微专题16 计数原理 课件-2026届高三数学二轮专题复习

板块四　概率与统计 微专题16　计数原理 高考定位 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用,时常与概率相结合,以选择题、填空题为主; 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识,有时也与函数、不等式、数列交汇考查. 高考定位 【 真题体验 】 1.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 √ 甲、乙二人先选1种相同的课外读物,有=6(种)情况,再从剩下的5种课外读物中各自选1种不同的读物,有=20(种)情况,由分步乘法计数原理可得共有6×20=120(种)选法. 4 2.(2022·新高考Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).  -28 (x+y)8展开式的通项Tr+1=x8-ryr, r=0,1,…,7,8. 令r=6,得T6+1=x2y6; 令r=5,得T5+1=x3y5, 所以(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28. 5 3.(2025·北京卷)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　　;a1+a2+a3 +a4=　　　　.  1 15 令x=0,则a0=1, 又(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4, 故(1-2x)4=a0+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4, 令t=-2x, 则(1+t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4, 令t=1,则a0+a1+a2+a3+a4=24, 故a1+a2+a3+a4=15. 6 4.(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.  5 的展开式的通项公式为Tr+1=xr, 则各项的系数分别为,,,,,,,,,,, 7 观察发现二项式系数先增大后减小,且前后对称,指数式递增,分别计算,,,,,, 比较可得,=5最大. 5.(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　(用数字作答).  11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 24 112 9 第一步,从第一行任选一个数,共有4种不同的选法; 第二步,从第二行选一个与第一个数不同列的数,共有3种不同的选法; 第三步,从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数,共有2种不同的选法; 第四步,从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数,只有1种选法. 由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为4×3×2×1=24. 先按列分析,每列必选出一个数,故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4. 再按行分析,第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5, 故从第一行选21,从第二行选33,从第三行选43,从第4行选15, 此时个位上的数字之和最大. 故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112. 精准强化练 热点一　两个计数原理 热点二　排列与组合 热点三　二项式定理 热点突破 热点一　两个计数原理 1.利用分类加法计数原理时注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准,分类时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类. 2.利用分步乘法计数原理时,注意将这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当各步骤都完成了,这件事才能完成. 12 √ (1)(2025·武汉二模)有四对双胞胎共8人,从中随机选出4人,则其中恰有一对双胞胎的选法种数为 A.40 B.48　　　　　　C.52　　　　　　D.60 例1 分三步完成:第一步,从四对双胞胎中选出一对,有4种选择; 第二步,从剩下的三对双胞胎中选出两对有=3种选择; 第三步,从选中的两对中各选出一个人,共有2×2=4种选择,根据分步乘法计数原理,总共有4×3×4=48种选法. √ (2)用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A,B,C,D,E,F涂色,要求相邻区域涂不同颜色,则涂色方法的总数是 先涂E,有4种选择,接下来涂C,有3种选择,再涂F,有2种选择,接着涂D,分两种情况: ①当C,D颜色相同时,涂色方法数是4×3×2×1×2=48; ②当C,D颜色不相同时,涂色方法数是4×3×2×1×(1+2)=72, ∴满足题意的涂色方法总数是48+72=120. A.120 B.72　　　　　　C.48　　　　　D.24 利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事. (2)分类时,标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图. (3)对于复杂问题,一般是先分类再分步. 易错提醒 √ (1)(2025·保定模拟)勒洛三角形是一种特殊三角形,指分别以正三角形的三个顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,且相邻区域颜色不同,则不同的涂色方案种数为 训练1 先涂中间,有5种选色,再逐个涂旁边部分,都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为5×4×4×4=320. A.120 B.240　　　　　　C.300　　　　　　 D.320 16 √ (2)用数字3,6,9组成四位数,各数位上的数字允许重复,且数字3至多出现一次,则可以组成的四位数的个数为 A.81 B.48　　　　　　C.36　　　　　　D.24 根据题意,数字3至多出现一次,分2种情况讨论: ①数字3不出现,此时四位数的每个数位都可以为6或9,都有2种情况,则此时四位数有2×2×2×2=16个; ②数字3出现1次,则数字3出现的情况有4种,剩下的三个数位,可以为6或9,都有2种情况,此时四位数有4×2×2×2=32个,故有16+32=48个四位数,故选B. 热点二　排列与组合 解决排列、组合问题的一般步骤: (1)认真审题弄清楚要做什么事情; (2)要做的事情是分步还是分类,还是分步分类同时进行,确定分多少步及多少类; (3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少元素. 18 √ (1)(2025·哈尔滨模拟)2024年4月26日,神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站,激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏,“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻,大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排,两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间,其他两位“80后”彼此不相邻,两位“90后”彼此不相邻,则不同的站法共有 A.16种 B.32种　　　　　　C.48种　　　　　　D.64种 例2 两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间,有种排法, 剩下的四名宇航员共有种排法,其中两位“80后”彼此相邻,两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有2种, 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间,其他两位“80后”彼此不相邻,两位“90后”彼此不相邻,则不同的站法共有(-2)=32种. √ (2)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每个志愿者去一个社区,每个社区至少1名志愿者,则不同的分配方法数是 A.300 B.240　　　　　　　 C.150　　　　　　D.50 先将5名志愿者分成3组, 若这三组的人员构成为1,1,3,则共有种分组方案, 若这三组的人员构成为1,2,2,则共有种分组方案, 再将这3组志愿者随机分配到三个社区,共有种分配方案, 故共有·=×6=150种分配方法. 排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)合理分类与准确分步;(2)排列、组合混合问题要先选后排;(3)特殊元素优先安排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题除法处理;(7)“小集团”排列问题先整体后局部;(8)正难则反,等价转化. 规律方法 √ (1)(2025·日照模拟)高考入场安检时,某学校在校门口并排设立三个检测点,进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入.现有三男三女六位学生需要安检,则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有 A.66种 B.93种　　　　　　C.195种　　　　　　D.273种 训练2 ①每个检测点均为一男一女通过,共有=36种不同的结果; ②三个检测点中,一个检测点通过0人,一个检测点通过一男一女,一个检测点通过两男两女,共有=54种不同的结果; ③六人均在同一个检测点通过,共有=3种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有36+54+3=93种. 23 √ (2)(2025·咸阳二模)2025年有双春年之寓意,双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的,为了使农历与季节变化相适应,农历中会设置闰月,2025年有闰六月,从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中,双春年通常被认为是非常吉利的年份,双字寓意着好事成双,在这一年做任何事都会有好兆头.那么,用2025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为 A.294 B.297　　　　　　C.298　　　　　　D.300 用2 025,66,2,0,2,5这6个数的全排列为,又0排在首位有排法, 又有2个2,它们之间的排序有种排法, 当2,0,2,5这4个以2025这种顺序与66和2025排序有=3, 所以用2025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为-=297. 热点三　二项式定理 1.求(a+b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式Tk+1=an-kbk(k=0,1,2,…,n). 2.求两个因式积的特定项,一般对某个因式用通项公式,再结合因式相乘,分类讨论求解. 3.求三项展开式的特定项,一般转化为二项式求解或用定义法. 4.求解系数和问题应用赋值法. 25 √ (1)(多选)下列说法正确的是 A.若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则|a1|+|a2|+…+|a10|=310-1 B.1.0510精确到0.1的近似数为1.6 C.5555被8整除的余数为1 D.29+28+…+=39 例3 √ √ 对于A,(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 令x=0,则a0=1, 易知a1,a3,a5,a7,a9为负数,a2,a4,a6,a8,a10为正数. 令x=-1,则310=a0-a1+a2-…-a9+a10,故|a1|+|a2|+…+|a10|=-a1+a2-…-a9+a10=310-1,故A正确; 对于B,1.0510=(1+0.05)10=×0.050+×0.051+×0.052+…+ ×0.0510=1+0.5+0.112 5+…=1.5+0.112 5+…, 故1.0510精确到0.1的近似数为1.6,B正确; 对于C,5555=(56-1)55=×5655-×5654+×5653-…+×561-×560, 由此可得5555被8整除的余数为8-1=7,C错误; 对于D,29+28+…+=(2+1)9=39,D正确. √ (2)(2025·无锡调研)(2x-1)11的展开式中的常数项为 A.18 B.20　　　　　　C.22　　　　　　D.24 (2x-1)11=2(2x-1)11+(2x-1)11, (2x-1)11的二项展开式的通项为Tk+1=(2x)11-k·(-1)k=(-1)k·211-kx11-k, ∴2(2x-1)11=(-1)k212-kx11-k,① (2x-1)11=(-1)k211-kx10-k,② 在①式中,令11-k=0得k=11, 故2(2x-1)11的常数项为(-1)1121=-2, 在②式中,令10-k=0得k=10,则(2x-1)11的常数项为(-1)1021=22, 故(2x-1)11的展开式中的常数项为-2+22=20,故选B. 1.(a+b)n的二项展开式的通项Tk+1=an-kbk(k=0,1,2,…,n)表示的是二项展开式的第k+1项,而不是第k项,要区分某项的二项式系数与系数. 2.涉及整除或近似值问题要应用二项展开式解决. 规律方法 √ (1)(2025·宁波质检)展开式中x3的系数为 A.200 B.230　　　　　　C.120　　　　　　D.180 训练3 法一　 =, 由通项公式可得Tr+1=,r=0,1,2,3,4,5, 则x3的系数由来确定, 由其通项公式可得T'k+1=(2x)r-k =×2r-k×3k×xr+k,k=0,1,…,r. 31 由r+k=3(k≤r,r∈N*,k∈N), 得 所以x3的系数为×23×30+×21×31=80+120=200. 法二　(1+2x+3x2)5是由5个(1+2x+3x2)连乘得到,要得到x3的项,有两种情形, ①这5个式子中,1个取2x,剩下的4个式子有1个取3x2,3个取1; ②这5个式子中,3个取2x,其余的2个都取1,故含x3的项的系数为×2××3+×23=200. √ (2)(多选)(2025·江门模拟)已知(mx2+)n(常数m>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则 A.n=10 B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C.展开式中x15的系数为45m8 D.若展开式中各项系数的和为1 024,则第6项的系数最大 √ √ 由,则其展开式的通项为Tr+1==mn-r, 对于A,根据题意可得=,由组合数的性质可知n=10,故A正确; 对于B,由,则展开式中奇数项的二项式系数之和为210-1=512,故B错误; 对于C,由=15,解得r=2, 则展开式中x15的系数为m10-2=45m8,故C正确; 对于D,令x=1,则展开式中各项系数之和(m+1)10=1 024=210,解得m=1, 可得展开式的通项为Tr+1=,即每项系数均为该项的二项式系数, 易知展开式中第6项为二项式的中间项,则其系数最大,故D正确. 【精准强化练】 √ 1.(2025·郑州调研)(1+x)10的展开式中的一项是 A.45x B.90x2　　　　 C.120x3　　　　　　D.240x4 (1+x)10的展开式通项为Tr+1=xr,对比选项依次代入r=1,2,3,4得对应项, (1+x)10的展开式中的项可以是10x,45x2,120x3,210x4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 一、单选题 13 14 √ 2.(2025·泰安模拟)若的展开式的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为 A.-240 B.-60　　　　　　 C.60　　　　　　　　D.240 由题意2n=64,解得n=6. 展开式通项为Tr+1=(-2x)r=(-2)r·, 由r-3=0,解得r=2, ∴常数项为T3=(-2)2·x0=60. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 3.(2025·长沙质检)2025年贺岁片A,B,C引爆了电影市场,小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影,则恰有两人看同一部影片的选择共有 A.9种 B.36种　　　　　　C.38种　　　　　　D.45种 从4人中选择2人看同一部影片,再从3部影片中选择一部安排给这两人观看,剩余的2人,2部影片进行全排列,故共有=6×3×2=36种情况. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 4.某市举行乡村振兴汇报会,六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言,其中负责人甲、乙发言顺序必须相邻,丙不能在第一个与最后一个发言,则不同的安排方法共有 A.240种 B.120种　　　　　　C.156种　　　　　　D.144种 将甲乙捆绑看做一个元素,由丙不能在第一个与最后一个发言,则丙的位置有3个,将剩余4个元素再排序有=48种方法,故不同的安排方法共有3×48=144种. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 5.(2025·毕节模拟)某学校开设了6门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这10门课中选修3门课进行学习,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案种数是 A.96 B.116　　　　　　C.120　　　　　　D.192 由题意可知,选课方案分2类: ①选1门体育类选修课和2门艺术类选修课,有=36种方案, ②选2门体育类选修课和1门艺术类选修课,有=60种方案, 所以不同的选课方案种数是36+60=96种. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 6.(2025·延边模拟)编号为A,B,C,D,E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里,每块只能种一种蔬菜,要求A品种不能种在1,2试验田里,B品种必须与A品种在相邻的两块田里,则不同的种植方法种数为 根据题意,A可以种在3,4,5实验田里,当A种在4,5号田时,B只能种在3号,其余三种蔬菜在三个位置全排列,共有2=12种结果; 当A种在3号田时,B有3种结果,余下的三种蔬菜在三个位置全排列,有3=18种结果; 根据分类加法计数原理,共有12+18=30种结果. A.24 B.30　　　　　　C.36 　　　　　　D.54 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 7.6位学生在游乐场游玩A,B,C三个项目,每个人都只游玩一个项目,每个项目都有人游玩,若A项目必须有偶数人游玩,则不同的游玩方式有 A.180种 B.210种　　　　　　C.240种　　　　　　D.360种 若A有2人游玩, 则有=15×(8+6)=210种; 若A有4人游玩,则有=15×2=30种.所以共有240种,故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 8.(2025·重庆诊断)已知(3x+1)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则a1+a2+ …+a2 025被4除的余数为 A.3 B.2　　　　　　C.1　　　　　　D.0 令x=0,由已知可得a0=12 025=1, 令x=,可得52 025=a0+a1+a2+…+a2 025, 所以a1+a2+…+a2 025=52 025-1. 因为52 025=(4+1)2 025=·42 025·10+·42 024·11+…+·41·12 024+1, 所以52 025被4除的余数为1,即52 025-1被4除的余数为0,故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 9.3个人坐在一排5个座位上,则下列说法正确的是 A.共有60种不同的坐法　　　　　　　　　B.空位不相邻的坐法有72种 C.空位相邻的坐法有24种　　　　　　　　D.两端不是空位的坐法有18种 √ √ 对于A,共有=5×4×3=60(种)不同的坐法,故A正确; 对于B,先排好这3个人有种排法, 然后把2个空位插入3个人形成的4个空隙中, 有种插法,故共有=36(种)坐法,故B错误; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 二、多选题 13 14 对于C,把2个空位先捆绑好,再插入3人形成的4个空隙中,故共有=24(种)坐法,故C正确; 对于D,先从3人中抽取2人放在两端,第三个人在中间的3个空位中任取一个,故有=18(种)坐法,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 10.(2025·赣州模拟)已知(2x+1)(x-2)n=a0+a1x+a2x2+…+a7x7(a7≠0),则 A.n=6　　　　　　　　　　　　　 B.a5=-108 C.a0+a1+a2+…+a7=3　　　　　　　　D.a0+a2+a4+a6=-363 √ √ 由(2x+1)(x-2)n=a0+a1x+a2x2+…+a7x7(a7≠0)的展开式中最高次幂为7,故n=6,故A正确; (x-2)6的展开式中,x4的系数为(-2)2=60,x5的系数为(-2)1=-12, 则a5=2×60+1×(-12)=108,故B错误; 令x=1,得(2+1)×(1-2)6=a0+a1+a2+…+a7=3,故C正确; 令x=-1,得(-2+1)×(-1-2)6=a0-a1+a2+…+a6-a7=-729, 所以a0+a2+a4+a6==-363,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 √ 11.下列结论正确的是 A.=,则n=3 B.= C.(x-1)10的展开式的第6项的系数是 D.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中x2的系数为-1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 对于A,因为=,由组合数性质可得n=3或n=4,A错误; 对于B,==· =·, 所以=,B正确; 对于C,(x-1)10展开式的第6项为T6=x10-5(-1)5=-x5,所以第6项的系数是-,C错误; 对于D,(1+x)3的展开式中x2的系数为,(1+x)4的展开式中x2的系数为, (1+x)5的展开式中x2的系数为, 所以(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中x2的系数为++=+++-1 =++-1=+-1=-1,D正确,故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 12.(2025·太原调研)若=a0+a1x+…+a10x10,则a1=　　　　.  5 由题设,对于a1x项,x2取0次,x取1次,1取4次,故a1==5. 三、填空题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 13.如图,现要对某公园的4个区域进行绿化,有5种不同颜色的花卉可供选择,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉,共有　　　　种不同的绿化方案(用数字作答).          180 如图: A B D C 从A开始摆放花卉,A有5种颜色花卉摆放方法, B有4种颜色花卉摆放方法,C有3种颜色花卉摆放方法; 由D区与B,C区花卉颜色不一样,与A区花卉颜色可以同色也可以不同色, 则D有3种颜色花卉摆放方法. 故共有5×4×3×3=180种不同的绿化方案. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 14.(2025·成都二模)成都石室中学举办校庆文艺展演晚会,设置有一个“传奇”主会场和“传承”、“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全,其中“传奇”主会场安排三人,剩下三人安排去“传承”,“扬辉”两个分会场(每个分会场至少安排一人).若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作,则不同的安排方案有　　　　种(用数字作答).  88 按照甲、乙是否在“传奇”主会场划分两种情况: ①甲、乙有且只有1人在主会场,需要在除甲、乙外的四人中选两人去主会场,剩下的三人去剩下的“传承”,“扬辉”两个分会场,有=72(种)不同的安排方案; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ②甲、乙都不在主会场,从甲、乙外的四人中选三人去主会场,再将甲、乙安排去剩下的“传承”,“扬辉”两个分会场,且一人去一个分会场,剩下一人可以去“传承”,“扬辉”两个分会场,有=16(种)不同的安排方案. 根据分类加法计数原理,共有+=88(种)不同的安排方案. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 $