7.4.2 超几何分布(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，通过对比有放回抽样的二项分布引入，以问题驱动梳理不放回抽样的超几何分布概念，进而讲解分布列计算及均值公式，构建从具体实例到抽象模型的学习支架。 资料以问题链引导数学抽象，结合产品抽样、选学生等实例强化数学建模与运算，课中例题与规律方法助力教师高效授课，课后训练题与小结帮助学生巩固，培养用数学眼光观察、用数学思维解决实际问题的能力。

7.4.2　超几何分布 课标要求 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值（数学抽象）. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 知识点一｜超几何分布的概念 问题1　（1）已知在10件产品中有4件次品，采取有放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列. （2）已知在10件产品中有4件次品，采取不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求P（X＝2）吗？ 【知识梳理】 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝　　　　　，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 　　提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由： （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； （4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列. 【规律方法】 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 （1）总体是否分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 训练1　〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 知识点二｜超几何分布的概率及分布列 【例2】　 （链接教材P79例6）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列. 变式　（1）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列； （2）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 【规律方法】 求超几何分布的概率的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式P（X＝k）＝计算出随机变量取某一个值k时的概率. 训练2　从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. （1）求所选3人中恰有一名男生的概率； （2）求所选3人中男生人数X的分布列. 知识点三｜超几何分布的均值 问题2　若随机变量X服从超几何分布，那么X的均值是什么？ 【知识梳理】 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E（X）＝　　　. 【例3】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值. 【规律方法】 解决超几何分布问题的三个关键点 （1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不要机械地记忆； （2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k值的概率P（X＝k），从而求出X的分布列； （3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直接利用E（X）＝求解. 训练3　端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. （1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； （2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值. 1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　） A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2.在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能中奖的概率是（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取　　　时，对应的概率为. 4.（2025·连云港月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则X的均值E（X）＝　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）超几何分布的概念； （2）超几何分布的概率及分布列； （3）超几何分布的均值. 2.应体会 利用公式法求超几何分布的概率及分布列与均值. 3.避易错 超几何分布的判断错误. 提示：完成课后作业　第七章　7.4　7.4.2 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2　超几何分布 【例1】　解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. 训练1　ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 【例2】　解：由题意知X＝0，1，2，3. P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 变式　解：（1）由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为 η 0 1 P （2）由题意知X＝0，1，2，3. 法一　P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 法二　根据X～B（ 3，），由P（X＝k）＝（ 1－（ ）k求出各式概率， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 训练2　解：（1）所选3人中恰有一名男生的概率 P＝＝. （2）X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布， 则P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【例3】　解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. （2）依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝（ 或E（X）＝＝）. 训练3　解：（1）依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为＝. （2）X的可能取值为0，1，2， 则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝. 随堂检测 1.B　对于A：将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，是二项分布，A选项错误；对于B：从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X，是超几何分布，B选项正确；对于C：某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，是两点分布，C选项错误；对于D：盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数，不是超几何分布，D选项错误.故选B. 2.C　记X为2张奖券中的中奖数，则P（X＝2）＝＝. 3.3　解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”. 4.1　解析：由题意，X的可能取值为0，1，2，P（X＝k）＝，k＝0，1，2.X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 7.4.2　超几何分布 问题1　（1）提示：采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B（3，0.4），其分布列为P（X＝k）＝（0.4）k（1－0.4）3－k，k＝0，1，2，3. （2）提示：若采取不放回抽样时X不服从二项分布；“X＝2”，表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有种取法，故P（X＝2）＝. 知识梳理 问题2　提示：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E（ ）＝p，即E（X）＝np. 实际上，令m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，由随机变量均值的定义：当m＞0时， E（X）＝k＝M.（1） 因为＝， 所以E（X）＝＝＝＝np. 当m＝0时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. 知识梳理 np 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $