( )。 2．一个长是6厘米、宽是4厘米的长方形，把这个长方形的各边放大到原来的2倍，放大后的面积是原来面积的( )倍。 3．山羊和绵羊性情不同。若羊群中山羊和绵羊的比是3∶7，则生态平衡，假设某草原原本平衡的羊群中，山羊和绵羊各被狼吃掉了28只，如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充( )羊（填“山”或“绵”），补充( )只。 4．一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的( )倍，改写成数值比例尺是( )。 5．一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是( )。 6．平移和旋转不改变图形的( )和( )，但会改变图形的位置。图形的放大和缩小只改变( )。在轴对称变换中，对应点到对称轴的( )相等。 提升题 7．（    ）可以与组成比例。 A．2∶3 B．3∶2 C． 8．下面第（    ）组的两个比不能组成比例。 A．和 B．和 C．和 9．甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 10．比例尺10∶1是把原图（    ）。 A．放大到10倍 B．放大到9倍 C．缩小到10倍 D．保持不变 11．下面的式子中，（    ）是比例。 A． B． C． 12．把1∶5000000改写成线段比例尺是（    ）。 A． B． C． 拓展题 13．在比例尺1∶30000000的地图上，量得一条公路长4.2厘米，甲、乙两辆汽车从两头同时出发，相向而行，经过6小时相遇。甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 14．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是19.6厘米，一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发相向而行，3.5小时后两车相遇。已知快车和慢车的速度比是4∶3，这两辆车的速度各是多少？ 15．两列火车分别从济南、杭州两地同时相对开出，甲车每小时行125千米，乙车每小时行215千米。经过2.6小时两车相遇，那么在比例尺是1∶4000000的地图上，济南与杭州两地间的图上距离是多少厘米？ 16．妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 17．在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？ 参考答案 1．1∶5000000 分析：解题依据是比例尺等于图上距离比实际距离。我们首先要统一单位，把实际距离650千米换算成厘米，即65000000厘米，再用图上距离13厘米比实际距离65000000厘米，最后化简得到比例尺。 详解：650千米＝65000000厘米 13∶65000000 ＝（13÷13）∶（65000000÷13） ＝1∶5000000 所以，则这幅地图的比例尺是1∶5000000。 2．4 分析：先求出放大后长方形的长和宽，再利用“长方形的面积＝长×宽”求出原来和现在长方形的面积，最后求出现在长方形的面积除以原来长方形面积的商就是放大后长方形的面积扩大的倍数，据此解答。 详解：6×2＝12（厘米） 4×2＝8（厘米） （12×8）÷（6×4） ＝96÷24 ＝4 所以，放大后的面积是原来面积的4倍。 3． 山 16 分析：原本羊群中山羊和绵羊的比是3：7，生态平衡。各被吃掉28只后，山羊的比例减少的多，为了恢复3：7的比例，需要补充山羊。设原本山羊有3x只，绵羊有7x只。各被吃掉28只后，山羊剩下（3x－28）只，绵羊剩下（7x－28）只。设补充a只山羊，则新山羊数为（3x－28＋a）只，绵羊数为（7x－28）只。根据生态平衡时，山羊的只数∶绵羊的只数＝3∶7列比例方程解答。 详解：各被吃掉28只后，山羊的比例减少的多，为了恢复3：7的比例，需要补充山羊。 解：设原本山羊有3x只，绵羊有7x只。各被吃掉28只后，山羊剩下（3x－28）只，绵羊剩下（7x－28）只。设补充a只山羊，则新山羊数为（3x－28＋a）只，绵羊数为（7x－28）只。 （3x－28＋a）∶（7x－28）＝3∶7 7×（3x－28＋a）＝（7x－28）×3 21x－196＋7a＝21x－84 21x－196＋7a＋196＝21x－84＋196 21x＋7a＝21x＋112 21x＋7a－21x＝21x＋112－21x 7a＝112 7a÷7＝112÷7 a＝16 所以如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充山羊16只。 点睛：首先需要根据比的关系判断出需要补充哪一种羊，设未知数时根据比例关系设，最后根据生态平衡时的比是3∶7列比例方程解答。 4． 5000000 分析：根据线段比例尺可知图上1cm表示实际50km；50km＝5000000cm，用实际距离除以图上距离，求出实际距离是图上距离的几倍；根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离：实际距离，写出数值比例尺，据此解答。 详解：50km＝5000000cm 比例尺：1cm：50km＝1cm：5000000cm＝1：5000000 所以，一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的5000000倍，改写成数值比例尺是。 5．904.32 分析：已知AB与BC的比是，AB长6cm，设BC的长度为xcm，根据比例关系可得：，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得（cm）； 当以AB边为轴旋转一周时，BC边为旋转后所形成圆锥的底面半径，AB边为圆锥的高，所以圆锥的底面半径，高； 将，，代入公式可得：（cm³）。 详解：设BC的长度为xcm：        （cm³） 因此，一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是904.32。 6． 