8.3多项式乘多项式 同步自主达标测试题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《8.3多项式乘多项式》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列多项式相乘结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为(    ) A． B． C． D． 3．已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 4．已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 5．如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是三次 B．一定是四次 C．一定是七次 D．无法确定． 6．在下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，现有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．3张 D．2张 8．将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（    ） A．乙的周长与丙的周长和 B．的周长与的周长和 C．乙的面积与丙的面积和 D．的值 二、填空题（满分24分） 9．已知，则的值为_____． 10．小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为______． 11．长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为_______平方米． 12．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 _______． 13．某商店经营一种产品，每件的定价为12元，每天能售出8件，若每降价x元，每天可多售件，则降价x元后，每天的销售总收入是___________元． 14．图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：______． 15．将个数，，，排成行，列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则______． 16．观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为______． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 19．观察下列两位数相乘的运算规律： ， ， ，…… (1)按照以上规律计算：_______=______． (2)设这两个两位数的十位上的数字为（为小于10的正整数），请用含的等式表示上述运算规律，并加以证明． 20．① ② ③…… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 21．如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的出行便利，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖宽度均为b米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米（用含a，b的算式表示）？ (2)若修两竖一横宽度均为b米的通道（如图2），草坪面积减少了，已知，则图2中草地的面积是多少平方米？ 22．我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． 观察上图中的规律， (1)填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． 23．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值；通常的解题方法：把，看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】（1）的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】（2）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，设．请解决以下问题： ①填空： ②已知的值与的取值无关，求与的数量关系． 参考答案 1．C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则计算各个选项，即可解答． 【详解】解：A． ，不合题意； B．，不合题意； C．，符合题意； D．，不合题意． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的法则，掌握此知识点是解答此题的关键．先把等式的左边化为的形式，再求出m的值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，多项式乘多项式．直接展开表达式 ，并代入已知条件和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 4．C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查整式的次数．根据多项式的次数概念即可求出答案． 【详解】解：由于是一个四次整式，A、B都是关于的单项式， ∴A、B的次数都不能超过四次的单项式， ∵是一个七次单项式， ∴A与B中必定有一个是四次单项式，另外一个是三次单项式， ∴一定是四次多项式， 故选：B． 6．A 【分析】此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分面积为：或， 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查多项式的计算，解决此题的关键是正确的计算；先算出大长方形的面积，然后根据C类卡片的面积，确定C类卡片的数量即可得到答案； 【详解】解：由题可知： 大长方形的面积为：， ∵C类卡片的面积为， ∴需要类卡片为7张； 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了整式加法和乘法的应用，根据题意和图形分别求出甲、乙、丙、、的周长，乙的面积与丙的面积，进而求出乙与丙的周长和，与的周长和，乙与丙的面积和，根据结果逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，甲的长和宽为：，， 乙的长和宽为：，， 丙的长和宽为：，， ∴甲的周长为：， 乙的周长为：， 丙的周长为：， 的周长为：， 的周长为：， 乙的面积为：， 丙的面积为：， ∴乙的周长与丙的周长和为：， 的周长与的周长和为：， 乙的面积与丙的面积和为： ， ∵甲的周长为， ∴只要确定了的值，就能求出甲的周长， 由上可知，已知选项的值，均能确定的值，已知选项的值，不能确定的值， ∴不能求出甲的周长的是， 故选：． 9． 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，根据已知得出，则，将代数式化简，再将代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，即 ∴ ∴ 故答案为：． 10．7 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 11． 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，根据长方形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，求出．先根据多项式乘多项式运算法则求出，再分别求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：， ∵甲把抄错成了4，得到的结果为， ∴， 解得：， ∵乙把抄错成了6，得到的结果为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了整式乘法的应用． 先分别表示出售价和销售量，再相乘即可． 【详解】解：每件的定价为12元，降价x元，则售价元， 每降价x元，每天可多售件，则销售量件， 则每天的销售总收入是元， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查多项式乘多项式表示面积，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键． 大长方形的长为，宽为，因此面积为，图中四个小长方形的面积和为，据此即可解答． 【详解】解：由图形面积的不同计算方法可得． 故答案为：． 15．4 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，一元一次方程的应用，根据新定义得出，解方程，即可求解． 【详解】根据题意得， 整理得， 即， 解得． 故答案为：4． 16．或 【分析】本题考查了探索规律、代入求值等知识点，找到规律是解答本题的关键．根据规律求出的值，再将所求的的值代入求解即可． 【详解】解：根据规律： ∵ ∴，解得：或 当时， 当时， 故答案为：或． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键， （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 19．(1)；2024 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）观察题目给出的示例，发现规律为：十位数字相同、个位为4和6的两位数相乘，计算方式是“十位数字×（十位数字+1）”． （2）用含a的式子表示这两个两位数，分别为和．根据示例规律写出等式，将左边展开化简，最终得到与右边完全相同的表达式，从而证明规律成立． 【详解】（1）解：按照以上规律计算： ， 故答案为：；2024 （2）解：规律： 证明：左边 右边 ∴左边=右边，等式成立． 20．(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 21．(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键． （1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． （2）根据图2比图1中草坪面积减少了，可得，将代入图2中草地的面积的代数式即可． 【详解】（1）解： ， 即剩余草坪的面积是平方米； （2）解：由题意知，图2比图1中草坪面积少：（平方米）， ， ， （平方米）， 即图2中草地的面积为平方米． 22．(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据前4个算式的特征写出的展开式即可； （2）令，利用，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，每一行的第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，……， 以此类推可知， ∴“★”表示的数是6； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（1）；（2）①，；② 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）①，根据图形求出；②由①得到，再根据的值与的取值无关，则． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （2）解：①， 由图可知，，， 故答案为：，； ②则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $