8.1.1 变量的相关关系(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦变量的相关关系核心知识点，从概念引入（区分函数关系与相关关系），到散点图绘制与线性相关判断，再到散点图的实际应用，构建从概念到直观工具再到应用的学习支架。 该资料以问题驱动结合生活实例，通过物理成绩与数学成绩等情境抽象相关关系概念，培养数学抽象；利用年龄与脂肪含量等数据绘制散点图，发展直观想象；课中助力教师教学，课后帮助学生巩固，提升用数学语言表达现实关系的能力。

8.1.1　变量的相关关系 课标要求 1.结合实例，体会两个变量间的相关关系（数学抽象）. 2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断（直观想象）. 知识点一｜相关关系 问题1　有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系.假如我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 【知识梳理】 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去　　　　决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 　　提醒：相关关系与函数关系的异同点：（1）相同点：均是指两个变量的关系；（2）不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系；②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响. 【例1】　（链接教材P95练习1题）〔多选〕下列两个变量存在相关关系的为（　　） A.扇形的半径与面积之间的关系 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收入之间的关系 【规律方法】 两个变量之间相关关系的判断方法 （1）根据生活、学习经验进行判断； （2）根据两个变量相应值的对应关系进行判断. 训练1　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B.同一物体的加速度与作用力是函数关系 C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系 知识点二｜散点图、线性相关 问题2　在一次对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，研究人员获得了成对样本数据如下表. 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 （1）以年龄为横坐标，脂肪含量为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点.这些点大致落在一条直线附近吗？ （2）脂肪含量与年龄之间有关系吗？ （3）怎样描述脂肪含量和年龄之间的变化关系？ 【知识梳理】 1.散点图：将样本中的成对样本数据用　　　　　　中的点表示出来得到的统计图. 2.正相关与负相关 正相关 负相关 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现　　的趋势 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现　　的趋势 3.线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在　　　　　附近，我们就称这两个变量线性相关. 【例2】　（链接教材P95练习2题）某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 （1）请作出这些数据的散点图； （2）你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ （3）若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系. 【规律方法】 判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响. 训练2　（1）〔多选〕在下列所示的四个图中，两个变量具有相关关系的是（　　） （2）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图2.由这两个散点图可以判断（　　） A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 知识点三｜散点图的应用 【例3】　下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？ 【规律方法】 1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论. 2.在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现. 训练3　〔多选〕某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.沸点与海拔高度呈正相关 B.沸点与气压呈正相关 C.沸点与海拔高度呈负相关 D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 1.下列说法中正确的是（　　） A.y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量 B.正四面体的体积与其棱长具有相关关系 C.电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D.某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量 2.下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（　　） 3.如图，有6组数据，去掉哪组数据后（填字母代号），剩下的5组数据的线性相关性最大（　　） A.A B.B C.C D.D 4.以下是收集到的某物品的销售价格y（单位：万元）和物品的大小x（单位：m2）的数据： 物品大小x/m2 11.5 110 80 135 105 销售价格y/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22 则根据数据可以判断x，y　　　　相关关系（填“有”或“无”）. 课堂小结 1.理清单 （1）相关关系的概念； （2）散点图、线性相关； （3）散点图的应用. 2.应体会 利用散点图判断变量的相关关系体现了数形结合思想. 3.避易错 相关关系与函数关系的区别. 提示：完成课后作业　第八章　8.1　8.1.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1　成对数据的统计相关性 8.1.1　变量的相关关系 【例1】　BCD　扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系. 训练1　ABD　闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确. 【例2】　解：（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材体积，可得相应的散点图如图所示. （2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系. （3）近似拟合直线如图所示. 训练2　（1）BC　（2）B　解析：（1）图A的两个变量具有函数关系；图B、C的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系. （2）由变量x，y的散点图1，知随x增大，y也增大，变量x与y正相关，由变量u，v的散点图2，知随u增大，v减小，u与v负相关.故选B. 【例3】　解：（1）散点图如图. （2）从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加. 训练3　BCD　由题中图1知气压随海拔高度的增加而减小，由题中图2知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B、C、D正确，A错误. 随堂检测 1.D　 对于A，x，y是函数关系，属于确定性关系，不是相关关系，故A不正确；对于B，体积与棱长的关系是确定的，属于确定性关系，不是相关关系，故B不正确；对于C，电脑的销售量除了受电脑价格的影响之外，还受电脑品牌、电脑性能、同行竞争等多种因素的影响，不是确定关系，故C不正确；对于D，某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量，故D正确. 2.D　对于A，两个变量之间是确定的函数关系，不是相关关系，故错误；对于B，样本点成直线形带状分布，且呈下降趋势，是负相关，故错误；对于C，样本点不成直线形带状分布，故错误；对于D，样本点成直线形带状分布，且呈上升趋势，是正相关，故正确.故选D. 3.C　根据散点图知去掉C后，剩下的五组数据的线性相关性最大. 4.有　解析：由表中数据知，两个变量的变化趋势为物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系. 8.1　成对数据的统计相关性 8.1.1　变量的相关关系 问题1　提示：不是.物理成绩还可能与其他因素有关. 知识梳理 精确地 问题2　（1）提示：画出如图所示的统计图. 由图可以发现，这些点大致落在一条直线附近. （2）提示：有关系. （3）提示：大体上看，年龄越大，脂肪含量越高，但不是正比例关系. 知识梳理 1.直角坐标系 2.增加　减小 3.一条直线 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $