探源点4 比赛情境中的概率问题 课件-2026届高三数学二轮专题复习

探源点4　比赛情境中的概率问题 板块四　概率与统计 高考定位 比赛情境中的概率分布问题,一般以体育比赛为背景,有几种赛制:n局m胜制、连胜制、比分差制等,难度中等或偏上. 高考定位 精准强化练 母题突破 (人教A版选修三P75例3)甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 采用3局2胜制,甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为p1=0.62+×0.6×0.4×0.6=0.648. 类似地,若采用5局3胜制,甲最终获胜有3种比分3∶0,3∶1或3∶2. 因为每局比赛的结果是独立的,所以甲最终获胜的概率为p2=0.63+×0.62×0.4×0.6+×0.62×0.42×0.6=0.682 56. 因为p2>p1,所以5局3胜制对甲有利. 实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利. 母题 (2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; 真题 甲连胜四场的概率为. (2)求需要进行第五场比赛的概率; 根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为; 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为1---=. (3)求丙最终获胜的概率. 丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,. 因此丙最终获胜的概率为+++=. 常见赛制的特点 (1)n局m胜制:①一旦某方得m次胜利即终止比赛;②若比赛提前结束,则一定在最后一次比赛中某方达到m胜. (2)连胜制:①规定某方连胜m场即终止比赛,②若提前结束比赛,则最后m场连胜且之前没有达到m场连胜. (3)比分差距制:①规定得分多者为胜方,②解题过程中应注意胜、负、平局的得分标准. 规律方法 (2025·曲靖模拟)某中学高一年级举办了乒乓球比赛活动.比赛采用2n-1局n胜制(n∈N*)的比赛规则,即先赢下n局比赛者最终获胜,已知每局比赛甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1-p,比赛结束时,甲最终获胜的概率为Pn. (1)若p=,n=2,结束比赛时,比赛的局数为X,求X的分布列与数学期望; p=,n=2,即采用3局2胜制, X所有可能取值为2,3, P(X=2)=+=, 样题1 P(X=3)=××+××=, 故X的分布列如下 X 2 3 P 所以E(X)=2×+3×=. (2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利,即P3>P2,求p的取值范围. 采用3局2胜制:用ξ表示3局比赛中甲胜的局数, 甲最终获胜的概率为 P2=P(ξ=2)+P(ξ=3)=p2+(1-p)p2=p2(3-2p), 采用5局3胜制:用η表示5局比赛中甲胜的局数, 甲最终获胜的概率为 P3=P(η=3)+P(η=4)+P(η=5) =p3+p2(1-p)p+p2(1-p)2p =p3(6p2-15p+10), 则P3-P2=p3(6p2-15p+10)-p2(3-2p) =3p2(2p3-5p2+4p-1) =3p2(p-1)(2p2-3p+1) =3p2(p-1)2(2p-1)>0, 得<p<1,故p的取值范围为. (多选)(2025·石家庄质检)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6,0.5,0.4,则 A.该棋手三盘三胜的概率为0.12 B.若比赛顺序为甲乙丙,则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C.若比赛顺序为甲乙丙,则该棋手连赢两盘的概率为0.26 D.记该棋手连赢两盘为事件A,则当该棋手在第二盘与甲比赛P(A)最大 样题2 √ √ √ 对于A,棋手赢三盘的概率为0.6×0.5×0.4=0.12,故A正确; 对于B,棋手在赢甲的前提下连赢三盘的事件就是余下两盘连赢乙、丙的事件,其概率为0.5×0.4=0.2,故B错误; 对于C,连赢两盘事件的概率为0.6×0.5×(1-0.4)+(1-0.6)×0.5×0.4=0.26,故C正确; 对于D,第二盘与甲比赛连赢两盘的概率p1=2×0.5×0.6×(1-0.4)+2×(1-0.5) ×0.6×0.4=0.6, 第二盘与乙比赛连赢两盘的概率p2=2×0.6×0.5×(1-0.4)+2×(1-0.6)×0.5 ×0.4=0.52, 第二盘与丙比赛连赢两盘的概率p3=2×0.6×0.4×(1-0.5)+2×(1-0.6)×0.4 ×0.5=0.4, 因此p1>p2>p3,故D正确. (2025·郑州调研)甲、乙两学校进行体育比赛,比赛共设两个项目,每个项目胜方得5分,负方得0分,平局各得2分.两个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,甲学校在两个项目中平局的概率分别为0.1,0.2.各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率; 甲获得冠军分三种情况:胜胜,胜平,平胜, 则甲获得冠军的概率为p=0.4×0.6+0.4×0.2+0.1×0.6=0.38. 样题3 (2)用X表示甲学校两场比赛的总得分,求X的分布列与期望. X所有可能取值为0,2,4,5,7,10, P(X=0)=(1-0.4-0.1)×(1-0.6-0.2)=0.1, P(X=2)=0.1×(1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)×0.2=0.12, P(X=4)=0.1×0.2=0.02, P(X=5)=0.4×(1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)×0.6=0.38, P(X=7)=0.4×0.2+0.1×0.6=0.14, P(X=10)=0.4×0.6=0.24, 则X的分布列如下表: X 0 2 4 5 7 10 P 0.1 0.12 0.02 0.38 0.14 0.24 E(X)=0×0.1+2×0.12+4×0.02+5×0.38+7×0.14+10×0.24=5.6. 【精准强化练】 1.(2025·济南调研)学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后,由教师甲、乙作为代表进行决赛,决赛共设三个项目,每个项目胜者得10分,负者得-5分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6,各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为p1,p2. (1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别(若|p1-p2|≥,则认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别,否则认为没有明显差别); 2 1 不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A,B,C,甲获得冠军可以表示为(ABC)∪(BC)∪(AC)∪(AB), 因为ABC,BC,AC,AB两两互斥, 故教师甲获得冠军的概率 p1=P[(ABC)∪(BC)∪(AC)∪(AB)] =P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB) =0.4×0.6×0.6+0.6×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6+0.4×0.6×0.4=0.552, 则教师乙获得冠军的概率p2=1-p1=0.448, 2 1 所以|p1-p2|=0.104, ≈0.376, 所以|p1-p2|<, 所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别. 2 1 (2)用X表示教师甲的总得分,求X的分布列和数学期望. 易知X的所有可能取值为-15,0,15,30, 所以P(X=-15)=0.6×0.4×0.4=0.096, P(X=0)=0.6×0.4×0.6+0.6×0.6×0.4+0.4×0.4×0.4=0.352, P(X=15)=0.4×0.6×0.4+0.4×0.4×0.6+0.6×0.6×0.6=0.408, P(X=30)=0.4×0.6×0.6=0.144, 则X的分布列为 X -15 0 15 30 P 0.096 0.352 0.408 0.144 所以E(X)=-15×0.096+0×0.352+15×0.408+30×0.144=9. 2 1 2.(2025·武汉质检)已知A,B,C,D四名选手参加某项比赛,其中A,B为种子选手,C,D为非种子选手,种子选手对非种子选手,种子选手获胜的概率为,种子选手之间获胜的概率为,非种子选手之间获胜的概率为.比赛规则:第一轮两两对战,胜利进入第二轮,败者淘汰;第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方,则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案? 第一轮选手的对战情况分别为{AB,CD},{AC,BD},{AD,BC},故总方案数为3. 2 1 (2)选手A与选手D相遇的概率为多少? 设事件M=“选手A与选手D相遇”, 当第一轮对战为{AD,BC}时,A,D两选手相遇的概率为1; 当第一轮对战为{AB,CD}时,A,D两选手相遇的概率为×=; 当第一轮对战为{AC,BD}时,A,D两选手相遇的概率为×=; 抽到三种对战的概率均为, 则P(M)=×1+×+×=. 综上可知选手A与选手D相遇的概率为. 2 1 (3)以下两种方案,哪一种方案种子选手夺冠的概率更大? 方案一:第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛; 方案二:第一轮比赛种子选手与种子选手比赛. 设采用方案一、二种子选手夺冠的概率分别为p1,p2,则采用方案一,假设分组为{AC,BD}, 第一轮两种子选手获胜,则第二轮种子选手一定夺冠,则其概率为×=, 第一轮选手A,D获胜,第二轮A获胜,则其概率为××=, 第一轮选手C,B获胜,第二轮B获胜,则其概率为××=, 2 1 第一轮选手C,D获胜,则种子选手不能获胜, 所以p1=+×2=; 采用方案二,分组为{AB,CD}, 第一轮选手A,C获胜,第二轮A获胜, 则其概率为××=, 第一轮选手A,D获胜,第二轮A获胜, 则其概率为××=, 第一轮选手B,C获胜,第二轮B获胜, 2 1 则其概率为××=, 第一轮选手B,D获胜,第二轮B获胜, 则其概率为××=, 所以p2=×4=,所以p1>p2, 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 2 1 本课结束 每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。 $