微专题 抽象函数与嵌套函数 课件-2026届高三数学二轮专题复习

板块六　函数与导数 微专题28　抽象函数与嵌套函数 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用,难度中档偏上; 2.以选择题、填空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等,难度中档或偏上. 高考定位 【 真题体验 】 1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 A.[-1,1]∪[3,+∞) 　　　　　　　　B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) 　　　　　　　　D.[-1,0]∪[1,3] √ 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0. 又f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示. 当x≤0时,要满足xf(x-1)≥0, 则f(x-1)≤0,得-1≤x≤0. 4 当x>0时,要满足xf(x-1)≥0, 则f(x-1)≥0,得1≤x≤3. 故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 2.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则 A.f(0)=0　　　　　　　　　　B.g=0 C.f(-1)=f(4) 　　　　　　　　 D.g(-1)=g(2) √ √ 法一(转化法)　因为f,g(2+x)均为偶函数, 所以f=f, 即f=f,g(2+x)=g(2-x), 6 所以f(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x), 则f(-1)=f(4),故C正确; 函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=,x=2对称, 又g(x)=f'(x), 所以g=0,g(3-x)=-g(x), 所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x), 所以g(x+4)=-g(x+3), 所以g(x+2)=-g(x+1), 所以g(x+1)=-g(x), 所以g(x+2)=g(x). 所以g=g=0, g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误; 若函数f(x)满足题设条件, 则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件, 所以无法确定f(0)的函数值,故A错误. 法二(构造函数法)　令f(x)=1-sin πx, 则f=1+cos 2πx, 则g(x)=f'(x)=-πcos πx,g(x+2)=-πcos(2π+πx)=-πcos πx,满足题设条件,可得只有选项B,C正确. 3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 A.f(0)=0　　　　　　　　　　　　B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数　　　　　　　　　 D.x=0为f(x)的极小值点 √ √ √ 取x=y=0,则f(0)=0+0=0,故A正确; 取x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1), 所以f(1)=0,故B正确; 取x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1), 所以f(-1)=0; 9 取y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1), 所以f(-x)=f(x), 所以函数f(x)为偶函数,故C正确; 由于f(0)=0,且函数f(x)为偶函数, 所以函数f(x)的图象关于y轴对称, 所以x=0可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,故D不正确.综上,选ABC. 4.(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4) =7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= A.-21 B.-22　　　　　　C.-23　　　　　　D.-24 √ 由y=g(x)的图象关于直线x=2对称, 可得g(2+x)=g(2-x). 在f(x)+g(2-x)=5中,用-x替换x, 可得f(-x)+g(2+x)=5, 可得f(-x)=f(x). 11 在g(x)-f(x-4)=7中,用2-x替换x, 得g(2-x)=f(-x-2)+7, 代入f(x)+g(2-x)=5中, 得f(x)+f(-x-2)=-2, 可得f(x)+f(x+2)=-2, 所以f(x+2)+f(x+4)=-2, 所以f(x+4)=f(x), 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数. 由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5, 又g(2)=4,所以可得f(0)=1, 又f(x)+f(x+2)=-2, 所以f(0)+f(2)=-2, f(-1)+f(1)=-2, 得f(2)=-3,f(1)=f(-1)=-1, 又f(3)=f(-1)=-1, f(4)=f(0)=1, 所以f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24. 精准强化练 热点一　抽象函数 热点二　嵌套函数 热点突破 热点一　抽象函数 研究抽象函数性质的方法有 (1)用赋值法研究抽象函数; (2)利用数形结合法研究抽象函数; (3)利用函数性质之间的关系推理论证研究抽象函数. 15 设定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(1)=　　　　;f(2 026)=　　　　.  例1 2 2 027 令x=y=0,得f(1)=f(0)f(0)-f(0)+2=1-1+2=2. 令y=1,则f(x+1)=2f(x)-2-x+2 =2f(x)-x,即f(x+1)=2f(x)-x.① 又f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2, 令y=1代入, 得f(x+1)=2f(x)-f(x)-1+2, 即f(x+1)=f(x)+1.② 联立①②得f(x)=x+1, 所以f(1)=2,f(2 026)=2 027. 考向1　赋值法研究抽象函数 √ 已知定义在R上的函数f(x),g(x),其中f(x)满足f(-x)=f(x)且在(0,+∞)上单调递减,函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x)且在(1,+∞)上单调递减,设函数F(x)=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|],则对任意x∈R,均有 A.F(1-x)≥F(1+x) 　　　　　　　 　B.F(1-x)≤F(1+x) C.F(1-x2)≥F(1+x2) 　　　　　　　　D.F(1-x2)≤F(1+x2) 考向2　数形结合法研究抽象函数 例2 由题意,定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x), 则f(x)为R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增, 又函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x), 则函数g(x)关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增, 作出函数F(x)大致图象如图: 又F(x)=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]= ∵1+x2与1-x2关于x=1对称,结合函数图象可得F(1-x2)≥F(1+x2),故选C. 考向3　利用函数性质之间的关系推理论证 例3 √ (多选)(2025·保定检测)已知f(x+1)是奇函数,f(x)的图象关于直线x=-1对称,则下列结论正确的是 A.f(x)是周期为4的周期函数 B.f(x-5)为偶函数 C.f(x)的图象关于点(-3,0)对称 D.f(5)=0 √ √ 对于A,由题知f(x+1)为奇函数, 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称, 则f(-x)+f(2+x)=0,① 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称, 所以f(-x)=f(-2+x),② 将②代入①可得f(-2+x)+f(2+x)=0, 将x换为2+x代入上式有f(x)+f(x+4)=0,③ 再将x换为x+4代入③式有f(x+4)+f(x+8)=0,④ 由④-③可得f(x)=f(x+8), 所以f(x)是周期为8的周期函数, 同时,由③知f(x+4)=-f(x),故A错误; 对于B,因为f(x)的图象关于直线x=-1对称且周期为8, 所以f(-x-5)=f(3+x)=f(x-5), 所以f(x-5)为偶函数,故B正确; 对于C,由f(-x+1)=-f(x+1)及f(x)的周期为8,可知f(-x-3)=-f(x+5)=-f(x-3), 所以f(x)的图象关于点(-3,0)对称,故C正确; 对于D,因为f(x+1)+f(-x+1)=0, 取x=0可得f(1)=0,所以f(5)=f(-3)=f(1)=0,故D正确. 1.求抽象函数在特定点的函数值、最值以及解析式,或判断函数的单调性、奇偶性及周期性,往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值,构造出所需要的条件,其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用. 2.通过作草图使抽象函数形象化,根据奇偶性、周期性等性质画出示意图,摘取有效信息,结合图象解题. 3.函数的对称轴、对称中心及周期性,三者已知其中两个可推出另外一个. 规律方法 √ (1)(2025·南宁模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且当x>0时,f(x)>0,则 A.f(0)=1　　　　　　　　　　 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是增函数　　　　　　　　D.f(x)是周期函数 训练1 对于A,令x=y=0, 则f2(0)=f2(0)-f2(0),得f(0)=0,故A错误; 对于B,令x=0,得f(y)f(-y)=f2(0)-f2(y), 由f(0)=0整理可得f(y)[f(-y)+f(y)]=0, 23 将y变换为-y, 则f(-y)[f(y)+f(-y)]=0, 故[f(y)+f(-y)]2=0, 故f(-y)+f(y)=0, 故f(x)是奇函数,故B错误; 对于C,设x2>x1>0,则f(x2)>0, f(x1)>0,且f(x2+x1)>0,f(x2-x1)>0, 则f2(x2)-f2(x1)=f(x2+x1)f(x2-x1)>0, 故f(x2)-f(x1)>0,则f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(0)=0,f(x)是奇函数, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增. 故f(x)是增函数,故C正确; 对于D,由f(x)是增函数可得f(x)不是周期函数,故D错误.故选C. √ (2)(多选)(2025·安徽名校联考)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,则 A.f(-x)+f(x)=0　　　　　　　　B.f(2 025)=1 C.g(2 025)=-1　　　　　　　　D.f(k)=2 025 √ 由题意知f(x)-4=g(2+x), g(2+x)=g(2-x), 所以f(x)-4=f(-x)-4, 所以f(x)=f(-x),所以A错误; 因为f(x)的图象关于点(1,1)中心对称, 所以f(1)=1,f(x+2)+f(-x)=2, 所以f(x+4)+f(-x-2)=2, 又因为f(x+2)=f(-x-2), 所以f(x+4)=f(-x)=f(x), 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, 所以f(2 025)=f(1)=1,所以B正确; 由g(2 025)=f(2 023)-4=f(-1)-4=f(1)-4=-3,所以C错误; 因为f(1)=1,且f(0)=4+g(2)=7, 所以f(2)=2-f(0)=2-7=-5, f(3)=f(-1)=f(1)=1, f(4)=f(0)=7, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4, 所以f(k)=f(k)+f(2 025)=506×4+1=2025,所以D正确. 热点二　嵌套函数 1.嵌套函数形式:形如f(g(x))). 2.常见的嵌套函数有两个类型:(1)嵌套函数自身互嵌型:f(f(x));(2)嵌套函数双函数互嵌型:f(g(x)). 29 √ 例4 令f(x)=t,则f(t)=, 画出函数f(x)的图象,如图(1)所示: A.4 B.8　　　　　　C.10　　　　　　D.12 由图象可知,0<t1<1,1<t2<2,2<t3<3,t4>3, 考向1　判断零点的个数 作出f(x)=t的图象,如图(2)所示: 由图象可知,y=t1,y=t2,y=t3,y=t4与y=f(x)的图象,一共有10个交点, 即方程f(f(x))=的实根个数为10. √ 由g(x)=2[f(x)]2-3f(x)-2=0, 得f(x)=2或f(x)=-. 当x≥0时,f'(x)=12x2-12x=12x(x-1), 所以当x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)单调递减; A.2 B.3　　　　　　C.4　　　　　　D.5 当x∈(1,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以x=1时,f(x)有极小值f(1)=4-6+1=-1. 又x<0时,f(x)=ex, 画出函数f(x)的大致图象如图所示, 由图可知:函数g(x)=2[f(x)]2-3f(x)-2的零点个数为3. 考向2　根据零点个数求参数 √ 已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是 A.(1,4) B.(1,4] 　　　　　　C.[1,4) 　　　　　　D.[1,4] 当x<0时,f(x)>0,则f(f(x))=f(-x+1)=(-x+1)2-3=x2-2x-2, 当0≤x<时,f(x)<0, 则f(f(x))=f(x2-3)=-x2+4, 例5 当x≥时,f(x)≥0,f(f(x))=f(x2-3)=x4-6x2+6, 所以f(f(x))= 当x≥时,y=x4-6x2+6=-3, 因为t=x2-3单调递增,且t≥0时y=t2-3单调递增, 所以y=-3在[,+∞)单调递增,且ymin=-3, 故画出函数y=f(f(x))图象如图所示, 函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点等价于y=f(f(x))和y=k有3个不同的交点, 所以由图象可得1<k≤4. 1.破解嵌套函数零点个数的主要步骤: 第一步:换元解套,将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t=g(x)与y=f(t)的零点问题. 第二步:依次求解:令f(t)=0求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数. 2.含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”,结合性质、图象抓临界位置,确定参数取值范围. 规律方法 √ 训练2 令[f(x)]2-5f(x)+6=0,则有f(x)=2或f(x)=3, 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 因为直线y=2与y=f(x)的图象有3个交点,直线y=3与y=f(x)的图象有4个交点, 所以原方程有7个解. 37 令f(x)=t,则方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0可化为t2-(a+2)t+3=0. 由图可知,当t∈(1,2]时,y=f(x)与y=t有3个交点, 要使关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰好有六个不同的实数解, 则方程t2-(a+2)t+3=0在(1,2]内有两个不同实数根, ∴ 解得2-2<a≤, ∴实数a的取值范围为. 【精准强化练】 √ 1.已知函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(1-x)=-f(x),若f=,则f= A.- B.　　　　　　C.　　　　　　D.- 由f(1-x)=-f(x),用1+x代x,得f(-x)=-f(1+x), 又f(-x)=f(x),所以f(1+x)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 故f(x)的周期为2,所以f=f=f=f=-f=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 一、单选题 13 14 √ 2.(2025·重庆诊断)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)-1为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,若f(2 025)=2,则f(3)= A.1 B.-1　　　　　　C.0　　　　　　D.-3 因为函数f(x)的定义域为R,y=f(x)-1为奇函数, y=f(x+1)为偶函数,所以f(-x)-1+f(x)-1=0,f(-x+1)=f(x+1), 所以f(-x)+f(x)=2,f(-x)=f(x+2), 所以f(x+2)+f(x)=2, 所以f(x+4)+f(x+2)=2,所以f(x+4)-f(x)=0, 即f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期为T=4, 所以f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)=2, 又f(1)+f(3)=2,得f(3)=0,故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,f(1)=f(4)=0,当0<x<2时,f(x)单调递减,当x>2时,f(x)单调递增,则不等式≤0的解集为 A.(-∞,-1]∪[0,3]∪[4,+∞) 　　　　　　　　 B.[-4,-1]∪(0,1]∪(3,4] C.(-∞,-4]∪[-1,1]∪(3,+∞) 　　　　　　　　D.[-4,-1]∪[0,1]∪(3,4] 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0. 又f(1)=f(4)=0,所以f(-1)=f(-4)=0. 根据题意作出f(x)的大致图象如图所示, 由图可得x∈[-4,-1]∪[0,1]∪(3,4]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ A.2 B.3　　　　　　C.4　　　　　　D.6 令t=f(x),则函数y=f[f(x)]-1的零点满足f(t)-1=0,即f(t)=1, 所以t=,t=,t=-1, 当t=时,则f(x)=,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=的根有3个; 当t=时,则f(x)=,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=的根有1个; 当t=-1时,则f(x)=-1,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=-1的根有0个; 综上可得,函数y=f[f(x)]-1的零点的个数是4个. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 5.(2025·北京海淀区调研)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y)-[f(x)+f(y)]= 2 025,则下列说法正确的是 A.f(x)是偶函数　　　　　　　　　　 B.f(x)是奇函数 C.f(x)+2 025是奇函数　　　　　　　　D.f(x)+2 025是偶函数 因为f(x+y)-[f(x)+f(y)]=2 025, 所以令x=y=0,可得f(0)=-2 025, 令y=-x,则f(0)-f(x)-f(-x)=2 025, 所以f(-x)=-f(x)-4 050, 则f(x)既不是奇函数也不是偶函数, 且f(-x)+2 025=-[f(x)+2 025], 所以f(x)+2 025是奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 6.(2025·西安调研)已知f(x)是定义在R上的函数,且有f(x+1)=f(x)+1,当0<x≤1时,f(x)=3x+1,则方程f(x)=4的根的个数为 A.1 B.2　　　　　　C.3　　　　　　D.4 f(x)是定义在R上的函数, 且有f(x+1)=f(x)+1,当0<x≤1时,f(x)=3x+1, 则-1<x≤0时,0<x+1≤1,则f(x)=f(x+1)-1=3x+3, 1<x≤2时,0<x-1≤1,f(x)=f(x-1)+1=3x-1, 2<x≤3时,0<x-2≤1,f(x)=f(x-2)+2=3x-3, 3<x≤4时,0<x-3≤1,f(x)=f(x-3)+3=3x-5, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 画出函数f(x)与y=4的图象, 由图象可知方程f(x)=4的根的个数为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 7.