第3讲 随机变量及其分布(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第3讲 随机变量及其分布 一、条件概率 1．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（    ） A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】A 【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】报名两个俱乐部的人数为， 记“某人报足球俱乐部”为事件,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件， 则， 所以. 故选:. 2．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率计算公式可得答案. 【详解】由题可知，，，. 故选：D 3．将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由古典概型概率公式分别求得，代入条件概率公式求解即可. 【详解】由题意知：事件“三个点数都不同且至少出现一个点”， ，，， ，. 故选：B. 4．（多选）已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（    ） A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用条件概率公式及独立事件的定义逐项分析即得. 【详解】因为随机事件A，B发生的概率分别为， 对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确； 对于B，若A，B相互独立，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC 二、全概率公式 5．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38 【答案】A 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥， 根据题意得：，，， 则. 故选：A. 6．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为，已知第一次击中目标的概率为，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用全概率公式计算出，再利用条件概率公式计算出答案. 【详解】设第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B， 则，，， 所以， 故， 则 故选：C 7．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，则市场上该品牌产品的次品率为________. 【答案】0.02 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】设，，分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，由题意有，，，，， 由全概率公式，得 . 故答案为：0.02. 8．在，，三个地区爆发了甲型流感，这三个地区分别有%，%，%的人患了甲流.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率是________.(用分数作答) 【答案】 【分析】利用全概率公式可求这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率. 【详解】设为“从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流”， 设为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”， 为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”， 为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”， 则，，. 设为“地区的人患甲流”，为“地区的人患甲流”， 为“地区的人患甲流”， 则，，. 故 ， 故答案为：. 三、求离散型随机变量的均值 9．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________． 【答案】 ， 【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，， 所以, 故答案为：，. 10．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______． 【答案】 【分析】先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以， 随机变量， ， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________. 【答案】 1 【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出． 【详解】，所以， , 所以, 则． 由于 ． 故答案为：1；． 12．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 四、均值的性质 13．已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据期望的性质可求得，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解. 【详解】解：因为， 所以， 则有， 解得. 故选：C. 14．已知离散型随机变量X的分布列如下表： 0 1 2 3 若离散型随机变量，则________． 【答案】 【分析】先求出随机变量的概率，再求出，最后根据性质求出即可. 【详解】设随机变量的概率为：， 则， 所以， 由，所以， 故答案为：. 15．已知，则______. 【答案】 【分析】直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案. 【详解】由，可得. 故答案为： 16．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________. 【答案】20 【分析】先求得，然后求得. 【详解】， . 故答案为： 五、由离散型随机变量的均值求参数 17．已知随机变量X的分布列如下表，若，则（    ） X 3 a P b A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据分布列的性质有且，结合已知即可求参数. 【详解】由且，故， 所以，即. 故选：C 18．若随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 且，则a，b分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质和期望公式列方程求即可. 【详解】由已知，根据分布列的性质可得，，， 因为，所以，解得， 故选：A. 19．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数学期望计算公式及概率和为，构造方程组求得，进而得到结果. 【详解】， ①； 又②， 由①②可解得：，，. 故选：A. 20．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 六、离散型随机变量的方差与标准差 21．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， ， 因为， 则 故选：A. 22．设，随机变量的分布 0 1 则当在内增大时，（    ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 【答案】D 【分析】求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断. 【详解】因为分布列中概率之和为1，可得， ∴，∴当增大时，减小， 又由， 可知当在内增大时，减小.故选：D. 23．已知某离散型随机变量X的分布列如下： x 0 1 2 P a b c 若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望与方差计算即可. 【详解】由题意，得，所以①． 因为，所以②． 由，得，代入①②解得：，． 所以． 故选:C. 24．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求随机变量的分布列，再运用公式求 【详解】由题意，可能取值为2，3 包含事件为取出的两个球为1，2 所以 包含事件为取出的两个球为1，3或2，3 所以 ， . 故选：A. 25．（多选）设离散型随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 若离散型随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再利用期望和方差公式求， 即可，从而可得答案 【详解】由得，又由得，从而得，，故A选项错误，B选项正确； ，故C选项正确； 因为，所以，故D选项错误，故选：BC． 26．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______． 【答案】 【分析】根据某人共有三发子弹可得，2，3，然后求得其相应概率，再由期望公式求、，最后根据求值. 【详解】由题意知：，2，3， ，，， ∴的分布列为： 1 2 3 ∴，， ∴.故答案为：. 七、二项分布及其均值与方差 27．随机变量满足，且，则与的值分别为（    ） A． B．3，4 C．4，3 D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的均值和方差公式求得，而，再根据均值和方差的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 故选：A. 28．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决. 【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜. 乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为. 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为. 解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为. 故选：C. 29．投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则______． 【答案】10 【分析】由随机变量X服从于二项分布，利用期望公式求解. 【详解】由题意,成功概率为，，所以. 故答案为：10. 30．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. (3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望： (2)分布列答案见解析，数学期望： (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可； （2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可. 【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即， 所以的所有可能取值为，则 ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小， 即，第（1）不中奖的概率比第问小，即， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽. 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖. 31．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展．某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：并整理得到如下频率分布直方图： (1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）； (2)估计A小区满意度得分的第80百分位数； (3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)方案一，二的满意度平均得分分别为72.6，76.5，且方案二的措施更受居民欢迎； (2)第80百分位数为85分； (3)分布列见解析，4. 【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可； （2）根据百分位数的计算方法进行计算即可； （3）由题意可得X满足二项分布，然后进行求解分布列和期望. 【详解】（1）设A小区方案一的满意度平均分为， 则， 设B小区方案二的满意度平均分为， 则， 因为， 所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎； （2）因为前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以第80百分位数在第5组， 设第80百分位数为x，则，解得， 所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分； （3）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为，低于70分的频率为， 现从B小区内随机抽取5个人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 由二项分布知数学期望． 八、超几何分布及其均值与方差 32．现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用表示所选2名志愿者中男生的人数，则为（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】B 【分析】根据超几何分布概率公式求出各取值的概率，然后由期望公式可得；也可根据超几何分布的期望公式直接可得. 【详解】的所有可能取值为，则. 所以， 所以. 另解：因为X服从超几何分布，所以. 故选：B. 33．一批产品共50件，次品率为，从中任取10件，则抽得1件次品的概率是（    ） A．0.032 B．0.33 C．0.016 D．0.16 【答案】B 【分析】先求次品数，再求随机试验从50件产品中任取10件的样本空间中的样本点的个数， 求随机事件抽得1件次品所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求其概率. 【详解】由已知50件产品中次品的件数为， 所以随机试验从50件产品中任取10件的样本空间中的样本点的个数为， 随机事件抽得1件次品所包含的样本点的个数为， 所以随机事件抽得1件次品的概率， 故选：B. 34．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】根据超几何分布的均值求解即可. 【详解】设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布. ∴抽到的次品数的均值.故选：C 35．（多选）10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为， 则a等于（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】BD 【分析】利用超几何分布概率公式计算即可. 【详解】由题意知， ，整理得，解得或. 故选：BD 36．为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为______. 【答案】 【分析】根据题意讨论先抽取2道题有几道多选题，结合超几何分布分析运算. 【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为：0，1，2， 可得：， 所以最后抽取到的题为多选题的概率为. 故答案为：. 37．博鳌亚洲论坛年会员大会于月日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前名的参赛者进行奖励． (1)试确定受奖励的分数线； (2)从受奖励的以下和的人中采取分层抽样的方法从中选人在主会场服务，组织者又从这人中任选人为贵宾服务，记其中成绩在分以上（含分）的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 【分析】（1）根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果； （2）根据分层抽样原则确定人中，分数在分以下和分以上（含分）的人数，从而得到所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可计算得到期望值. 【详解】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为； 竞赛成绩在的人数为，受奖励分数线在之间； 设受奖励分数线为，则，解得：， 受奖励分数线为． （2）由（1）知：受奖励的人中，分数在分的人数为，则分数在分以下的人数为； 从受奖励的人中分层抽样选人在主会场服务，其中分数在分以下的有人，分数在的有人， 人中成绩在分以上（含分）的人数的可能取值为， ；； ；； ； 的分布列为： 数学期望为. 38．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 【答案】(1)12（件） (2)分布列见解析， (3)分布列见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量； （2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望； （3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列. 【详解】（1）质量超过克的产品的频率为， 质量超过克的产品数量为. （2）质量超过克的产品数量为， 则质量未超过克的产品数量为，服从超几何分布，的取值为，，. ，， . 的分布列为 解法一：的均值为. 解法二：的均值为. （3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为. 从流水线上任取件产品互不影响， 该问题可看二项分布，质量超过克的件数可能的取值为，，，且. ，，，. ， ， . 的分布列为 九、正态分布 39．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 40．设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】解：因为随机变量， 所以， 因为， 所以， 所以，根据正态分布的对称性，. 故选：A 41．某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（    ） A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性计算即可. 【详解】因为，， 所以， 又，所以. 故选：C. 42．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】由已知可得，根据正态分布的对称性可推得，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以. 又，根据正态分布的对称性可得， 所以. 所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为. 故选：B. 43．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）（参考数据：） A．16 B．10 C．8 D．2 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】因为数学成绩，所以，因此由 所以有， 估计该班数学得分大于120分的学生人数为，故选：C 44．某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（    ）元附：随机变量服从正态分布，则，，. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望. 【详解】因为，得出，， 所以， ； ， 所以（元） 故选：B 45．（多选）某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（    ） 附：随机变量服从正态分布，则，，. A．该校学生的体能检测结果的期望为 B．该校学生的体能检测结果的标准差为 C．该校学生的体能达标率超过 D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AD 【分析】求出、的值，可判断AB选项；利用原则可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，该校学生的体能检测结果的期望为，A对； 对于B选项，该校学生的体能检测结果的标准差为，B错； 对于C选项，， 所以，，C错； 对于D选项，，所以，， 所以，该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，D对. 故选：AD. 46．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则) 【答案】 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解． 【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集， 由可得，， 所以，解得：，故σ至多为． 故答案为：． 47．某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动． (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励， ①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪． 附：若随机变量，则；；． 【答案】(1) (2)①能，理由见解析；②乙所说为假 【分析】（1）利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可； （2）①利用正态分布的对称性及法则，求得前名参赛者的最低得分即可判断； ②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及法则，证得丙的分数为分是小概率事件，从而得以判断. 【详解】（1）设：第次通过第一关，：第次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为， 由题意知 . （2）设此次闯关活动的分数记为． ①由题意可知， 因为，且， 所以，则； 而，且， 所以前名参赛者的最低得分高于， 而甲的得分为分，所以甲能够获得奖励； ②假设乙所说为真，则， ， 而，所以， 从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假． 48．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示： (1)试估计这100名学生得分的平均数； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？ 参考数据：，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数 . （2） 解：参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为，，， 所以，，. 所以的分布列为 0 1 2 P ∴. （3）解：由（1）知，， 所以. 得分高于77分的人数最有可能是. 十、随机变量及其分布的综合应用 49．已知随机变量，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果. 【详解】因为随机变量，所以， 因为，，所以，即， 又 所以，即. 故选：B. 50．若随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布列式，计算出，然后利用正态分布的特点计算的值. 【详解】由题意，，解得，则，所以. 故选：A. 51．（多选）下列命题中，正确的命题的序号为（    ） A．已知随机变量服从二项分布，若，则 B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大 【答案】BCD 【分析】由二项分布的均值与方差公式计算判断选项A，由方差的性质判断选项B，由正态分布的对称性判断选项C，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断选项D． 【详解】对于A，，解得，A错误； 对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确； 对于C，服从正态分布，，C正确； 对于D，，则， 由，解得，所以．D正确． 故选：BCD． 52．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙 【分析】(1)    由频率估计概率即可 (2)    求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望. (3)    计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大. 【详解】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 53．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ①试证明为等比数列； ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 【答案】(1)分布列见解析， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望； （2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足. 【详解】（1）解析1：分布列与期望 依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为， 门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3， ，， ，，X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望． （1）解析2：二项分布 依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望． （2）解析：递推求解 ①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则， 从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列． ②由①可知，，，故． 54．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】(1)0.20 (2)的分布列见解析，数学期望为 (3)5 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出的值，进而估计出概率； （2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列； （3）求出的式子进行判断. 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大. 55．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64. (1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望； (3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可． （2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可． （3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可． 【详解】（1）解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即 （2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4． 所以，，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． （3）由（1）得， ， 所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数， 由，，得， 所以估计在之间通过的车辆数为辆. 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $