20.2.2 勾股逆定理的应用课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 20.2.2 勾股逆定理的应用 学习目标 1.熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 2.学会将实际问题构建成数学模型，并运用勾股定理的逆定理解决. 重点：解决实际问题 难点：构建成数学模型 复习导入 (2)等腰△ ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高 是 cm. 8 (1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形， 是最大角. 直角 ∠A 填一填： 典例解析 题型1 勾股逆定理的应用 1 2 例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 问题1：认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 16×1.5=24 12×1.5=18 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 实质是要求出两艘船航向所成角. 问题2: 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 勾股定理逆定理 针对训练 1.如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2， ∵ BC·AB= AC·BD，∴ BD= 在Rt△BCD中， 又∵该船只的速度为12.8海里/时， 6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）， ∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 典例解析 题型1 勾股逆定理的应用 例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 图 在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 针对练习 2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格． 典例解析 题型2 勾股逆定理的几何应用 例3：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. A D B C 3 4 13 12 解：连接AC. 在Rt△ABC中， 在△ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形， 且∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. 针对练习 3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积. D C B A 解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm. ∴ AC=5 cm. 又∵ ∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角. ∴ 典例解析 题型2 勾股逆定理的几何应用 例4：如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的面积． （1）证明：∵CD=1，BC＝ 5 ，BD=2， ∴CD2+BD2=BC2， ∴△BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2， ∴x2=(x-1)2+22， 解得 针对练习 4.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC．由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B三点在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB=6.5 km，CD=6 km，BD=2.5 km． （1）求证：CD⊥AB； （2）求原来的路线AC的长． （1）证明：∵62＋2.52=6.52， ∴CD2＋BD2=CB2， ∴∠CDB=90°，即CD⊥AB． （2）解：设AC=x km，则AD=（x－2.5）km． ∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD2＋AD2=AC2， 即62＋（x－2.5）2=x2，解得x=8.45. 答：原来的路线AC的长为8.45 km． 典例解析 题型3 几何综合 例5：如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，连接CA，BD． （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）连接BC，若OC＝1，AC=√7，BC＝3 ①判断△CDB的形状． ②求∠ACO的度数． 针对训练 5.如图，A（0，m），B（n，0），满足 （1）求点A，点B的坐标； （2）点P是第二象限内一点，过点A作 AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC， AC，CO之间的数量关系并证明． （3）在（2）的条件下， ∠POC＝∠APC，PA＝4，求PB的长． 归纳总结 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 作业布置 课堂作业:P38习题20.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $