微专题 切线与公切线问题 课件-2026届高三数学二轮专题复习

板块六　函数与导数 微专题31　切线与公切线问题 高考定位 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点,一般单独考查,难度较小,也可与函数的单调性、极值、最值综合考查,难度较大. 高考定位 【 真题体验 】 1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A. B. C. D. √ f'(x)=, 所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0, 切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),, 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=,故选A. 4 2.(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,则a=　　　　.  4 设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a相切于点(x0,+x0+a), 由y=ex+x+a得y'=ex+1, 所以y'=+1=2,解得x0=0, 所以切点坐标为(0,1+a), 又切点(0,1+a)在切线y=2x+5上, 所以1+a=5,解得a=4. 5 3.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  ln 2 由题意,令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1, 所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1. 令g(x)=ln(x+1)+a,则g'(x)=, 设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于点(x0,y0),则=2, 得x0=-,则y0=2x0+1=0, 所以0=ln+a,所以a=ln 2. 6 4.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　　.  (-∞,-4)∪(0,+∞) 因为y=(x+a)ex, 所以y'=(x+a+1)ex. 设切点为A(x0,(x0+a)),O为坐标原点, 依题意得,切线斜率 kOA=y'=(x0+a+1)=, 化简得+ax0-a=0. 7 因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线, 所以关于x0的方程+ax0-a=0有两个不同的根, 所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0, 所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞). 5.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　　, 　　　　　　　.  y=x y=-x 先求当x>0时,曲线y=ln x过原点的切线方程,设切点为(x0,y0), 则由y'=,得切线斜率为, 又切线的斜率为,所以=, 解得y0=1,代入y=ln x,得x0=e, 所以切线斜率为,切线方程为y=x. 9 同理可求得当x<0时的切线方程为y=-x. 综上可知,两条切线方程为 y=x,y=-x. 精准强化练 热点一　曲线的切线 热点二　曲线的公切线 热点突破 热点一　曲线的切线 导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. (3)切点既在切线上,又在曲线上. 12 √ (1)过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x-1相切的直线方程是 A.y=5x+1 B.y=2x+1　　　　C.y=x+1　　　　D.y=-2x+1 例1 f'(x)=3x2+2,点A不在曲线上, 设切点为(x0,+2x0-1), 则f'(x0)=3+2=, 解得x0=-1,得切点(-1,-4), 则k=f'(-1)=5,切线方程为y=5x+1. (2)(2025·佛山模拟)若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切,则a2+b2的最小值为　　.  设直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)的切点为(x0,y0). 对y=ln(x+b)求导, 可得y'=. 因为直线y=x+a的斜率为1, 由导数的几何意义可知,在切点处=1, 即x0=1-b. 又因为切点(x0,y0)既在直线上又在曲线上, 所以y0=x0+a且y0=ln(x0+b), 即ln(x0+b)=x0+a. 将x0=1-b代入ln(x0+b)=x0+a,可得 ln(1-b+b)=1-b+a,即a=b-1. 将a=b-1代入a2+b2,可得 a2+b2=(b-1)2+b2=2b2-2b+1=2+, 所以当b=,a=-时, a2+b2取得最小值为. 求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上,这个点都不一定是切点),应先设切点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程. 规律方法 (1)(2025·莆田二模)曲线y=xex-x在点P处的切线的斜率为-1,则P的坐标为 　　　　　.  训练1 y'=(x+1)ex-1, 令(x+1)ex-1=-1, 则(x+1)ex=0,故x=-1, 当x=-1时,y=-e-1-(-1)=1-, 即P的坐标为. 17 (2)过y轴上一点(0,a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线,则a的取值范围是　　　　　.  因为f(x)=x3+x2-x, 所以f'(x)=3x2+2x-1, 设切点为(x0,+-x0), 则切线方程y=(3+2x0-1)(x-x0)++-x0, 而切线过点(0,a),将点(0,a)代入方程得到a=-2-, 由题意,a=-2-有3个实根. 令g(x)=-2x3-x2,g'(x)=-6x2-2x, 令g'(x)<0,x∈∪(0,+∞),此时g(x)单调递减, 令g'(x)>0,x∈,此时g(x)单调递增, 故g(x)有极小值g=-,有极大值g(0)=0, 则得a∈. 热点二　曲线的公切线 导数中的公切线问题,重点是导数的几何意义,通过双变量的处理,从而转化为零点问题,主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养. 20 √ (1)若曲线y=ex-1与曲线y=a在公共点处有公共切线,则实数a= A. B.　　　　　　C.　　　　　　D. 例2 设公共点为P(s,t),y=ex-1的导数为y'=ex-1, 曲线y=ex-1在P(s,t)处的切线斜率k=es-1,y=a的导数为y'=, 曲线y=a在P(s,t)处的切线斜率k=, 因为两曲线在公共点P处有公共切线, 考向1　切点相同的公切线问题 所以es-1=,且t=es-1,t=a, 所以=a, 解得a=,故选A. √ (2)(2025·济南调研)若函数f(x)=acos x与g(x)=x2+bx+3图象在交点(0,m)处有公切线,则a+b+m= A.6 B.4　　　　　　C.3　　　　　　D.2 f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f(0)=a,g(0)=3,得a=m=3. 由于函数f(x)=acos x与g(x)=x2+bx+3图象在交点(0,m)处有公切线, 所以f'(0)=g'(0),即0=b, 所以a+b+m=3+0+3=6. 考向2　切点不同的公切线问题 例3 (1)若曲线y=在点(4,2)处的切线也是曲线y=aex的切线,则a= A. B.　　　　　　C. 　　　　　D. √ y=的导数y'=, 令x=4,则y'=, 所以曲线y=在点(4,2)处的切线方程为y-2=(x-4),即x-4y+4=0. y=aex的导数y'=aex, 设直线x-4y+4=0与曲线y=aex切于点(x0,a), 则曲线y=aex在点(x0,a)处的切线方程为y-a=a(x-x0), 即x-y+1-x0=0, (2)(2025·辽宁名校联考)若至少存在一条直线与曲线f(x)=2x2+3和g(x)=3-tln x(t≠0)均相切,则t的取值范围是　　　　　　　　.  [-4e,0)∪(0,+∞) f'(x)=4x,g'(x)=-, 设公切线与曲线y=f(x)切于点(x1,2+3), 与曲线y=g(x)切于点(x2,3-tln x2)(x2>0), 则切线方程分别为y=4x1x-2+3, y=-x+t+3-tln x2, 由①得=,代入②得t=8ln x2-8. 令h(x)=8x2ln x-8x2(x>0), 则h'(x)=8x(2ln x-1), 所以当0<x<时,h'(x)<0, 当x>时,h'(x)>0, 所以h(x)在区间(0,)内单调递减, 在区间(,+∞)内单调递增, 所以h(x)min=h()=-4e, 又当x→+∞时,h(x)→+∞, 所以h(x)的值域为[-4e,+∞), 所以t的取值范围是[-4e,0)∪(0,+∞). 求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,直线与抛物线相切可用判别式法. 规律方法 √ (1)若直线l是曲线y=ex-1与y=ex-1的公切线,则直线l的方程为 A.y=x-1 B.y=x　　　　C.y=x+1　　　　D.y=ex 训练2 由y=ex-1,得y'=ex-1, 由y=ex-1,得y'=ex. 设直线l与曲线y=ex-1切于点(x1,), 与曲线y=ex-1切于点(x2,-1), 则=,① 又=,② 由方程①②解得x1=1,x2=0, 所以直线l过点(1,1),斜率为1,即l的方程为y=x. 30 (2)已知曲线y=ln x与曲线y=a有唯一交点,且在交点处有相同的切线,则a=　　　　.  因为ln 1=0,a=0, 又曲线y=ln x与曲线y=a有唯一交点, 所以y=ln x与y=a的交点为(1,0), 因为(ln x)'=,所以y=ln x在(1,0)处的切线斜率为k=1, 又'=a, 则a+=1,解得a=. 【精准强化练】 √ 1.(2025·北京东城区模拟)曲线y=xln x在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A.4 B.3　　　　　　C.1　　　　　　D. 由y=xln x得y'=ln x+1, 故所求切线斜率为k=ln 1+1=1, 切点坐标为(1,0), 所以曲线y=xln x在x=1处的切线方程为y=x-1, 该切线交x轴于点(1,0),交y轴于点(0,-1), 因此,曲线y=xln x在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×12=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 一、单选题 13 14 √ 2.(2025·兰州模拟)若函数y=(e为自然对数的底数)的一条切线与x轴平行,则切点的坐标为 A.(1,0) B.(0,1) 　　　　C.(1,1) 　　　　D.(1,e) 设切点坐标为(x0,y0),函数y=, 所以y'=, 因为切线与x轴平行, 所以y'==0, 解得x0=0,y0===1, 故切点坐标为(0,1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 3.(2025·烟台模拟)已知A为抛物线y2=2px(p>0)上一点,若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(-2,0),则p的值为 A.1 B.2　　　　　　C.4　　　　　　D.8 不妨令m>0,由y=, 由y'==, 所以切点为A的直线斜率为k=1, 则切线为y=x+2,故m=+2, 又m2=2p×=p2, 即m=p(负值舍),则+2=p,得p=4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 4.(2025·合肥调研)曲线y=|ln(x+1)|在A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则+的值为 A.-1 B.0　　　　　　C.1　　　　　　D.e 所以由对称性不妨设x1<x2,两切线的斜率分别为k1,k2, 根据题意可得-1<x1<0<x2, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 则有k1=-,k2=, 此时k1k2=-1,得x1x2+x1+x2=0, 得+=-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 5.(2025·秦皇岛模拟)已知曲线C:y=ex+x在点P(x0,y0)处的切线l与直线l':y=2x-1平行,则l与l'之间的距离为 A. B.　　　　　　C.　　　　　　D. 由题意y'=ex+1, 切线l的斜率为2,则+1=2,得x0=0, 故y0=+x0=1, 故切线l的方程为y-1=2x, 即2x-y+1=0, 直线l':y=2x-1,即2x-y-1=0, 故两直线的距离为d==. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 6.(2025·长沙长郡中学质检)已知曲线y=ex在x=1处的切线l恰好与曲线y=a+ln x相切,则实数a的值为 A.1 B.2　　　　　　C.3　　　　　　D.4 由y=ex得y'=ex,又切点为(1,e), 故切线l的斜率为e,因此切线l的方程为y=ex. 设直线l与曲线y=a+ln x的切点为(x0,ex0), 对函数y=a+ln x求导得y'=,所以=e, 可得切点为, 所以a+ln =a-1=1,解得a=2.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 7.(2025·上饶调研)已知f(x)=x3+nx-52,g(x)=x2-3ln x,若直线x+y+m=0是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线,则m-n= A.-30 B.-25　　　　 C.26　　　　　　D.28 设直线x+y+m=0与曲线y=f(x)相切于点(a,-a-m), 与曲线y=g(x)相切于点(b,-b-m),b>0. 由g(x)=x2-3ln x得g'(x)=2x-, 又两曲线的公切线斜率为-1, 则2b-=-1, 解得b=1或b=-(舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 所以1-3ln 1=-1-m,解得m=-2. 由f(x)=x3+nx-52知f'(x)=3x2+n, 又两曲线的公切线斜率为-1, 则3a2+n=-1,即n=-3a2-1, 故a3-(3a2+1)a-52=-a+2, 整理得a3=-27,故a=-3, 所以n=-3a2-1=-28,故m-n=26. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 8.(2025·武汉质检)曲线y=(a>0)与y=ln x、y=ex分别交于A,B两点,设曲线y=ln x在A处的切线斜率为k1,y=ex在B处的切线斜率为k2,若k1+k2=,则a= A.2ln 2 B.2ln 3　　　　C.3ln 2　　　　D.3ln 3 因为y=ln x和y=ex互为反函数, 其图象关于直线y=x对称, 且反比例函数y=(a>0)的图象也关于直线y=x对称, 可知点A,B关于直线y=x对称, 设A(x0,ln x0),x0>1,则B(ln x0,x0), 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 设f(x)=ln x,g(x)=ex, 则f'(x)=,g'(x)=ex, 由题意可得k1+k2=+=+x0=, 解得x0=2或x0=(舍去), 可得A(2,ln 2),则=ln 2,所以a=2ln 2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 9.已知函数f(x)=ex,则下列结论正确的是 A.曲线y=f(x)的切线斜率可以是1 B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是-1 C.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条 D.过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条 √ 对于A,令f'(x)=ex=1,得x=0, 所以曲线y=f(x)的切线斜率可以是1, 故A正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 二、多选题 13 14 对于B,令f'(x)=ex=-1,无解, 所以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1, 故B错误; 对于C,因为点(0,1)在曲线上, 所以点(0,1)是切点,则f'(0)=1, 所以切线方程为y-1=x,即y=x+1, 所以过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条,故C正确; 对于D,因为点(0,0)不在曲线上, 所以设切点(x0,), 则切线方程为y-=(x-x0), 因为点(0,0)在切线上, 所以=x0,解得x0=1, 所以过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 10.(2025·太原调研)已知曲线f(x)=2x2+3x+4,g(x)=-ex+n,h(x)=-x+m,则 A.直线y=7x+2与曲线f(x)相切 B.若直线y=-x-4与曲线g(x)相切,则n=-3 C.当曲线h(x)与曲线f(x),g(x)都相切时,m+n=-1 D.当n=0时,若过原点可作曲线y=g(x)h(x)的两条切线,则m<0或m>4 √ √ A中,联立f(x)=2x2+3x+4和y=7x+2, 得x2-2x+1=0,Δ=0, 所以直线y=7x+2与曲线f(x)相切,故A正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B中,由g(x)=-ex+n,得g'(x)=-ex+n, C中,由f(x)=2x2+3x+4, 得f'(x)=4x+3, 令f'(x)=-1,得x=-1, 则f(-1)=2-3+4=3, 所以切线方程为y-3=-(x+1), 即y=-x+2,则m=2, 令g'(x)=-ex+n=-1, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 得x=-n,则g(-n)=-e0=-1, 所以切线方程为y+1=-(x+n), 即y=-x-n-1,则-n-1=2,n=-3, 所以m+n=-1,故C正确; D中,当n=0时,g(x)=-ex, 令t(x)=g(x)h(x)=-ex(-x+m), 则t'(x)=-ex(-x+m-1), 设过原点的直线与曲线t(x)切于点(x0,-(-x0+m)), 则切线方程为y+(-x0+m)=-(-x0+m-1)(x-x0), 将原点(0,0)代入得(-x0+m)=x0(-x0+m-1),整理得-mx0+m=0, 则Δ'=m2-4m>0, 解得m<0或m>4,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 11.已知O为坐标原点,曲线y=ln x在点P(x1,y1)处的切线与曲线y=ex相切于点Q(x2,y2),则 A.x1y2=1 B.+x2=0 C.·的最大值为0 D.当x2<0时,x1+x2>e2-2 √ 对于A,因为y=ln x,所以y'=, 又P(x1,ln x1), 所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率k1=,切线方程为y-ln x1=(x-x1), 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 即y=x-1+ln x1. 因为y=ex,所以y'=ex, 又Q(x2,),所以曲线y=ex在点Q处的切线的斜率k2=, 切线方程为y-=(x-x2), 即y=x+(1-x2). 由题意可知两切线重合, 所以x1=1,即x1y2=1,故A正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于B,当x1=1时,两切线不重合,不符合题意,所以x1≠1, 所以(1-x2)=(1-x2)=ln x1-1=ln -1=-x2-1, 所以-x1x2-x1=1-x2, 所以x1x2-x2+x1+1=0, 则+x2=0,故B正确; ·=x1x2+y1y2=x1(-ln x1)+(ln x1) =-x1ln x1+=ln x1, 当0<x1<1时,-x1>0,ln x1<0, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 则·<0, 当x1>1时,-x1<0,ln x1>0, 则·<0, 所以·<0,故C错误; 对于D,设f(x)=ex(1-x),x<0, 则f'(x)=-xex>0, 所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增, 当x→0-时,f(x)→1, 当x→-∞时,f(x)→0+, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 所以0<f(x)<1, 所以当x2<0时,0<(1-x2)<1, 所以0<ln x1-1<1,所以e<x1<e2, 记g(x)=x-ln x(e<x<e2), 则g'(x)=1-=>0, 所以函数g(x)在(e,e2)上单调递增, 当x→e2时,g(x)→e2-2, 则g(x)<e2-2,所以x1+x2=x1-ln x1<e2-2,故D错误.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 12.曲线y=ln(x-1)过点(1,0)的切线方程为　　　　　　　.  x-ey-1=0 设切点为(x0,ln(x0-1)), 则y'=,切线斜率为k=, 故切线方程为y=(x-x0)+ln(x0-1), 将(1,0)代入可得0=(1-x0)+ln(x0-1),解得x0=e+1, 故切线方程为y=(x-e-1)+1,即x-ey-1=0. 三、填空题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 13.(2025·成都二模)设函数f(x)=2x3+ax2+bx,若f(x)的图象过点P(1,3),且曲线y=f(x)在(0,0)处的切线也过点P,则a=　　　　.  -2 函数f(x)=2x3+ax2+bx, 求导得f'(x)=6x2+2ax+b, 则f'(0)=b,而f(0)=0, 因此曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=bx, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 14.(2025·嘉兴调研)若过点(2,m)可作出曲线f(x)=x3-3x的三条切线,则m的取值范围是　　　　.  (-6,2) f'(x)=3x2-3, 则过(t,f(t))的切线为y-f(t)=f'(t)(x-t),即y=(3t2-3)x-2t3. 由过点(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线得m=-2t3+6t2-6有3个不等实根. 令g(t)=2t3-6t2+6+m, g'(t)=6t2-12t,由g'(t)=0得t=0或t=2. 当t<0或t>2,g'(t)>0,g(t)单调递增; 当0<t<2,g'(t)<0,g(t)单调递减; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 故当t=0时,函数g(t)取得极大值为6+m; 当t=2时,函数g(t)取得极小值为m-2. 要使g(t)=0有3个不等实根, 则6+m>0,且m-2<0,即-6<m<2, 即所求m的取值范围是(-6,2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 所以即a=,解得s=, 所以解得a=. 所以 由y=|ln(x+1)|= 得y'= 由故B错误; 所以 依题意所以a=-2. $