8.3.2 独立性检验(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦“独立性检验”核心知识点，系统梳理分类变量独立的概念、χ²统计量公式及检验规则，通过“理解概念—公式应用—实际问题检验”的脉络，构建从理论到实践的学习支架。 资料以问题驱动（如辨析“吸烟与肺癌关系”的错误认知）和分层例题（相关/无关检验）设计为特色，融入数学抽象（概念理解）、数学运算（χ²计算）与数据分析（列联表处理）素养，如冰雪运动与性别关系检验实例。课中助力教师引导学生实践推理，课后学生可借小结与训练查漏补缺，强化知识应用。

8.3.2　独立性检验 【例1】　（1）AD　（2）A　解析：（1）因为χ2＝3.305，且3.305＞2.706，由临界值表知，P（χ2≥2.706）≈0.10，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因为临界值3.841＞3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确. （2）依题意，χ2＝≈8.129＞6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B、C不正确；而8.129＜10.828＝x0.001，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，没有充分的证据认为“关注冰雪运动与性别有关”，D不正确. 训练1　CD　由P（χ2≥6.635）≈0.01可知，C、D正确，A、B不正确. 【例2】　解：（1）依题意，男同学有45×＝25（人）， 女同学有45－25＝20（人）. 补充2×2列联表如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男 20 5 25 女 5 15 20 合计 25 20 45 （2）零假设为H0：喜爱打篮球与性别无关. 根据表中数据，计算χ2＝＝≈13.613＞10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱打篮球与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 训练2　解：零假设为H0：每晚都打鼾与患心脏病没有关系. 由列联表中的数据， 得χ2＝≈68.033＞10.828＝x0.001. 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为每晚都打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【例3】　解：（1）2×2列联表如下表所示： 教师年龄 对新课程教学模式 合计 赞同 不赞同 老年教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 （2）零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 由公式得χ2＝≈4.963＜6.635＝， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 训练3　② 解析：χ2＝≈0.041＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，知性别与知道想学专业无关，故①错误，②正确；男生知道想学专业的概率为P1＝＝，女生知道想学专业的概率为P2＝＝，P1＞P2，故③错误. 随堂检测 1.D　近视与性别是两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法是独立性检验.故选D. 2.D　∵5.014＞3.841，∴D正确. 3.BC　因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选B、C. 4.0.164　解析：依题意χ2 ＝＝≈0.164. 8.3.2　独立性检验 问题　提示：观点不正确.犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关的程度，不是患肺癌的百分数. 知识梳理 2.（1）独立性检验　（2） 3.（1）α　（2）独立 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　独立性检验 课标要求 1.理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性（数学抽象）. 2.掌握运用2×2列联表的方法解决独立性检验的简单实际问题（数学运算）. 知识点一｜独立性检验的理解 问题　有人说：“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的.”你认为这种观点正确吗？为什么？ 【知识梳理】 1.分类变量X和Y独立：如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X和Y独立. 2.独立性检验 （1）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称　　　　　　； （2）χ2＝　　　　　　　　，其中n＝a＋b＋c＋d. 3.对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则： （1）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过　　　　； （2）当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y　　　. 4.χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【例1】　（1）〔多选〕某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是（　　） A.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关” B.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” C.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关” D.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” （2）为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表： 性别 冰雪运动 合计 关注 不关注 男 45 10 55 女 25 20 45 合计 70 30 100 则下列说法正确的是（　　） 参考公式： χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d. 附表： α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关” B.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关” D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关” 【规律方法】 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论. 训练1　〔多选〕某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P（χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（　　） A.这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1% B.若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病 C.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 知识点二｜有关“相关的检验” 【例2】　（链接教材P133例4）为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男 5 女 5 合计 45 已知在45人中随机抽取1人，是男同学的概率为. （1）请将上面的2×2列联表补充完整； （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜爱打篮球是否与性别有关. 参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【规律方法】 分类变量χ2独立性检验的步骤 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值； （3）查临界值表，结合所给小概率值 α，比较χ2与xα的大小； （4）根据检验规则得出结论. 训练2　打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调查所得的数据： 打鼾 心脏病 合计 患病 未患病 每晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 合计 54 1 579 1 633 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？ 知识点三｜有关“无关的检验” 【例3】　（链接教材P131例2）某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系. 【规律方法】 独立性检验的关注点 （1）χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心； （2）判断时把计算结果与临界值进行比较，其值越大，有关的可信度越高. 训练3　下表是某校某届本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表： 性别 是否知道想学专业 合计 知道想学专业 不知道想学专业 男生 63 117 180 女生 42 82 124 合计 105 199 304 根据表中数据，下列说法正确的是　　　　.（填序号） ①性别与知道想学专业有关； ②性别与知道想学专业无关； ③女生比男生更易知道所学专业. 1.调查中学生的视力情况时发现，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生的眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（　　） A.平均数 B.方差 C.回归分析 D.独立性检验 2.依据α＝0.05的独立性检验，下列选项中，认为“A与B有关系”的χ2的值为（参考数据：P（χ2≥3.841）＝0.05）（　　） A.2.700　 B.2.710 C.3.765　 D.5.014 3.〔多选〕为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是（　　） 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效” B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效” C.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效” D.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效” 4.考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据： 是否得病 种子是否经过处理 合计 种子经过处理 种子未处理 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 合计 93 314 407 根据以上数据得χ2的值是　　　　（精确到0.001）. 课堂小结 1.理清单 （1）独立性检验的理解； （2）独立性检验的应用. 2.应体会 利用公式法计算χ2的值. 3.避易错 对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题. 提示：完成课后作业　第八章　8.3　8.3.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $