微专题 复数 课件-2026届高三数学二轮专题复习

板块七　非主干知识 微专题39　复　数 √ 1.(2025·新高考Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 由题意(1+5i)i=-5+i,其虚部为1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 一、单选题 13 14 √ 2.(2025·南通模拟)已知a,b∈R,a-2i=(b-i)i(i为虚数单位),则 A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2 D.a=1,b=2 a-2i=(b-i)i=bi-i2=1+bi, 故a=1,b=-2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 3.(2025·南昌模拟)设i为虚数单位,复数z的共轭复数为,若=,则z在复平面内对应的点位于第　　　　象限.  A.一 B.二 C.三 D.四 由题意得===1-2i, 所以z=1+2i,则z在复平面内对应的点位于第一象限,故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 4.(2025·北京延庆区模拟)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a= A.-1 B.1 C.-4 D.4 因为===-i为实数, 所以=0,解得a=-4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 5.(2025·北京卷)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|= A. B.2 C.4 D.8 由i·z+2=2i可得,z==2+2i, 所以|z|==2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 6.(2025·赣州模拟)已知复数z满足|z+1|=|z+3-2i|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则 A.x-y+3=0 B.x+y+3=0 C.5x-2y+6=0 D.5x+2y+6=0 z在复平面内对应的点为(x,y),则z=x+yi(x,y∈R), 由|z+1|=|z+3-2i|,得(x+1)2+y2=(x+3)2+(y-2)2, 化简得x-y+3=0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 7.(2025·安阳模拟)若复数z满足|z-1|=2,则在复平面内,复数z所对应的点组成的图形的周长为 A.π B.2π C.3π D.4π 设z=x+yi(x,y∈R), 由|z-1|=2,得(x-1)2+y2=4, 则在复平面内,复数z所对应的点组成的图形为以(1,0)为圆心,2为半径的圆, 故复数z所对应的点组成的图形的周长为2π×2=4π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 8.如图,正方形OABC中,点A对应的复数是3+5i,则顶点B对应的复数是 由题意得=(3,5),不妨设C点对应的复数为a+bi(a<0,b>0),则=(a,b), 由⊥,||=||, A.-2+8i B.2-8i C.-1+7i D.-2+7i 即C点对应的复数为-5+3i, 由=+得B点对应的复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 9.(2025·成都模拟)已知复数z1,z2的共轭复数分别为,,则下列命题为真命题的是 A.=+ B.= C.若z1-z2>0,则z1>z2 D.若|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2,则z1+z2=0 √ √ 设z1=a+bi,z2=c+di,且a,b,c,d∈R,则=a-bi,=c-di. 对于A,z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i,+=a+c-(b+d)i, 所以=a+c-(b+d)i,所以=+,故A正确; 对于B,==(ac-bd)-(bc+ad)i, =(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(bc+ad)i,故B正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 二、多选题 13 14 对于C,当z1=1+2i,z2=2i时,满足z1-z2=1>0,但不能得出z1>z2,故C错误; 对于D,|z1+z2|2=(z1+z2)()=(z1+z2)(+)=z1+z2+z1+z2 =|z1|2+|z2|2+z1+z2=|z1|2+|z2|2,故z1+z2=0,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 10.(2025·宁波模拟)已知复数z1,z2(z1z2≠0)在复平面内对应的向量分别为,(其中O为原点),则下列命题正确的是 A.若⊥,则|z1+z2|=|z1-z2| B.若|OZ1|=5,则|z1-2|的最小值为3 C.若(+)⊥(-),则z1=z2 D.若||>||,则z1>z2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于A,若⊥,则复平面内以有向线段为邻边的平行四边形是矩形, 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知,选项A正确; 对于B,若|OZ1|=5,则点Z1的轨迹是以O为圆心,以5为半径的圆, 设z1=5cos θ+5isin θ,θ∈[0,2π), 则|z1-2|= =, 因为-1≤cos θ≤1,可得|z1-2|min==3,故B正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于C,由(+)⊥(-), 可得(+)·(-)=0, 则-=0,即|z1|=|z2|, 取z1=1,z2=i,显然|z1|=|z2|,但z1≠z2,故C错误; 对于D,两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 11.(2025·咸阳模拟)已知复数z1,z2,则 A.若|z1|=|z2|,则z1=z2 B.若z1·=z2·,则|z1|=|z2| C.若z1·z2=0,则|z1-z2|=|z1+z2| D.若|z1|=|z2|,则|z1-1|=|z2+1| √ 对于A,D,当z1=1,z2=i时,|z1|=|z2|,但z1≠z2,故A错误; 又|z1-1|=0≠=|z2+1|,故D错误; 对于B,由|z1|2=z1·=z2·=|z2|2,可得|z1|=|z2|,故B正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于C,设z1=a+bi,z2=c+di,且a,b,c,d∈R, 由z1·z2=ac-bd+(ad+bc)i=0, 若b=0,则a=0或c=d=0; 若b≠0,则c=d=0. 当a=b=0,则|z1-z2|=|z2|=|z1+z2|, 当b=c=d=0,则|z1-z2|=|z1|=|z1+z2|, 当b≠0,c=d=0,则|z1-z2|=|z1|=|z1+z2|, 综上,|z1-z2|=|z1+z2|,故C正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 12.(2025·沈阳模拟)若复数z满足|z+2|+|z-2|=6,则复数z在复平面内对应点的轨迹的离心率为　　　　.  由|z+2|+|z-2|=6可得复数z在复平面内对应点的轨迹是以(-2,0),(2,0)为焦点,长轴长为6的椭圆, 所以c=2,a=3, 所以离心率为. 三、填空题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 13.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.  2 设z1=a+bi(a,b∈R), z2=c+di(c,d∈R), ∴z1+z2=a+c+(b+d)i=+i, 又|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4, ∴(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4, ∴ac+bd=-2, ∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|== ==2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 14.(2025·上海卷)已知复数z满足z2=()2,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值是　　　　.  2 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi, 由z2=()2,可得(a+bi)2=(a-bi)2, 即a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,故ab=0. 又|z|≤1可得≤1,即a2+b2≤1. 法一　当a=0时,b2≤1,|z-2-3i| =|-2+(b-3)i|=, 此时|z-2-3i|min==2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 当b=0时,a2≤1,|z-2-3i|=|a-2-3i|=, 此时|z-2-3i|min==. 当a=0,b=0时,|z-2-3i|=|-2-3i|==. 综上,|z-2-3i|的最小值为2. 法二　设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),其中x=0(-1≤y≤1)或y=0(-1≤x≤1),表示两条相交线段.|z-2-3i|表示z在复平面内对应的点与点(2,3)的距离,作出图形如图,结合图知,当z在复平面内对应的点为(0,1)时,|z-2-3i|取到最小值,为=2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 本课结束 相信自我，挑战自我，超越自我！ 得 可得则acd=bd2=-bc2, ∴ $