(2025·九江模拟)定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x∈R,都有f(2+x)=f(1)- f(-x);②f(2x)的图象关于直线x=1对称;③f(2)=1,f=.则下列说法正确的是 A.f(x+2)是奇函数　　　　　　　　B.f(x+1)是偶函数 C.f=-　　　　　　　　　　D.f=0 令x=-1,得f(2-1)=f(1)-f(1)=0, 即f(1)=0,∴f(2+x)+f(-x)=0, 故函数f(x)的图象关于(1,0)对称. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 又∵f(2x)的图象关于直线x=1对称, 故f(2x)=f(2(2-x))=f(4-2x), ∴f(x)的图象关于直线x=2对称. f(x)=f(4-x)=-f(-2+x)=f(x-4), ∴f(x)是以4为周期的周期函数. 对于A,f(x+2)的图象是将f(x)的图象向左平移2个单位,故f(x+2)的图象关于y轴对称,f(x+2)是偶函数,故A错误; 对于B,f(x+1)的图象是将f(x)的图象向左平移1个单位,故f(x+1)的图象关于原点对称,f(x+1)是奇函数,故B错误; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于C,由f(2+x)+f(-x)=0,得f+f=0; 由f(-x+2)=f(x+2),得f=f, ∴f=-f=-,故C正确; 对于D,依题意,得f=-,f(1)=0,f=,f(2)=1,f=,f(3)=0,f=-,f(4)=-1, ∴f=0, ∴f=f=-,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ A.6 B.7　　　　　　C.10　　　　　　D.11 当x≤0时f(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1, 所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,且f(-1)=1,f(0)=f(-2)=2; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, 又f(e-2)=f(e2)=2;作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 令f(x)-2=t,则有f(t)=2,易得此时有4个解,分别为t1=-2,t2=0,t3=e-2,t4=e2, 结合图象可得: 当t=-2时,即f(x)=0,此时有1个解; 当t=0,即f(x)=2时,有4个解; 当t=e-2,即f(x)=2+e-2有3个解; 当t=e2,即f(x)=2+e2有3个解; 所以原方程共有1+4+3+3=11个解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 9.(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)≠0,若f(xy)=yf(x),则 A.f(0)=0　　　　　　　　　　　　B.f(x)是奇函数 C.f(x)是增函数　　　　　　　　　 D.f(x)+f(2x)=f(3x) √ √ 对于B,令y=-1,由题设可知f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数,故B正确; 对于A,又f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,故A正确; 对于C,不妨取f(x)=-x,则满足f(xy)=yf(x),且f(1)≠0,f(x)为减函数,故C错误; 对于D,令y=2,则f(2x)=2f(x);令y=3,则f(3x)=3f(x), 故f(x)+f(2x)=f(x)+2f(x)=3f(x)=f(3x),故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 二、多选题 13 14 √ 10.(2025·南京质检)已知函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(1)≠0,那么 A.f(0)=1　　　　　　　　　　　　　 B.f(1)=2 C.f(-x)=f(x) 　　　　　　　　　　　　D.若f(π)=,则f(x+2π)=f(x) √ 对于A,令x=1,y=0, f(1)+f(1)=2f(1)f(0), 因为f(1)≠0,所以f(0)=1,故A正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 设f(x)=cos x,则f(x+y)+f(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y) =cos xcos y-sin xsin y+cos xcos y+sin xsin y =2cos xcos y=2f(x)f(y) 显然满足条件,但是f(1)=cos 1≠2,故B错误; 对于C,令x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(y)=f(-y), 又y∈R,所以f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),故C正确; 对于D,设f(x)=cos ,类似B中推导,可知满足题设条件, 但最小正周期是6π,故D错误,故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 11.(2025·湛江模拟)设定义在R上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足f(x)+g'(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4,若g(x)为奇函数,则下列结论一定成立的有 A.f(2)+f(4)=8 B.f(2 025)=4 C.f(n)=8 100 D.g'(4)=0 √ √ 由f(x)+g'(x)=4, 得f(x-1)+g'(x-1)=4. 又f(x-1)-g'(3-x)=4, 所以g'(x-1)=-g'(3-x), 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 即g'(x)=-g'(2-x), 所以g'(x)关于(1,0)对称,g'(1)=0. 又因为g(x)是奇函数,故g'(x)是偶函数, 所以g'(x)满足条件g'(x+4)=g'(x). 对于A,因为g'(4)=-g'(-2)=-g'(2), 所以g'(4)+g'(2)=0, 所以f(2)+f(4)=4-g'(2)+4-g'(4)=8-[g'(4)+g'(2)]=8,A正确; f(2 025)=4-g'(2 025)=4-g'(1)=4,B正确; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 因为g'(3)=-g'(-1)=-g'(1)=0, 所以g'(1)+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0, 所以f(n)=4×2 025-g'(n)=8 100-g'(2 025)=8 100-g'(1)=8 100,C正确; 对于D,g'(4)=g'(0),但不一定为0,D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 12.奇函数f(x)满足f(4-x)=f(x),f(1)=1,则f(5)=　　　　.  -1 由f(4-x)=f(x)可得f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以f(5)=f(-1)=-f(1)=-1. 三、填空题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 13.(2025·湖州质检)已知f(x)是定义在R上的函数,若对任意x∈R,都有f(x+8)= f(x)+f(4),且函数f(x-2)的图象关于直线x=2对称,f(1)=3,则f(2 025)=　　　　.  3 因为函数f(x-2)的图象关于直线x=2对称, 所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称, 即函数f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x); 因为对任意x∈R,都有f(x+8)=f(x)+f(4), 令x=-4,得f(-4+8)=f(-4)+f(4),得f(-4)=f(4)=0, 所以对任意x∈R,都有f(x+8)=f(x)+f(4)=f(x), 即函数f(x)的周期为8,则f(2 025)=f(253×8+1)=f(1)=3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 (2-,2-]∪(1,2+] 如图,作出函数y=x2-4x+2,y=2x的图象, 令t=f(x), 则f(t)=2, 当0<a≤1时,由f(t)=2,得t=0或t=1,即f(x)=0或f(x)=1, 若方程f(x)=1只有一个解, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 若方程f(x)=0只有一个解, 此时方程f(x)=1必有解,与题意矛盾, 所以a∉(2-,1]; 当1<a<4时,由f(t)=2,得t=0, 即f(x)=0, 令x2-4x+2=0,解得x=2±, 要使方程f(x)=0只有一个解, 综上所述,a的取值范围是(2-,2-]∪(1,2+]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 (1)已知函数f(x)=则方程f(f(x))=的实根个数为 (2)已知函数f(x)=则函数g(x)=2[f(x)]2-3f(x)-2的零点个数为 (1)(2025·毕节模拟)若函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6的零点个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 (2)设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰好有六个不同的实数解,则实数a的取值范围为　　　　　　.  画出函数f(x)=的图象如图所示, ≤0等价于 作出函数f(x)=的大致图象,如图, 4.设函数f(x)=则函数y=f[f(x)]-1的零点的个数是 因为f(x)= 当x>0时f(x)=|ln x|= 8.(2025·成都诊断)已知函数f(x)=则方程f(f(x)-2)=2实数根的个数为 则解得2-<a≤2-; 14.已知函数f(x)=其中0<a<4.若方程f(f(x))=2有且只有一个解,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  则解得2-<a≤1, 则解得1<a≤2+, $