7.4.2 超几何分布(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.4.2　超几何分布 1.B　由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为P＝＝.故选B. 2.D　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋. 3.C　设袋中白球个数为x，由题意得1－＝，解得x＝5.X服从超几何分布，其中P（X＝2）＝＝. 4.C　设语文课本有n（n≥2）本，则数学课本有（7－n）本，则从中任取2本，2本都是语文课本的概率是＝.所以n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3（舍去），所以n＝4. 5.A　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 6.CD　选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即A、B错；选项C、D符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即C、D正确.故选C、D. 7.CD　对于A，答对0道题的概率为P0＝＝，答对3道题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确. 8.　解析：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）＝＝.所以E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝. 9.7　解析：设该社团的人数为n，∴P（X＝0）＝＝.∵P（X＝0）＝1－P（X＞0）＝，∴＝， 即（11n－18）·（n－7）＝0，又∵n∈N*，解得n＝7. 10.解：（1）由题知ξ的可能取值为0，1，2， P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝， P（ξ＝2）＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P （2）由（1）可得E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝， D（ξ）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝. 11.B　设10件产品中有x件次品，则P（ζ＝1）＝＝＝，所以x＝2或x＝8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以这10件产品的次品率为＝20%. 12.ABD　由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布.∴E（X）＝＝，E（η）＝＝.由题意知X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E（X2）＝02×＋12×＋22×＝，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝－（ ）2＝.η的分布列为 η 1 2 3 P ∴E（η2）＝12×＋22×＋32×＝，D（η）＝E（η2）－（E（η））2＝－（ ）2＝.∴E（X2）＝E（η），E（η2）≠E（X），D（X）＝D（η）＝. 13.　解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，因此，所求概率为P＝＝. 14.解：（1）80名学生的平均成绩为（55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005）×10＝73.5. （2）根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为（0.025＋0.005）×10＝0.3， 则非优秀学员对应的频率为1－0.3＝0.7， 所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3＝3（人），非优秀学生10×0.7＝7（人）. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 15.解：（1）X的所有可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P E（X）＝0×＋1×＋2×＝1（或E（X）＝n×＝2×＝1）. （2）新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈， ∴p＝（ ）0×（ ）10＋·（ ）×（ ）9＝≈0.01＜0.05. 故实验方案合理. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2　超几何分布 1.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（　　） A. B. C.1－ D. 3.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P（X＝2）＝（　　） A. B. C. D. 4.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（　　） A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 5.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（　　） A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 7.〔多选〕某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是（　　） A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为 B.答对1道题的概率为 C.答对2道题的概率为 D.合格的概率为 8.有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X＋1）＝　　　　. 9.某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P（X＞0）＝，则该社团的人数为　　　　　. 10.从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的均值和方差. 11.已知在10件产品中存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ζ，已知P（ζ＝1）＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（　　） A.10% B.20% C.30% D.40% 12.〔多选〕盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数，则下列说法中正确的是（　　） A.E（X）＝，E（η）＝ B.E（X2）＝E（η） C.E（η2）＝E（X） D.D（X）＝D（η）＝ 13.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为　　　　. 14.新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难.为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验， 张老师所教的80名学生参加一次数学测试，成绩都在[50，100]内，按区间分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀. （1）求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）； （2）按优秀与非优秀用按比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和均值. 15.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. （1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值； （2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性. （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件为小概率事件） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $