专题15 二次函数的最值问题分层基础练 2026年中考数学第一轮复习

2026年中考数学 专题15 二次函数的最值问题 班级：　　　姓名：　　 　学号： 一、选择题 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 2．（2025·陕西咸阳·一模）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．6 3．（2025·广东汕头·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 4．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 5．（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 6．（2025·安徽·一模）若二次函数经过点则的最小值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 7．（2025·安徽六安·模拟预测）已知，则关于的最值，下列说法正确的是（   ） A．有最小值1 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最大值 8．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　) A． B． C．或 D．或 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若时，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·四川南充·一模）二次函数的最大值是______． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）当_______时，二次函数有最小值． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的最大值是______． 14．（2025·山东潍坊·一模）规定．例如：，．则的最小值为______． 15．（25-26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是___________． 16．（2025·江苏淮安·一模）二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为______． 17．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为___________ ②在①条件下，若时，满足，则m的值为___________ 18．（2025·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为________． （2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是________． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上. (1) 求该抛物线的对称轴(用含的代数式表示)； (2) 当时，求抛物线的最值； (3) 已知点和点在该抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 20．如图，抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，对称轴为直线，是抛物线上一点. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 若，是抛物线上的两点，且，求的取值范围； (3) 已知当时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，求的值. 21．(2025浙江)已知抛物线为常数经过点. (1) 求的值； (2) 过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求的值； (3) 设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间.若直线，之间的距离为16，求的最大值. 22．（2025·安徽淮北·三模）已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 23．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，已知抛物线. (1) 若抛物线的图象如图，求证：抛物线与轴必有两个不同的交点； (2) 若，，当时，抛物线和的最高点之间的竖直距离为2，求的值； (3) 在(1)的条件下，若当时，有，求抛物线的函数表达式. 25．（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 26．（2025·云南·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象经过点 ，求m的值． (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数，点 与 在抛物线上（点P，Q不重合），且 求代数式 的最小值． 27．（2025·浙江温州·三模）已知二次函数是常数，），其图象过点． (1)用含的代数式表示． (2)当时， ①若时，求二次函数的最大值和最小值． ②若满足时，二次函数的最小值为2，求的值． 28．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 29．（2025·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系中，定义两个函数． (1)如果函数的图象经过点，函数的图象经过点，求的值； (2)如果，判断函数的图象与轴的交点情况； (3)若点在上，点在上，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1．A【解析】解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 2．A【解析】解： 时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 3．D【解析】解：， ， 二次函数有最小值为6， 故选：D． 4．A【解析】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 5．B【解析】解： ∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． 6．A【解析】将代入函数可得： ，即， 移项可得， 把代入，得到 ， 因为（任何数的平方都大于等于0）， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：A． 7．B【解析】解：∵， ∴，， ， ， ∴当时，有最小值， 故选B． 8．B【解析】解：函数为二次函数且有最大值， ，即． 又一次项系数为， 顶点横坐标，最大值． 关于的二次函数的最大值为时， 则， 即， 解得， 或． 但且确保为二次函数， ． 故选：B． 9．B【解析】解：∵，， ∴ ∴， ∴或， 解得：或， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 10．D【解析】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ 且，即， 令代数式， ∵ 二次项系数，对称轴为直线，   ∴当时，随增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为． 故选：D． 二、填空题 11．1顶点横坐标为 ， 将 代入函数解析式，得 ， 故答案为：1． 12．1【解析】解：∵， ∴抛物线的开口方向向上， ∴当时，函数有最小值； 故答案为：1． 13．5【解析】解：∵二次函数， ∴ ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值5， 故答案为：5． 14．【解析】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．0或7/7或0【解析】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7． 故答案为：0或7． 16．【解析】解：二次函数， 该函数顶点的纵坐标为：， 点P到直线的距离为：， 当时，点P到直线的距离取得最小值， 故答案为： 17． 3【解析】解：∵为二次函数， ∴， ∴， 解得：或， ①若此二次函数图像开口向下，则， ∴． 故答案为：． ②根据①知， ∴当时，， 当时，， ∵当时，满足， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：3． 18．1 【解析】解：（1）把代入中，得，解得． 故答案为：1． （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立，解得，， 抛物线与直线的交点坐标为，． 设，，由函数图象可得，当时，在的上方， 当时，， 当时，PQ的最大值是． 故答案为：． 三、解答题 19. 解：(1)∵点(n，－1)和点(n＋2，－1)在抛物线y=ax2＋bx上且纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线x==n＋1； (2)当n=2时，两点坐标为(2，－1)和(4，－1)， 将点(2，－1)和点(4，－1)代入抛物线y=ax2＋bx中， 得解得 ∴y=x2－x=(x－3)2－， ∵＞0， ∴当x=3时，y取得最小值，最小值为－； (3)y1＞y2，理由如下： 由题意可知，抛物线y=ax2＋bx始终过定点(0，0)， ①当a＞0时，点(n，－1)和点(n＋2，－1)位于y轴的同侧， 即n(n＋2)＞0，与n(n＋2)＜0矛盾； ②当a＜0时，点(n，－1)和点(n＋2，－1)位于y轴的异侧，即n＜0，n＋2＞0， ∴－2＜n＜0，即－1＜n＋1＜1， ∵点(－1，y1)和点(3，y2)在该抛物线上， ∴它们离抛物线对称轴的距离范围分别为0＜(n＋1)－(－1)＜2，2＜3－(n＋1)＜4， ∴y1＞y2. 20. 解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为直线x=－=2，① 将点(3，－)代入抛物线y=ax2＋bx－3中，得－=9a＋3b－3，② 联立①②，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y=x2－x－3； (2)∵抛物线的对称轴为直线x=2， ∴点N(8，n)关于直线x=2对称的点的横坐标为2－(8－2)=－4. ∵抛物线开口向上， ∴当－4＜x＜8时，抛物线的函数值y＜n. ∵m＜n， ∴c的取值范围为－4＜c＜8； (3)由(1)知，抛物线的函数表达式为y=x2－x－3， 令y=0，即x2－x－3=0， 解得x1=－2，x2=6， ∴A(－2，0)，B(6，0)， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2， ∴当－2≤x≤6时，抛物线对应函数的值均不为正数， ∵当－2≤x≤q时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1， ∴q＞6， 将x=2代入y=x2－x－3，得y=－4， 即最小值为y=－4， ∴最大值为y=1－(－4)=5， 令y=5，即x2－x－3=5， 解得x=－4(舍去)或x=8， ∴q的值为8. 21. 解：(1)把点(1，0)代入y=x2－ax＋5， 得1－a＋5=0，解得a=6； (2)由(1)知y=x2－6x＋5， ∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∵过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴点B，C关于抛物线的对称轴对称，且B，C两点的纵坐标均为t， ∵点B为线段AC的中点， ∴xC=2xB， ∴=xB=3，解得xB=2， 把x=2代入y=x2－6x＋5中，得y=－3， ∴t的值为－3； (3)∵y=x2－6x＋5=(x－3)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(3，－4)， ∵抛物线的一段y=x2－6x＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m＜3＜n， ∴下方的平行线不能在顶点(3，－4)上方，要使n－m最大，则m，n为某条直线与抛物线的交点的横坐标，且x=m和x=n关于抛物线的对称轴对称， ∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当l1，l2中的一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，－4)，即y=－4时，另一条直线的表达式为y=16－4=12，记l1：y=12与抛物线的两个交点分别为P，Q，且xP=n，xQ=m，此时n－m最大，如解图， 解图 ∴令x2－6x＋5=12， 解得x1=7，x2=－1， 即n=7，m=－1， ∴n－m的最大值为8. 22．(1) (2)①；②【解析】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 23．(1) (2) (3)或【解析】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 24. (1)证明：令y2=0，即ax2－(2a＋b)x－c=0， ∴Δ=(2a＋b)2＋4ac， 由题图抛物线y1可知a＜0，c＜0， ∴ac＞0， ∴Δ=(2a＋b)2＋4ac＞0， ∴方程y2=0必有两个不相等的实数根， ∴抛物线y2与x轴必有两个不同的交点； (2)解：∵抛物线y1=ax2＋bx＋c与x轴的一个交点坐标为(1，0)，b=1， ∴a＋b＋c=0， ∴c=－1－a， ∴抛物线y1=ax2＋x－1－a，抛物线y2=ax2－(2a＋1)x＋1＋a，抛物线y1的对称轴为直线x=－，抛物线y2的对称轴为直线x==1＋， 由题图可知a＜0， ∴－＞0， 当x≤0时，y1的最高点为(0，－1－a)， 当a≤－时，1＋≥0，y2的最高点为(0，1＋a)， ∴(1＋a)－(－1－a)=2或(－1－a)－(1＋a)=2，解得a=0(不符合题意，舍去)，或a=－2， ∴a的值为－2； (3)解：由抛物线y1可知－＞1，且a＜0， ∴抛物线y2的对称轴为直线x==1＋＜0， ∵当－1≤x≤2时，有－4＋c≤y2≤6－c， ∴当x=2时，函数y2有最小值－4＋c， 即4a－2(2a＋b)－c=－4＋c. ∴b＋c=2， 将(1，0)代入y1，则a＋b＋c=0，即a=－b－c， ∴a=－(b＋c)=－2， ∴抛物线y2的函数表达式为y2=－2x2－(b－4)x－c， ∴对称轴为直线x=1－＜0，即b＞4， ∵当－1≤x≤2时，函数y2有最大值6－c，分类讨论如下： ①当抛物线y2的对称轴为直线x=1＋=1－≤－1，即b≥8时，抛物线y2在x=－1处取得最大值，即a＋(2a＋b)－c=6－c，解得b=6－3a=12，符合题意； ②当抛物线y2的对称轴为直线x=1＋=1－＞－1，即4＜b＜8时，抛物线y2在x=1＋=1－处取得最大值，即－c=6－c， ∴(b－4)2=48， 解得b=4－4(舍去)或b=4＋4(舍去)， 综上所述，当b=12时符合题意， ∴c=－(a＋b)=－10， ∴抛物线y2的函数表达式为y2=－2x2－8x＋10. 25．(1) (2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值 (3) 【解析】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 26． (1) (2)原式的最小值为 【解析】（1）解：把代入 得， 解得 （2）解：令，则有， 解得或 ∵抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数， ∴， ∴抛物线为 ∵点 P，Q在抛物线上，且 即 ∴ ∴原式的最小值为． 27．(1) (2)①最小值为，最大值为；②或 【解析】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，且函数开口向上， ∵ 当时，， ∵， 当时，； ②在中，当时，解得或， ∵满足时，二次函数的最小值为2， ∴或， ∴或． 28．(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．(1)10 (2)无交点 (3) 【解析】（1）解：把，分别代入中， 得 ， （2）解：由题意得 即的图象与轴没有交点； （3）解：把，分别代入中，得： 由题意得， 即 设 图象开口向上 ∴在对称轴处取得最小值， 把代入中得 ∴的最小值为， ∵ 当时，ab的最小值为． 2026中考数学 学科网（北京）股份有限公司 $