6.4.3余弦定理、正弦定理(1)课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理及推论、解三角形，通过初中三角形全等判定方法引入，结合“山丘隧道测量”实际问题转化为数学问题，搭建从旧知到新知的学习支架，明确解三角形概念。 其亮点是以问题链驱动探究，用向量法严谨推导定理培养数学思维的推理能力，应用实例涵盖已知两边夹角、三边解三角形及形状判断，渗透数学语言的模型观念与应用意识。学生能提升逻辑推理与实际应用能力，教师可借助清晰流程和丰富实例优化教学。

6.4.3余弦定理、正弦定理(1) 问题引入 问题1 初中数学学习中，判定三角形全等的方法有哪些？ SSS，SAS，ASA，AAS 问题2 为什么这些方法可以判断全等呢？ 给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的． 已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素. 问题探究 探究1 如图，在两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在点测得，. 请问，如何求隧道的长度？ 思考1你能将这个实际问题转化为数学问题吗？ 在中，已知：，，，求. 唯一确定 思考2 这个三角形是唯一确定的吗？ 问题探究 探究2 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c，怎样用a、b和C表示c？ C b c=？ a B A 即 设，，， 同理得： 新知讲授 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍. 即 新知应用 例1 (1)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，则a＝______——————————————； 《三维设计》P23例1 (2)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a＝ ，c＝2， cos A＝ ，则b＝ ⁠. 　 3　 (1)已知两边及夹角，解三角形. (2)已知两边及其中一边的对角，解三角形. 利用余弦定理可以解决以下问题： 新知应用 例2 在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 探究3 余弦定理指出了三角形的三边与一角之间的关系. 根据余弦定理，我们还可以得到什么结论？ 问题探究 余弦定理的推论 利用余弦定理的推论，已知三边解三角形. 新知应用 例3 在中，若，，，求A,C. 解：根据余弦定理，得 ∵∴. 又 ∵∴. 新知应用 例4 (1)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c. 若a＝2，b＝3，c＝ ，则C＝（　） A. B. C. D. 《三维设计》P24例2 (2)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a:b:c＝4:5:6，则其最大内角的余弦值为（A　） A. B. C. D. C A 探究4 余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系. 特别的，当定理中的角为90时，你能得到什么？ 问题探究 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 当时，，则 . 设C为△ABC中最大的内角， ①当时，△ABC为直角三角形. ②当时，△ABC为锐角三角形. ③当时，△ABC为钝角三角形. 新知应用 例5 (1)在中，若，试判断的形状. (2)在中，若，，，试判断的形状. 新知应用 例6 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 《三维设计》P24训练3 D 课堂总结 $