微专题 定值问题 课件-2026届高三数学二轮专题复习

板块五　平面解析几何 微专题25　定值问题 高考定位 在解析几何题目中,有些几何量与参数无关,这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题,难度较大,一般作为压轴题出现. 高考定位 精准强化练 难点突破 (2020·新高考Ⅰ卷改编)已知椭圆C:+=1,点A(2,1),M,N均在椭圆C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 高考真题 设M(x1,y1),N(x2,y2). 若直线MN与x轴不垂直, 设直线MN的方程为y=kx+m, 代入+=1, 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0. 4 于是x1+x2=-,x1x2=.① 由AM⊥AN,得·=0, 故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0, 整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0. 将①代入上式,可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0, 整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0. 所以m=1-2k或m=-, 5 当m=1-2k时,直线MN方程为y=k(x-2)+1过定点A(2,1),不符合题意,舍去, 当m=-时,直线MN方程为y=k-,设该点为P. 因为AD⊥MN,所以点D在以AP为直径的圆上,故当点Q为AP的中点,即Q时,|DQ|=|AP|=为定值; 若直线MN与x轴垂直, 可得N(x1,-y1).由·=0, 得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0. 6 又+=1,所以3-8x1+4=0. 解得x1=2(舍去),或x1=. 所以D,此时|DQ|==,为定值. 综上,存在点Q,使得|DQ|为定值. 7 (2025·北京平谷区模拟改编)已知椭圆C:+y2=1,斜率为k的直线l与椭圆C交于A,B两点,与y轴交于点E,点A关于y轴的对称点为点D,直线BD与y轴交于点G,O为坐标原点,证明:|OE|·|OG|为定值. 样题1 设直线l的方程为y=kx+m(m≠0), A(x1,y1),B(x2,y2). 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 所以Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0, 即4k2-m2+1>0. 由根与系数的关系得x1+x2=-, x1x2=, 易知E(0,m),D(-x1,y1), 直线BD的方程为y-y2=(x-x2), 令x=0,得yG=-+y2=,① 9 又因为y1=kx1+m,y2=kx2+m, 代入①式得,yG===, 所以|OE|·|OG|=|yE|·|yG|=|m|·||=1. 所以|OE|·|OG|为定值. 10 (2025·厦门调研改编)已知椭圆C:+=1,其左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的动点,延长线段PF1,PF2分别交C于Q,M两点,连接QF2,并延长线段QF2交C于另一点N,若直线PQ和MN的斜率均存在,且分别为k1,k2,试判断是否为定值.若是,求出该定值;若不是,说明理由. 样题2 是定值,理由如下: 易得F1(-1,0),F2(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4), 又P,Q,F1三点共线,所以=,化简得x1y2-x2y1=y1-y2, 11 则直线PF2的方程为x=y+1, 直线QF2的方程为x=y+1, (2x1-5)y2-2(x1-1)y1y+3=0, 由根与系数关系可知,y1y3=, 所以y3=,x3=y3+1=, 同理y4=,x4=, 又k1=,k2=== = =×=×k1, 所以=. 已知椭圆C:+=1,若点A,B,D,E在C上,且=2,AD与BE交于点P,点P在椭圆+=1上,证明:△PAB的面积为定值. 样题3 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由题意知+=1. 由=2,可知D,E分别为AP,BP的中点, 所以,D,E. 14 得+++-3=0,(*) 因为+=1,所以+=3, 所以(*)式化为3x0x1+4y0y1=0. 同理3x0x2+4y0y2=0, 所以A,B都在直线3x0x+4y0y=0上. 15 并解得x2=,y2=, 又因为直线AB过坐标原点, 所以|AB|=2=2, 又点P到直线AB的距离d=, 16 所以S△PAB=|AB|d=×2·=. 又+=1,所以3+4=36, 故S△PAB=6. 所以△PAB的面积为定值. 17 求解定值问题的两大途径 (1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值),然后证明定值:将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关. (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值. 规律方法 (2025·北京朝阳区模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为. (1)求椭圆E的方程; 训练 所以椭圆E的方程是+=1. (2)过点M(4,0)作直线l与椭圆E交于不同的两点A,B.设C,直线BC与直线x=1交于点N,求证:直线AN的斜率为定值. 由题可知直线l斜率存在. 设直线l:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2), 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. 由Δ=-4(4k2+3)(64k2-12)>0, 得k2<,即k∈, 则x1+x2=,x1x2=. 直线BC的方程为y-=. 令x=1,得N的纵坐标为yN=. 因为y1-yN=y1-= ==, 所以kAN= =. kAN+1= = =. 又2x1x2-5(x1+x2)+8 =2×-5×+8 ==0. 所以kAN+1=0,即kAN=-1,所以直线AN的斜率为定值-1. 【精准强化练】 1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右顶点分别为A1,A2,点P是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点,证明:点P与A1,A2连线的斜率的乘积为定值,并求出该定值. 设P(x0,y0),则+=1, 所以=, 所以=,=(x0≠±a), 2 3 4 1 所以·=·= ==-, 又因为e==,a2=b2+c2, 所以=,所以-=-, 所以点P与A1,A2连线的斜率的乘积为定值-. 2 3 4 1 2.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过点F作直线l交C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使·为定值?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由. 假设存在符合条件的点M(m,0), 易知F(1,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2), ·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2, 2 3 4 1 ①当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1, 则y1+y2=,y1y2=, 所以x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1=,x1+x2=t(y1+y2)+2=. 因此·=, 若对于任意的t值,上式为定值, 则2m2-4m+1=2(m2-2),解得m=, 此时,·=-为定值. 2 3 4 1 ②当直线l的斜率为0时,此时A(-,0),B(,0), ·=(--m)(-m)=m2-2=-2=-. 综合①②知,符合条件的点M存在,其坐标为. 2 3 4 1 3.(2025·合肥质检)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与双曲线C2:-y2=1的一条渐近线垂直,且C1的一个焦点到C2的一条渐近线的距离为2. (1)求C1的方程; 由题意可取双曲线C2:-y2=1其中一条渐近线的方程y=x, 因为双曲线C1的一条渐近线与双曲线C2的一条渐近线垂直, 所以双曲线C1的一条渐近线的方程为y=-2x, 所以=2,即b=2a, 所以c==a, 2 3 4 1 所以C1的一个焦点为F(a,0), 由点F到双曲线C2的渐近线y=x的距离为=a=2, 所以b===4, 故C1的方程为-=1. 2 3 4 1 设A(m,n),则-=1, 即4m2-n2=16,m2≥4, 由点A关于直线y=x的对称点为A',得A'(n,m), 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由题意知直线A'P与C2的渐近线平行,根据对称性不妨令A'P的斜率为, (2)若C1上任意一点A关于直线y=x的对称点为A',过A'分别作C2的两条渐近线的平行线,与C2分别交于P,Q.求证:|A'P|·|A'Q|为定值. 2 3 4 1 则直线A'P的方程为y-m=(x-n), 解得x1=+=--m+n=n-m, 直线A'Q的方程为y-m=-(x-n), 2 3 4 1 解得x2=+=+=n+m, 所以|A'P|·|A'Q|=|x1-n|·|x2-n|===, 故|A'P|·|A'Q|为定值. 2 3 4 1 4.(2025·汉中二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,点E在该椭圆上,A,B,C均为该椭圆上的动点. (1)求该椭圆的方程; 因为=,所以=,可得a2=9b2. 又因为点E在该椭圆上, 所以+=1,解得b2=1,所以a2=9, 故该椭圆的方程为+y2=1. 2 3 4 1 设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M. 因为△ABE的重心是坐标原点O, 所以=0,=0, 可得x1+x2=-1,y1+y2=, 得AB的中点M. (2)若△ABE的重心是坐标原点O,求直线AB的方程; 2 3 4 1 得+(y1+y2)(y1-y2)=0, 即-+(y1-y2)=0, 可得kAB==, 所以直线AB的方程为y-=,即2x-12y+9=0. 2 3 4 1 设C(m,n),当直线AB的斜率不存在时,易知n=0,把点C(m,n)代入椭圆方程,易得C(3,0),直线AB的方程为x=-, (3)若△ABC的重心是坐标原点O,证明:△ABC的面积是定值. 或C(-3,0),直线AB的方程为x=. 将x=±代入椭圆的方程,可得|y|=, 所以△ABC的面积S=××=. 当直线AB的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2). 2 3 4 1 与(2)同理,可得x1+x2=-m,y1+y2=-n,得AB的中点M, 所以直线AB的方程为 y+=-, 即y=-x-=-x-. 令x=0,可得直线AB在y轴上的截距为-,则S△OAB=·|-|·|x1-x2|. 将y=-x-代入椭圆的方程,得x2+x+-1=0, 2 3 4 1 即x2+x+-1=0,则x1+x2=-m,x1x2=, 所以|x1-x2|= =. 因为+n2=1,所以m2=9-9n2, 所以|x1-x2|==3|n|, 所以S△OAB=. 2 3 4 1 又因为O是△ABC的重心, 所以S△ABC=3S△OAB=. 综上,△ABC的面积是定值. 2 3 4 1 联立消去y 联立消去x得 联立 联立 由题意得 由 由得(t2+2)y2+2ty-1=0, 联立 联立 由 $