微专题 不等式 课件-2026届高三数学二轮专题复习

板块七　非主干知识 微专题38　不等式 √ 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax ∵x<a<0,∴x2>a2. ∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax. 又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2, ∴x2>ax>a2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 一、单选题 13 14 √ 2.(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是 A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 因为≥2,所以≥0, 解得-2≤x<1,故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 3.下列各式中最小值为2的是 A.y=t+(t>1) B.y=+ C.y=t+(t>1) D.y=t++1(t>0) A中,y=t+≥2,当且仅当t=1时等号成立,但等号取不到; B中,y=+≥2,当且仅当t=1时等号成立; C中,y=t+=t-1++1≥3,当且仅当(t-1)2=1,即t=2时等号成立; D中,y=t++1≥3,当且仅当t=1时等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 4.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 A.16 B.9 C.4 D.36 (1+x)(1+2y)≤==9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立,故所求最大值为9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 5.(2025·重庆诊断)已知a>1,b>1,且ab=4,则log2alog2b的最大值为 A. B.1 C.4 D.16 log2alog2b≤==1,当且仅当log2a=log2b=1,即a=b=2时取等号. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 6.(2025·北京延庆区模拟)设x,y∈R,且0<x<y<1,则 A.x2>y2 B.sin x>sin y C.4x>2y D.x+>y(2-y) 因为0<x<y<1, 对于A,取x=,y=,所以x2=<y2=,A错误; 对于B,取x=,y=,所以sin x=<sin y=,B错误; 对于C,取x=,y=,所以4x=<2y=,C错误; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于D,x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,所以x+>2. 因为0<y<1,2-y>0, 所以y(2-y)≤=1, 当且仅当y=1时取等号,所以y(2-y)<1, 所以x+>y(2-y),D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 7.(2025·南宁模拟)现使用一架两臂不等长的天平称中药,操作方法如下:先将 100 g的砝码放在天平左盘中,取出一些中药放在天平右盘中,使得天平平衡;再将100 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些中药放在天平左盘中,使得天平平衡,则两次实际称得的药品总重量 A.等于200 g B.大于200 g C.小于200 g D.以上都有可能 设天平左臂长为m,右臂长为n,m,n>0且m≠n,左盘放的药品为x1克,右盘放的药品为x2克, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 x=x1+x2=+≥2=200, 当且仅当m=n时,取到等号,而m≠n, 所以x>200.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 8.(2025·天津卷改编)若a,b∈R,∀x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为 A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 设t=2a+b,则b=t-2a,代入不等式,得tx2+(t-2a)x-a-1≤0需满足∀x∈[-2,2]恒成立. 不妨取x=-,得--a-1=--1≤0,解得t≥-4. 当t=-4时,原不等式可化为-4x2+(-4-2a)x-a-1≤0, 即-+a2≤0, 观察可知,当a=0时,-(2x+1)2≤0对x∈[-2,2]恒成立,当且仅当x=-时取等号,此时a=0,b=-4,说明t=-4时,a,b均可取到,满足题意. 所以2a+b的最小值为-4.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 9.(2025·茂名模拟)下列命题正确的是 A.若a>b,则a2>b2 B.若a<b<0,则b2<ab<a2 C.若a>b>0,>,则m<0 D.若2<a+b<3,-1<a-b<2,则3<3a+b<8 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 二、多选题 13 14 对于A,取a=1,b=-2,满足a>b,但是a2<b2,故A错误; 对于B,因为a<b<0,不等式两边同时乘以负数a,不等式方向改变,所以a2>ab, 不等式两边同时乘以负数b,不等式方向改变,所以ab>b2,所以b2<ab<a2,故B正确; 对于C,因为a>b>0,-===, 又因为>,所以>0, 而a>b>0,即b-a<0,m(a+m)<0, 所以m<0,故C正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于D,设3a+b=x(a+b)+y(a-b), 即3a+b=(x+y)a+(x-y)b, 所以3a+b=2(a+b)+(a-b), 又2<a+b<3,则4<2(a+b)<6, 且-1<a-b<2, 所以3<2(a+b)+(a-b)<8, 所以3<3a+b<8,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 10.(2025·郑州模拟)已知实数a,b满足ab>0,则 A.a+b<ab B.+≥2 C.若a>b,则< D.+≤ √ 对于A,当a=b=2时,a+b=ab=4,故A错误; 对于B,因ab>0,则>0,>0,则+≥2=2,等号成立时a2=b2,故B正确; 对于C,因a>b且ab>0,则-=<0,则<,故C正确; 对于D,取a=,b=,此时+=2+4=6>=4=,故D错误.故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 11.(2025·太原二模)已知b>a>1>c>0,则 A.ca>cb B.bc>ac C.> D.b+>a+ √ √ 对于A项,因为y=cx(0<c<1)是减函数,而b>a,所以ca>cb,故A项正确; 对于B项,因为y=xc(0<c<1)在(0,+∞)上单调递增,而b>a>0,所以bc>ac,故B项正确; 对于C项,-=,因为b>0,ln c<0,b-a>0,所以<0,即<,故C项错误; 对于D项,-=,因为b-a>0,ab-c>0,ab>0,所以>0,即b+>a+,故D项正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 12.(2025·潍坊二模)∀x∈R,|x-1|+|x+a|≥4,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  (-∞,-5]∪[3,+∞) 因为|x-1|+|x+a|≥|(x+a)-(x-1)|=|a+1|(当且仅当(x-1)(x+a)≤0时取等号), 又∀x∈R,|x-1|+|x+a|≥4,所以|a+1|≥4,则a+1≥4或a+1≤-4,解得a≥3或a≤-5, 即实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[3,+∞). 三、填空题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 13.(2025·兰州二模)已知实数x,y满足x2+y2-4x+2=0,则的最小值为　　　　.  3-2 因为x2+y2-4x+2=0, 所以(x-2)2+y2=2, 所以(x-2)2≤2,所以2-≤x≤2+. 因为x2+y2-4x+2=0,所以x2+y2=4x-2≤6+4,当x=2+时取等号, 所以=≥=3-2, 则的最小值为3-2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 14.(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+2sin x,若m>0,n>0,且f(2m)+f(n-2)=f(0),则+的最小值是　　　　.  4 因为f(x)=ex-e-x+2sin x, 所以f(-x)=e-x-ex+2sin(-x)=-(ex-e-x+2sin x)=-f(x), 且f'(x)=ex+e-x+2cos x≥2+2cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数且为增函数,f(0)=0. 由f(2m)+f(n-2)=0可得2m+n-2=0, 即为(2m+n)=1. 因为m,n>0,所以+=(2m+n)·=×≥4, 当且仅当m=,n=1时取等号. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 本课结束 曾经的苦，现在的痛，都是将来的笑颜！ 即≤0,所以 则解得x1=,x2=, 则解得x=2,y=1, $