形状 大小 大小 距离 分析：平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同； 旋转是把图形绕着一点旋转一定的角度，并没有改变图形的形状、大小； 将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分可以完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在轴对称变换中，对应点到对称轴的距离相等。 图形的放大与缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大与缩小后所得图形与原图形相比形状相同、大小不同，据此解答。 详解：根据分析可得： 平移和旋转不改变图形的（形状）和（大小），但会改变图形的位置。图形的放大和缩小只改变（大小）。在轴对称变换中，对应点到对称轴的（距离）相等。 7．B 分析：根据比值相等的两个比，可以组成比例，由此计算出题干和各选项的比值之后，即可做出选择。 详解：。 A．2∶3＝2÷3＝。 B．3∶2＝3÷2＝。 C．。 所以3∶2可以与组成比例。 故答案为：B 8．A 分析：根据比例的定义，表示两个比相等的式子叫做比例。分别计算各个比的比值，若比值相等，则可以组成比例；若比值不相等，则不能组成比例，据此解答。 详解：A.，，，因此和不能组成比例； B.，，，因此和可以组成比例； C.，，，因此和可以组成比例。 故答案为：A 9．A 分析：根据题意，设乙加工零件为个。已知甲比乙多加工100个，则甲加工（＋100）个；已知丙∶乙＝3∶4，即丙加工零件个数是乙的，也就是丙加工个； 根据甲∶（乙＋丙）＝2∶3，列出比例方程，并求出方程的解，即乙加工零件的个数，进而求出甲、丙加工零件的个数； 最后把三人加工零件的个数相加，求出他们一共加工零件的总个数。 详解：解：设乙加工零件个，则甲加工零件为（＋100）个，丙加工零件为个。 （＋100）∶（＋）＝2∶3 2（＋）＝3（＋100） 2×＝3＋300 ＝3＋300 －3＝300 ＝300 ＝300÷ ＝300×2 ＝600 甲：600＋100＝700（个） 丙：600×＝450（个） 一共：700＋600＋450＝1750（个） 甲、乙、丙一共加工了1750个零件。 故答案为：A 点睛：根据甲、乙、丙加工零件个数之间的关系，用未知数表示甲、乙、丙加工零件的个数，再根据已知的比例式列出比例方程是解题的关键。 10．A 分析：比例尺的含义：图上距离∶实际距离＝比例尺，所以比例尺10∶1表示图上距离是实际距离的10倍，也就是将原图放大到10倍，据此分析即可。 详解：结合比例尺的含义知：比例尺10∶1表示把原图放大到10倍。 故答案为：A 11．B 分析：利用比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此验证三个选项里的比例是否成立即可。 详解：根据分析： A．6∶10＝，10×5＝50，6×3＝18，50和18不相等； B．，3×1＝3， ×30＝3，3和3相等； C．4×＝，3×＝，和不相等。 故答案为：B 12．C 分析：根据比例尺的意义可知1∶5000000表示图上1cm相当于实际距离5000000cm，根据进率“1km＝100000cm”把5000000cm换算成50km，据此转化成线段比例尺。 详解：5000000cm＝50km 即图上1cm相当于实际距离50km； 所以，把1∶5000000改写成线段比例尺是。 故答案为：C 13．120千米/时 分析：实际距离＝图上距离÷比例尺，1千米＝100000厘米，低级单位化高级单位除以进率，相遇问题：乙车速度＝总路程÷共同行驶时间－甲车速度。 详解：实际距离： 4.2÷ ＝4.2×30000000 ＝126000000（厘米） 126000000厘米＝126000000÷100000＝1260千米 乙车速度： 1260÷6－90 ＝210－90 ＝120（千米/时） 答：乙车的速度是120千米/时。 14．160千米/小时；120千米/小时 分析：根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用19.6÷列式计算求出实际距离是多少厘米，再把厘米化成千米，再根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出速度和，把快车和慢车的速度比看作份数比，用速度和除以总份数，求出1份是多少千米/小时，再分别乘快车和慢车的份数即可解答。 详解：19.6÷＝19.6×5000000＝98000000（厘米） 98000000厘米＝980千米 980÷3.5＝280（千米/小时） 280÷（4＋3） ＝280÷7 ＝40（千米/小时） 40×4＝160（千米/小时） 40×3＝120（千米/小时） 答：快车的速度是160千米/小时，慢车的速度是120千米/小时。 15．22.1厘米 分析：根据速度和×相遇时间＝路程，代入数据求出济南、杭州两地的路程是多少千米，再根据1千米＝100000厘米把千米化成厘米，根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据计算即可解答。 详解：（125＋215）×2.6 ＝340×2.6 ＝884（千米） 884千米＝88400000厘米 88400000×＝22.1（厘米） 答：济南与杭州两地间的图上距离是22.1厘米。 16．2000克 分析：根据题意，洗洁精∶清水＝1∶500，我们可以设清水为x克，然后列出关系式，即4∶x＝1∶500，从而通过解方程求得清水的克数。 详解：解：设要加清水x克。 4∶x＝1∶500 x＝4×500 x＝2000 答：要加清水2000克。 17．1.8小时 分析：图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米，用求出的距离除以进率100000即可换算为千米。 再根据“相遇时间＝路程÷速度和”用两地之间的距离除以速度和，即可求出两车行驶多少小时后途中相遇，据此解答。 详解：4.5÷＝4.5×4000000＝18000000（厘米） 18000000÷100000＝180（千米） 180÷（55.5＋44.5） ＝180÷100 ＝1.8（小时） 答：两车行驶1.8小时后途中相遇。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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