6.4.3余弦定理、正弦定理(2)课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦正弦定理，先复习余弦定理及应用，通过问题探究从直角三角形边与角的正弦关系出发，逐步推广至锐角、钝角三角形，构建从特殊到一般的知识支架。 其亮点在于推导过程注重数学思维的推理能力，通过作高及外接圆证明强化逻辑，例题涵盖已知两角一边、两边一对角等类型，结合数学眼光的抽象能力帮助学生掌握解三角形方法，教师可借助清晰的知识脉络提升教学效率。

6.4.3余弦定理、正弦定理(2) 复习回顾 1.余弦定理 2.余弦定理推论 (1)已知两边及其夹角解三角形． (2)已知三边解三角形． 3.余弦定理解三角形 问题探究 探究1 在初中，我们知道在三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角. 从量化的角度，如何表示这种边、角关系呢？ 即，在△ABC中，角A,B所对的边分别为a,b，求A,B,a,b之间关系. A B C c b a 在Rt△ABC中，根据锐角三角函数，有: 则 又因为sinC=1，所以 问题探究 探究2 在一般的△ABC中，关系式是否仍成立？ 锐角三角形 ； 即： 同理 A C a b c B D 钝角三角形 A B C a b c D 即： 同理 即： ； 即： 问题探究 D c 2R 如图，的外接圆为圆，其半径为， 探究3 还有其他的方法证明成立吗？ 同理可得， , 综上， 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接， 易知，°，且 在中，, 新知讲授 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： =2R 其中，R为△ABC的外接圆半径. 定理 (1)， ， 常用变形 (2)， ， (3) (4)， ， (5) 新知应用 例1 在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得： 总结归纳 已知两角及一边解三角形 新知应用 例2 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a＝2 ，A＝30°，B＝45°，解三角形. 《三维设计》P25例1 因为 ＝ ＝ ， 所以b＝ ＝ ＝ ＝4； 因为C＝180°－（A＋B）＝105°， 所以c＝ ＝ ＝ ＝2＋2 . 新知应用 例3 在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ， 因为，所以或 ①当时， 则， ②当时， 则， 总结归纳 已知两边及一对角解三角形 新知应用 例4 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理 ＝ ，知 sinA＝ ＝ ， ∵b＜a，∴A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝ ＝ ； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝ ＝ . 故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ； 当A＝120°时，C＝15°，c＝ . 变式 若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，解此三角形. 新知应用 例5 (1)在中，若a＝bsin A，则一定是（　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 B (2)在△ABC中，若 ＝2cos A，则此三角形为（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 《三维设计》P26例3 B 边化角 角化边 新知应用 例6 在中，，， 试判断的形状. 新知应用 练习已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝ ＝ ，则△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个内角是30°的直角三角形 C 《三维设计》P26训练3 课堂总结 $