第7章 培优课 二项分布与超几何分布的综合应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义核心聚焦二项分布与超几何分布，先通过辨析两者区别（不放回与有放回、是否需总体容量）与联系（大总体小样本时超几何近似二项），再结合实例掌握综合应用（概率最值、分布列与均值计算），构建从概念到应用的学习支架。 资料以真实情境例题（如面试答题、产品质量检测）引导学生用数学眼光观察现实问题，通过规律方法总结（如二项分布概率最值的不等式组法）培养数学思维，课中辅助教师清晰讲解辨析与应用，课后训练题与小结帮助学生巩固，提升数学运算与建模能力。

培优课　二项分布与超几何分布的综合应用 【例1】　解：（1）设X为甲正确完成面试题目的数量， 由题意可得X服从超几何分布，且N＝6，M＝4，n＝3， ∴P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝2. D（X）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝. （2）设学生乙答对的题目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， 由题意知Y～B（3，）， 因此E（Y）＝3×＝2， D（Y）＝np（1－p）＝3××＝， 又E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 训练1　解：（1）质量不低于505克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3， ∴质量不低于505克的产品数为40×0.3＝12. （2）质量不低于505克的产品数为12，则质量低于505克的产品数为28，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布. P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴X的均值为 法一　E（X）＝0×＋1×＋2×＝. 法二　E（X）＝＝. （3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量不低于505克的概率为＝. 质量不低于505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B（ 2，）， P（Y＝k）＝×（ ）k×（ 1－）2－k，k＝0，1，2， ∴P（Y＝0）＝×（ ）2＝， P（Y＝1）＝××＝， P（Y＝2）＝×（ ）2＝. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P ∴Y的均值为 法一　E（Y）＝0×＋1×＋2×＝. 法二　E（Y）＝2×＝. 【例2】　6或7　解析：由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝××＝××，P（X＝k－1）＝××，k∈N且k≤20.由不等式≤1，即≤1，解得k≤7.所以当k≤7时，P（X＝k）≥P（X＝k－1）；当k＞7时，P（X＝k－1）＞P（X＝k）.因为当k＝7时，P（X＝k－1）＝P（X＝k）.所以k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值. 训练2　解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为＝， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则ξ～B（20，）， 其中P（ξ＝k）＝（）k（）20－k， k＝0，1，2，…，20， 当k≥1时，由 得 化简得解得≤k≤， 又k∈Z，所以k＝4， 所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 【例3】　解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则P（A）＝P（X＝0）＋P（X＝1）. 因为P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， 所以P（A）＝＋＝. 则取出的产品中次品不超过1件的概率是. （2）因为f（n）＝P（X＝3）＝， 则f（n＋1）＝. 由＝ ＝＞1， 解得n＜. 因为n∈N*，则n≤5， 故当3≤n≤5时，＞1； 当6≤n≤13时，＜1， 所以当n＝6时，f（n）取得最大值. 训练3　33　解析：由题意可得P（X＝1）＝＝＝，1≤n≤98，且n∈N，记函数f（x）＝x（x－99）（x－100），1≤x≤98， 则由f'（x）＝3x2－398x＋9 900＝0，解得x1＝≈33.17，x2＝≈99.50（舍去），所以当1≤x＜x1，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x1≤x≤98，f'（x）＜0，f（x）单调递减.因为f（33）－f（34）＝33×66×67－34×65×66＝66＞0，所以当n＝33时，X＝1的概率取得最大值. 随堂检测 1.ACD　由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝3，故A正确，B错误；P（X＝2）＝＝，故C正确；E（X）＝n·＝3×＝，故D正确. 2.15　解析：用X表示中奖票数，P（X≥1）＝＋＞0.5（ 或P（X≥1）＝＞0.5），化简得n2－99n＋25×49＜0，解得＜n＜，故n至少为15. 3.解：假设最有可能成活幼苗的数量为k（k∈N且k≤10），则×0.74k×0.2610－k≥×0.74k＋1×0.269－k且×0.74k×0.2610－k≥×0.74k－1×0.2611－k， 解得≤k≤，又k∈N，所以k＝8.故最有可能成活8株幼苗. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点解读 1.了解二项分布与超几何分布的区别与联系（数学抽象）. 2.掌握二项分布的综合应用（数学建模、数学运算）. 3.掌握超几何分布的综合应用（数学建模、数学运算）. 一、二项分布与超几何分布的辨析 【例1】　甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题目数的分布列、均值与方差；（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【规律方法】 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是 “有放回”抽取（独立重复），超几何分布是“不放回”抽取 联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布 训练1　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为[490，495），[495，500），…，[510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，求这40件产品中质量不低于505克的产品数； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量不低于505克的产品数，求X的分布列和均值； （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量不低于505克的产品数，求Y的分布列和均值. 二、二项分布的综合应用 【例2】　如果X～B，那么当P（X＝k）取得最大值时，k＝　　　　. 【规律方法】 二项分布概率最大问题的求解思路 如果X～B（n，p），其中0＜p＜1，求P（X＝k）最大值对应的k值，一般是考查与1的大小关系.因为＝＝1＋（1≤k≤n），所以要使P（X＝k）≥P（X＝k－1），则k≤（n＋1）p.故有： （1）若（n＋1）p＞n，则k＝n时，P（X＝k）取得最大值； （2）若（n＋1）p是不超过n的正整数，则当k＝（n＋1）p－1和k＝（n＋1）p时，P（X＝k）取得最大值； （3）若（n＋1）p是不超过n的非整数，则当k＝[（n＋1）p]（注：[（n＋1）p]表示不超过（n＋1）p的最大整数）时，P（X＝k）取得最大值. 　　提醒：还可考虑用不等式组求解. 训练2　某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] （10，15] （15，20] （20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 三、超几何分布的综合应用 【例3】　幸福农场生产的某批次的20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件. （1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率； （2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值. 【规律方法】 超几何分布概率最值问题一般转化为与1的大小关系求解. 训练3　一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n（n∈N）件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，则使X＝1的概率取得最大值时，n＝　　　　. 1.〔多选〕在一个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（　　） A.随机变量X服从超几何分布 B.随机变量X服从二项分布 C.P（X＝2）＝ D.E（X）＝ 2.50张彩票中只有2张中奖票，从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为　　　　. 3.如果某品种幼苗每株成活的概率为0.74，且每株幼苗是否成活相互独立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活几株幼苗？ 课堂小结 1.理清单 （1）二项分布与超几何分布的区别与联系； （2）二项分布的综合应用； （3）超几何分布的综合应用. 2.应体会 求与二项分布与超几何分布有关的最值问题时要注意函数与方程思想的应用. 3.避易错 超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样. 提示：完成课后作业　第七章　培优课 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $