8.3.1 分类变量与列联表(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦分类变量与列联表核心知识点，先通过对比数值变量与分类变量概念（如身高与民族的区别）建立认知基础，再以吸烟与肺癌调查为例构建2×2列联表并分析频率，最后借助等高堆积条形图直观呈现变量关系，形成“概念辨析—数据整理—直观分析”的学习支架。 该资料以问题驱动结合真实情境，如“吸烟与肺癌关系”“饮食习惯与年龄关联”等实例，引导学生用数学眼光观察现实，培养数学抽象素养。列联表构建与频率计算训练数据分析能力，等高堆积条形图体现数形结合，助力用数学语言表达变量关系。课中例题与训练题提升教学效率，课后小结与作业设计便于学生回顾查漏，强化知识掌握。

8.3.1　分类变量与列联表 课标要求 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义（数学抽象）. 2.理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法（数据分析）. 知识点一｜数值变量与分类变量 问题1　下列变量：人的身高，直尺的长度，民族有什么不同？ 【知识梳理】 1.数值变量：数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义. 2.分类变量：为了表述方便，经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的　　　　　或　　　　，这类随机变量称为分类变量. 　　提醒：分类变量的取值可以用实数来表示，例如男性，女性可以用1，0表示，学生的班级可以用1，2，3来表示.这些数值只作编号使用，并没有大小和运算意义.分类变量是相对于数值变量来说的. 【例1】　〔多选〕下列是分类变量的是（　　） A.近视 B.成绩 C.血压 D.饮酒 【规律方法】 1.数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义. 2.分类变量是用随机变量区别不同的现象或性质，分类变量的取值可以用实数表示，变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，没有大小和运算意义. 训练1　〔多选〕下列变量中属于分类变量的是（　　） A.性别 B.某医院逐年的就诊人数 C.宗教信仰 D.某药物的疗效 知识点二｜2×2列联表 问题2　为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人，其中，不吸烟的7 817人中有42人患肺癌，吸烟的2 148人中有49人患肺癌，试分析吸烟是否对患肺癌有影响. 我们在研究“吸烟与患肺癌的关系”时，需要关注哪些量呢？请补全表格，并完成问题（1）（2）. 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 42 7 817 吸烟者 49 2 148 合计 9 965 （1）在非吸烟者中患肺癌的比例为　　　　； （2）在吸烟者中患肺癌的比例为　　　　. 【知识梳理】 1.列联表定义：观测数据按两个或更多属性进行交叉分类时所列出的频数表，称为列联表. 2.2×2列联表：定义一对分类变量X和Y如下：X＝和Y＝其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}的　　　　；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}的频数；中间的四个格中的数a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝0，1）的频数；右下角格中的数n是　　　　　　. 【例2】　在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系. 【规律方法】 利用2×2列联表分析两变量间关系的步骤 （1）根据题中数据列出2×2列联表； （2）根据频率特征，即将与（或与）的值相比较，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响. 训练2　在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系. 知识点三｜等高堆积条形图 问题3　问题2中“调查吸烟是否对患肺癌有影响”，我们能从图形中得到吸烟与患肺癌之间的关系吗？ 【知识梳理】 1.将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高堆积条形图. 2.等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果. 【例3】　（链接教材P126例1）某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中有213名在考前心情紧张.作出等高堆积条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系. 【规律方法】 利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否相关的步骤 训练3　某艺术馆为了研究学生性别和喜欢国画之间的联系，随机抽取80名学生进行调查（其中有男生50名，女生30名），并绘制等高堆积条形图如图，则这80名学生中喜欢国画的人数为（　　） A.24 B.32 C.48 D.58 1.与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是（　　） A.列联表 B.散点图 C.残差图 D.等高堆积条形图 2.下面是一个2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a 21 73 X＝1 8 25 33 合计 b 46 106 则表中a，b处的值分别为（　　） A.94，96　B.52，50 C.52，60　D.54，52 3.根据如图所示的等高堆积条形图可知吸烟与患肺病　　　　关系.（填“有”或“没有”） 4.在研究某种药物对“H1N1”病毒的治疗效果时，进行动物试验，得到以下数据：对150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，对150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡.请根据以上数据建立一个2×2列联表. 课堂小结 1.理清单 （1）数值变量与分类变量； （2）2×2列联表； （3）等高堆积条形图. 2.应体会 利用等高堆积条形图判断两个变量是否相关，体现了数形结合思想. 3.避易错 不理解等高堆积条形图. 提示：完成课后作业　第八章　8.3　8.3.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3　列联表与独立性检验 8.3.1　分类变量与列联表 【例1】　ACD　近视有近视与不近视两种类别，血压有异常、正常两种类别，饮酒有饮酒与不饮酒两种类别.成绩不是分类变量，它的取值不一定有两种. 训练1　ACD　性别有男、女之分，宗教信仰有某一宗教的信仰、不信仰之分，某药物的疗效有无效、有效之分；B项中，某医院逐年的就诊人数为数值变量. 【例2】　解：2×2列联表如下： 饮食习惯 年龄 合计 六十岁以上 六十岁以下 以蔬菜为主 43 21 64 以肉类为主 27 33 60 合计 70 54 124 将表中数据代入公式得＝≈0.67，＝＝0.45. 显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系. 训练2　解：（1）2×2列联表如下： 性别 休闲方式 合计 看电视 运动 女 30 20 50 男 20 40 60 合计 50 60 110 （2）根据列联表中的数据，可得女性中休闲方式为看电视的频率为＝0.6，男性中休闲方式为看电视的频率为≈0.333，二者差别较大，可知性别与休闲方式有关系. 【例3】　解：作列联表如下： 考前心情 性格 合计 内向 外向 紧张 332 213 545 不紧张 94 381 475 合计 426 594 1 020 相应的等高堆积条形图如图所示. 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例. 从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张的样本中性格内向占的比例高，可以认为考前心情紧张与性格类别有关. 训练3　D　由等高堆积条形图可知，男生中喜欢国画的占80%，女生中喜欢国画的占60%，则这80名学生中喜欢国画的人数为50×80%＋30×60%＝58，故选D. 随堂检测 1.D 2.C　因为a＋21＝73，所以a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60. 3.有　解析：从等高堆积条形图上可以明显地看出吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率，所以吸烟与患肺病有关系. 4.解：2×2列联表如表所示： 类别 治疗效果 合计 存活 死亡 药物治疗 132 18 150 常规治疗 114 36 150 合计 246 54 300 8.3　列联表与独立性检验 8.3.1　分类变量与列联表 问题1　提示：人的身高，直尺的长度都是数值变量；民族有汉族，回族等“值”，不同“值”表示个体所属的不同类别. 知识梳理 2.现象　性质 问题2　提示：吸烟患肺癌的人数；不吸烟患肺癌的人数；吸烟不患肺癌的人数；不吸烟不患肺癌的人数. 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7 775 42 7 817 吸烟者 2 099 49 2 148 合计 9 874 91 9 965 （1）0.54%　（2）2.28% 说明：吸烟者和非吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大. 知识梳理 2.频数　样本容量 问题3　提示：从等高堆积条形图中可直观地得出吸烟者患肺癌的可能性大. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $